第二章 行列式 2.1基本内容 2.1.1行列式的定义 1)递推定义 定义一阶行列式A=al=a1,设n-1阶行列式已经定义，则n阶行列式定义为 a11 a12 ain 21 a22 "a.M. an2 =auMu-an M2 +a Mi3 +...+(-1)"a Min 其中M,为a.的余子式，表示划去元素a所在的第i行，第j列后剩下的n-1阶行列 式。 如果定义代数余子式A,=(人1)M,则 |4=∑au4u-a141+ae4+…+an4. (2.2) 注1一阶行列式-3=-3。 注2式(2.2)又称为按第一行展开定义。事实上，有按行列式中任一行或任一列展开 公式，即 4-宫 0i=1,2,…,n 4-24 0=1,2…,n 2)逆序定义 定义n阶行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积之代数和，即 4=∑（1t02…jnha2,…a 其中j2…jn是1,2，…，n的一个全排列，t0j2…jn)是jj2…jn的逆序数。 注1n阶行列式是由1l项组成的代数和。 注2一个全排列1j2…j,…j,…jn中，若j,>j,则称这两个数组成一个逆序。 注3逆序数为j2…jn中逆序的总数。例如 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建www.fineprint.cn
第二章 行列式 2.1 基本内容 2.1.1 行列式的定义 1）递推定义 定义 一阶行列式 A = a11 = a11，设 n -1阶行列式已经定义，则 n 阶行列式定义为 ( ) n n n n i i i i n n nn n n a M a M a M a M a M a a a a a a a a a A 1 1 1 11 11 12 12 13 13 1 1 1 1 1 2 1 21 22 2 11 12 1 ( 1) 1 + = + = - + + + - = = å - L L M M M L L 其中Mij 为 aij 的余子式，表示划去元素aij 所在的第i 行，第 j 列后剩下的n -1阶行列 式。 如果定义代数余子式 ( ) ij i j Aij M + = -1 ，则 n n n i A a i A i a11A11 a12 A12 a1 A1 1 = å 1 1 = + + + = L （2.2） 注 1 一阶行列式 - 3 = -3。 注 2 式（2.2）又称为按第一行展开定义。事实上，有按行列式中任一行或任一列展开 公式，即 å ( ) = = = n k A aik Aik i n 1 1,2,L, å ( ) = = = n k A akj Akj j n 1 1,2,L, 2）逆序定义 定义 n 阶行列式等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积之代数和，即 ( ) ( ) n n j j nj j j j n A j j L j a a La L 1 2 1 2 1 2 1 2 = å -1t 其中 n j j L j 1 2 是1,2,L, n 的一个全排列， ( ) n j j L j 1 2 t 是 n j j L j 1 2 的逆序数。 注 1 n 阶行列式是由 n!项组成的代数和。 注 2 一个全排列 t s n j j L j L j L j 1 2 中，若 t s j f j ，则称这两个数组成一个逆序。 注 3 逆序数为 n j j L j 1 2 中逆序的总数。例如 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
t61,4,2)=3xa,n-1…0=mn- 2 2.1.2行列式的性质 (1)方阵A的行列式与其转置的行列式相同，即 4=4 注所有对列成立的行列式性质，对行也成立。 (2)互换行列式的两列（或行）的位置，行列式变号。 推论如果行列式的两列（或行）相同，则行列式为零。 (1)某数入乘行列式，等于用数入乘它的某一列（或）行的所有元素，即 a,a2,…,a,…,a=a',a2,…,aa,…,a (2.7) 其中a,2,…,a,…,a”为n维列向量。 注(2.7)式的右端，数入只能乘某一列（或行），其余列（或）行不便。 推论1某数入乘方阵A的行列式等于入”乘A的行列式，即 24=24 推论2如果行列式的一行（或列）为零，则行列式为零。 推论3如果行列式的两行（或列）成比例，则行列式为零。 (2)A的行列式中某一列（或行）可分成两个向量之和，则A的行列式等于分别由 这两个列（或行）向量取代A中这一列（或行）构成行列式之和，即 a,a2,…,a+B,a+,,a” =la,a2,…,a,a,,a+la,a2,B,a",…,a 注上式称为行列式的加法性质。 推论将行列式的某一列（或行）的任意入倍加到另一列（或行）上去，行列式不变。 (3)对于方阵A的行列式，有 4 i=j 10 i≠j 2.1.3特殊行列式的值 (1)上三角行列式： an av din d22 a2n =auaz.am arn (2)下三角行列式： PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建ww,fineprint.cn
