45等价关系与偏序关系 等价关系的定义与实例 等价类及其性质 商集与集合的划分 等价关系与划分的一一对应 偏序关系 偏序集与哈斯图 ■偏序集中的特定元素
1 4.5 等价关系与偏序关系 ◼ 等价关系的定义与实例 ◼ 等价类及其性质 ◼ 商集与集合的划分 ◼ 等价关系与划分的一一对应 ◼ 偏序关系 ◼ 偏序集与哈斯图 ◼ 偏序集中的特定元素
等价关系的定义与实例 定义设R为非空集合上的关系.如果R是自反的、 对称的和传递的,则称R为A上的等价关系.设R 是一个等价关系,若≮x吵>∈R,称x等价于y,记做 实例设A={1,2,,8},如下定义A上的关系R: R={|xy∈A∧x=y(mod3)} 其中x=y(mod3)叫做x与y模3相等,即x除以3的 余数与y除以3的余数相等
2 等价关系的定义与实例 定义 设 R 为非空集合上的关系. 如果 R 是自反的、 对称的和传递的, 则称 R 为 A 上的等价关系. 设 R 是一个等价关系, 若<x,y>∈R, 称 x 等价于y, 记做 x～y. 实例 设 A={1,2,…,8}, 如下定义A上的关系 R： R = { <x,y> | x,y∈A∧x≡y(mod 3) } 其中 x≡y(mod 3) 叫做 x 与 y 模3相等, 即 x 除以3的 余数与 y 除以3的余数相等
等价关系的验证 验证模3相等关系R为A上的等价关系,因为 Vx∈A,有x≡x(mod3) Vx,y∈A,若x≡y(mod3),则有p≡x(md3) Vx,y,z∈A,若x≡y(md3),y≡z(mod3), 则有x=mod3) 自反性、对称性、传递性得到验证
3 等价关系的验证 验证模 3 相等关系 R 为 A上的等价关系, 因为 x∈A, 有x ≡ x(mod 3) x, y∈A, 若 x ≡ y(mod 3), 则有 y ≡ x(mod 3) x, y, z∈A, 若x ≡ y(mod 3), y ≡ z(mod 3), 则有 x≡z(mod 3) 自反性、对称性、传递性得到验证
A上模3等价关系的关系图 设A={1,2,,8}, R={x>xy∈AAxy(mod3)}
4 A上模3等价关系的关系图 设 A={1,2,…,8}, R={ <x,y>| x,y∈A∧x≡y(mod 3) }
等价类 定义设R为非空集合A上的等价关系,Vx∈A,令 xlk={y|y∈A∧xRy} 称xl为x关于R的等价类,简称为x的等价类,简 记为x 实例A={1,2,…,8}上模3等价关系的等价类: l=4=[7}={1,4,7 「2={5=8|={2,5,8} 阝3}=6]={3,6}
5 等价类 定义 设R为非空集合A上的等价关系, x∈A，令 [x]R = { y | y∈A∧xRy } 称 [x]R 为 x 关于R 的等价类, 简称为 x 的等价类, 简 记为[x]. 实例 A={ 1, 2, … , 8 }上模 3 等价关系的等价类： [1]=[4]=[7]={1,4,7} [2]=[5]=[8]={2,5,8} [3]=[6]={3,6}