第6章几个典型的代数系统 ■61半群与群 ■6.2环与域 ■63格与布尔代数
1 第6章 几个典型的代数系统 ◼ 6.1 半群与群 ◼ 6.2 环与域 ◼ 6.3 格与布尔代数
61半群与群 ■半群与独异点 口半群定义与性质 口交换半群与独异点 口半群与独异点的子代数和积代数 口半群与独异点的同态 群 口群的定义与性质 口子群与群的直积 口循环群 口置换群
2 ◼ 半群与独异点 半群定义与性质 交换半群与独异点 半群与独异点的子代数和积代数 半群与独异点的同态 ◼ 群 群的定义与性质 子群与群的直积 循环群 置换群 6.1 半群与群
半群的定义与实例 定义设V<S,。>是代数系统,o为二元运算,如果 o运算是可结合的,则称V为半群 实例(1)<Z,+>,N,+>,<Z,+>,Q+>,<R,+>都是半群,+是 普通加法 (2)设n是大于1的正整数,<Mn(R),+>和<Mn(R),>都是半 群,其中+和·分别表示矩阵加法和矩阵乘法 (3)<P(B,>为半群,其中曲为集合的对称差运算 (4)<Zn,⊕>为半群,其中Zn={0,1,…,n-1},⊕为模n加法 (5)<44,o>为半群,其中o为函数的复合运算. (6)<R*,o>为半群,其中R为非零实数集合,o运算定义 如下:Vx,y∈R,xoy→y
3 半群的定义与实例 定义 设 V=<S, o> 是代数系统，o为二元运算，如果 运算是可结合的，则称 V 为半群. 实例 （1）<Z + ,+>,<N,+>,<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是半群，+是 普通加法. （2）设 n 是大于1的正整数，<Mn (R),+>和<Mn (R),·>都是半 群，其中+和· 分别表示矩阵加法和矩阵乘法. （3）<P(B),>为半群，其中为集合的对称差运算. （4）<Zn , >为半群，其中 Zn={0,1, …, n−1}，为模 n 加法. （5）<AA , >为半群，其中 为函数的复合运算. （6）<R*,>为半群，其中R*为非零实数集合，运算定义 如下：x, y∈R*, x y =y
元素的幂运算性质 元素的幂运算定义 设Ⅴ=<S,o>为半群,对任意x∈S,规定: = x≡y"oXs n∈Z 幂运算规则: ro r=x n+m Gr")m=x/nm m,n∈+ 证明方法:数学归纳法
4 元素的幂运算性质 元素的幂运算定义 设V=<S, >为半群，对任意 x∈S，规定： x 1 = x x n+1 = x n x, n∈Z+ 幂运算规则： x n x m = x n+m (x n ) m= x nm m, n∈Z+ 证明方法：数学归纳法
特殊的半群 定义设V=<S,o>是半群 (1)若o运算是可交换的,则称V为交换半群 (2)若e∈S是关于o运算的单位元,则称V是含幺 半群,也叫做独异点 独异点V记作V=<S,o,C
5 特殊的半群 定义 设V = <S, >是半群 (1) 若 运算是可交换的，则称V 为交换半群 . (2) 若 e∈S 是关于 运算的单位元，则称 V 是含幺 半群，也叫做 独异点. 独异点 V 记作 V = <S, , e>