( ) ( ) 2 ( 1) 3,1,4,2 3; , 1, ,1 - = - = n n t t n n L 2.1.2 行列式的性质 （1）方阵 A 的行列式与其转置的行列式相同，即 A A T = 注 所有对列成立的行列式性质，对行也成立。 （2）互换行列式的两列（或行）的位置，行列式变号。 推论 如果行列式的两列（或行）相同，则行列式为零。 （1） 某数l 乘行列式，等于用数l 乘它的某一列（或）行的所有元素，即 i n i n la ,a , ,a , ,a a ,a , ,la , ,a 1 2 L L = 1 2 L L （2.7） 其中 i n a ,a , ,a , ,a 1 2 L L 为 n 维列向量。 注 （2.7）式的右端，数l 只能乘某一列（或行），其余列（或）行不便。 推论 1 某数l 乘方阵 A 的行列式等于 n l 乘 A 的行列式，即 A A n l = l 推论 2 如果行列式的一行（或列）为零，则行列式为零。 推论 3 如果行列式的两行（或列）成比例，则行列式为零。 （2） A 的行列式中某一列（或行）可分成两个向量之和，则 A 的行列式等于分别由 这两个列（或行）向量取代 A 中这一列（或行）构成行列式之和，即 k k n k k n k k k n a a a a a a a b a a a a a b a a , , , , , , , , , , , , , , , , , , 1 2 1 1 2 1 1 2 1 L L L L L L + + + = + + 注 上式称为行列式的加法性质。 推论 将行列式的某一列（或行）的任意l 倍加到另一列（或行）上去，行列式不变。 （3） 对于方阵 A 的行列式，有 å= î í ì ¹ = = n k ik jk i j A i j a A 1 0 2.1.3 特殊行列式的值 （1） 上三角行列式： nn nn n n a a a a a a a a a L O M L L 11 22 22 2 11 12 1 = （2） 下三角行列式： PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
a a2 =aua2.am am an2 (3) 对角行列式： av az =a11a220m …am ain … n(n-1) (4) a2. … =（←1)2ana2…an1 am ain (5) a2m-1 02m n(n-1) =(人1）2ana2-…anl ann- amn ain (6) a2.n- n(n-1) =（-12a1n2,m-1…aml am (7)范得蒙行列式： 1 1 X2 Xn x x Π-x) Isixis x 其中Π 为连乘积得符号。 2.1.4分块矩阵对应的行列式公式 设A为n阶方阵，B为m阶方阵，则有 (1) A 0=A01 B (2) 0A=(4=B0Bo D A 0 4 B C (3)当A可逆时， PDF文件使用"pdfFactory Pro"试用版本创建ww,fineprint.cn
nn n n nn a a a a a a a a a L L M M O 11 22 1 2 22 22 11 = （3） 对角行列式： nn nn a a a a a a L L 11 22 22 11 = （4） ( ) ( ) 1 2, 1 1 2 1 1 21 2, 1 11 1 1 n n n n n n n n a a a a a a a a L M N L L L - - - = - （5） ( ) ( ) 1 2, 1 1 2 1 1 , 1 2, 1 2 1 1 n n n n n n n n nn n n n a a a a a a a a a L L N M M - - - - = - （6） ( ) ( ) 1 2, 1 1 2 1 1 2, 1 1 1 n n n n n n n n a a a a a a L N - - - = - （7）范得蒙行列式： Õ( ) £ £ - - - = - j i n i j n n n n n n x x x x x x x x x x x p L M M M L L L 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 其中Õ 为连乘积得符号。 2.1.4 分块矩阵对应的行列式公式 设 A 为 n 阶方阵，B 为 m 阶方阵，则有 （1） B A D B A A B B A C 0 0 0 0 = = = （2） ( ) 0 0 0 1 0 B A B D A A B B C A nm = - = = （3）当 A 可逆时， PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
