5设，22，，2m是方阵A的m个特征值，P1,P2, ,Pm依次是与之对应的特征向量如果，2，，2m 各不相等，则p1,P2,,pm线性无关. 证：设有常数x1,x2,,xm使 xip+x2P2++xmpm =0 则 A(xip+x22++xmm)=0, 1X1P1+2X2P2+…+九aXmPm=0, 类推之，有x1P1+2x2P2++XwPn=0. k=1,2,…,m-1) 上页 下页 返回
证 : 设有常数 x1, x 2 ,, xm 使 x1 p1 + x2 p2 + + x m p m = 0 则 ( ) 0, A x1 p1 + x2 p2 ++ xm pm = 即0, 1 x1 p1 + 2 x2 p2 ++ m xm pm = 类推之，有 0. 1 1 1 + 2 2 2 + + m m = km k k x p x p x p (k = 1,2,,m −1) , , , , . , . , , , , , , , , , 1 2 1 2 1 2 1 2 各不相等 则 线性无关 依次是与之对应的特征向量 如果 设 是方阵 的 个特征值 m m m m p p p p A m p p 5.
把上列各式合写成矩阵形式，得 1 (X1Px2P2xmPm) 1 九2 : =(0,0,,0) 12m.2m- 上式等号左端第二个矩阵的行列式为范德蒙行列 式，当各2，不相等时，该行列式不等于0，从而该矩阵 可逆于是有(x1P1,x2P2,…,xmPm)=(0,0,.,0) 即xP;=0(0=1,2,,m)但p≠0，故x;=00=1,2,,m) 所以向量组P1,P2,…,Pm线性无关 返回
把上列各式合写成矩阵形式，得 ( ) − − − 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 , , , m m m m m x p x p xm pm = (0,0, ,0) 可逆 于是有 式 当各 不相等时 该行列式不等于 从而该矩阵 上式等号左端第二个矩阵的行列式为范德蒙行列 . , , 0, i ( , , , ) (0,0, ,0), x1 p1 x2 p2 xm pm = x p 0 ( j 1,2, ,m). 即 j j = = 0, j 但 p x 0( j 1,2, ,m). 故 j = = , , , . 所以向量组 p1 p2 pm 线性无关
注意： 工二二二二二二二二二二土 1.属于不同特征值的特征向量是线性无关 的. 2.属于同一特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量， 3.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征 值而言的，一个特征值对应的特征向量不唯 一； 但一个特征向量却只能属于一个确定的特征值. 上页 返回
注意： １. 属于不同特征值的特征向量是线性无关 的． ２. 属于同一特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量． ３. 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征 值而言的，一个特征值对应的特征向量不唯一； 但一个特征向量却只能属于一个确定的特征值．
因为，如果设x同时是A的属于特征值入，2的 (2≠22)的特征向量，即有 Ax=Ax,Ax=1x →21x=22X →(2-2)x=0, 由于2-22≠0，则x=0,与特征向量的定义矛盾. 上页 返回
( )的特征向量 即有 因为 如果设 同时是 的属于特征值 的 , , , 1 2 1 2 x A Ax = 1 x, Ax = 2 x 1 x = 2 x ( ) 0, 1 − 2 x = 0, 由于1 − 2 则x = 0, 与特征向量的定义矛盾
四、小结 求矩阵特征值与特征向量的步骤： 1.计算A的特征多项式A-I: 2.求特征方程A-2I=0的全部根2,22， …,入n,就是A的全部特征值； 3.对于特征值2，求齐次方程组 (A-,I)x=0 的非零解，就是对应于的特征向量 上页 返回
求矩阵特征值与特征向量的步骤： 1. 计算A的特征多项式 A− I; , , ; 2. 0 , , 1 2 就是 的全部特征值 求特征方程 的全部根 A A I n − = ( ) , . 0 3. , 的非零解 就是对应于 的特征向量 对于特征值 求齐次方程组 i i i A I x − = 四、小结