43关系的性质 ■自反性 反自反性 ■对称性 ■反对称性 ■传递性
1 4.3 关系的性质 ◼ 自反性 ◼ 反自反性 ◼ 对称性 ◼ 反对称性 ◼ 传递性
自反性与反自反性 定义设R为A上的关系, (1)若x(x∈A→<xx>∈R,则称R在A上是自反的 (2)若vx(x∈A→<,x>gR,则称R在A上是反自反的 实例 反关系:A上的全域关系EA,恒等关系I4 小于等于关系LA整除关系D4 反自反关系:实数集上的小于关系 幂集上的真包含关系
2 自反性与反自反性 定义 设R为A上的关系, (1) 若x(x∈A→<x,x>R), 则称R在A上是自反的. (2) 若x(x∈A→<x,x>R), 则称R在A上是反自反的. 实例： 反关系：A上的全域关系EA, 恒等关系IA 小于等于关系LA, 整除关系DA 反自反关系：实数集上的小于关系 幂集上的真包含关系
实例 例1A=({1,2,3},R1R2,R3是A上的关系,其中 R1={<1,1>,<2,2>} R2={1,1>,2,2>,<3,3>,1,2>} R3={<1,3> R2自反, R3反自反, R1既不是自反也不是反自反的
3 实例 例1 A={1,2,3}, R1 , R2 , R3是A上的关系, 其中 R1＝{<1,1>,<2,2>} R2＝{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>} R3＝{<1,3>} R2自反, R3反自反, R1既不是自反也不是反自反的
对称性与反对称性 定义设R为A上的关系, (1)若 Vxvyl,y∈A∧<x少>∈R→<yx>∈R),则称R 为A上对称的关系 (2)若 xvv(xy∈A∧<xy>∈R∧水x>∈R→x=y), 则称R为A上的反对称关系 实例: 对称关系:A上的全域关系E4恒等关系4和空 关系必 反对称关系:恒等关系I,空关系是A上的反对 称关系
4 对称性与反对称性 定义 设R为A上的关系, (1) 若xy(x,y∈A∧<x,y>∈R→<y,x>∈R), 则称R 为A上对称的关系. (2) 若xy(x,y∈A∧<x,y>∈R∧<y,x>∈R→x=y), 则称R为A上的反对称关系. 实例： 对称关系：A上的全域关系EA, 恒等关系IA和空 关系 反对称关系：恒等关系IA，空关系是A上的反对 称关系
实例 例2设4={1,2,3},R1,R2,R3和R4都是A上的关系, 其中 R1={<1,1>,<2,2>},R2={<1,1>,1,2>,<2,1>} R3={1,2>,<1,3>},R4={<1,2>,2,1>,1,3 R1对称、反对称 R2对称,不反对称 R3反对称,不对称 R4不对称、也不反对称
5 实例 例2 设A＝{1,2,3}, R1 , R2 , R3和R4都是A上的关系, 其中 R1＝{<1,1>,<2,2>}， R2＝{<1,1>,<1,2>,<2,1>} R3＝{<1,2>,<1,3>}， R4＝{<1,2>,<2,1>,<1,3>} R1 对称、反对称. R2 对称，不反对称. R3 反对称，不对称. R4 不对称、也不反对称