月-lp-c4 A c i (4)当D可逆时， 月--0q A (5)(3)当A,B都可逆时， AD-CA-B DA-BD-'C 即 lo-crd-bu-w-d (2.16) 2.1.5与矩阵运算有关的行列式公式 设A为n阶方阵，B为n阶方阵，A为A的转置伴随阵，A为A的逆矩阵，A为 A的转置阵，入为数，有 (1)4=4:(2)AB=4B:(3)4=4Γ： (4)久4=4：(3)A=A:(4)A=A。 2.1.6行列式的计算 (1)利用行列式的定义计算。 (2)利用行列式的性质直接计算。 (3)利用行列式的性质化为上（下）三角行列式计算。 (4)利用降阶法计算。 (5)利用升阶法计算。 (6) 利用递推法计算。 (7)利用析因子法计算。 (8)利用范德蒙行列式计算。 (9) 设计矩阵运算的行列式计算。 (10)利用分块行列公式计算。 2.1.7行列式的应用 (1)n阶方阵A为可逆阵的充分必要条件是A≠0，此时，有逆阵公式 A A1= (2.17) 其中A=(4了为A的转置伴随阵，A=(-1M为a的代数余子式。 注1 (2.17)式由公式AA=A4=A1导出，其具有一定的理论价值。 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建ww.fineprint.cn
A D CA B C D A B -1 = - （4）当 D 可逆时， D A BD C C D A B -1 = - （5）（3）当 A，B 都可逆时， A D CA B D A BD C -1 -1 - = - 即 A BD C A D D CA B -1 -1 - = - （2.16） 2.1.5 与矩阵运算有关的行列式公式 设 A 为 n 阶方阵，B 为 n 阶方阵， * A 为 A 的转置伴随阵， -1 A 为 A 的逆矩阵， T A 为 A 的转置阵，l 为数，有 （1） A A T = ; (2) AB = A B ； (3) 1 1 - - A = A ； （4） A A n l = l ；（3） 1 * - = n A A ； （4） n n A = A 。 2.1.6 行列式的计算 （1） 利用行列式的定义计算。 （2） 利用行列式的性质直接计算。 （3） 利用行列式的性质化为上（下）三角行列式计算。 （4） 利用降阶法计算。 （5） 利用升阶法计算。 （6） 利用递推法计算。 （7） 利用析因子法计算。 （8） 利用范德蒙行列式计算。 （9） 设计矩阵运算的行列式计算。 （10） 利用分块行列公式计算。 2.1.7 行列式的应用 （1）n 阶方阵 A 为可逆阵的充分必要条件是 A ¹ 0 ，此时，有逆阵公式 A A A * 1 = - （2.17） 其中 ( ) T A = Aij * 为 A 的转置伴随阵， ( ) ij i j Aij M + = -1 为 aij 的代数余子式。 注1 （2.17）式由公式 A A = AA = A I * * 导出，其具有一定的理论价值。 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
注2（ (2)克莱姆(Gramer)法则 对于线性代数方程组Ax=b,当A≠0时，方程组有唯一解x,= D (i=1,2,…,n), 其中D.为用右端列b取代A的第i列所得的行列式。 特别，当A≠0时，Ax=0只有零解；要使得n×n齐次线性方程组Ax=0有非零解， 必须A=0。 2.1.8与行列式有关的结论 当A为n阶方阵的时候，有A≠0一A可逆一A行→I白Ax=0只有零解 台Ax=b有唯一解台A的行（或列）向量线性无关一A的特征值全非零。 2.2典型例题分析 1)利用行列式的定义计算行列式 例1计算3阶行列式 1205 D3=419 304 解按第1列展开可得 0=20 今 90 4 3(-103 =8+0-15=-7 注也可按第1行展开得 .3.-mo. 49 34 =8+0-15=-7 最容易的应按第2列展开，得 例2试证对于n阶行列式有 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建ww,fineprint.cn
注2 ( ) A A A = -1 * 。 （2）克莱姆（Gramer）法则 对于线性代数方程组 Ax = b ，当 A ¹ 0 时，方程组有唯一解 (i 1,2, , n) A D x i i = = L ， 其中 Di 为用右端列 b 取代 A 的第 i 列所得的行列式。 特别，当 A ¹ 0 时，Ax＝0 只有零解；要使得n´ n 齐次线性方程组 Ax＝0 有非零解， 必须 A = 0 。 2.1.8 与行列式有关的结论 当 A 为 n 阶方阵的时候，有 A ¹ 0 Þ A 可逆 Û A ¾¾®I Û Ax = 0 行 只有零解 Û Ax = b 有唯一解Û A 的行（或列）向量线性无关Û A 的特征值全非零。 2.2 典型例题分析 1)利用行列式的定义计算行列式 例1 计算 3 阶行列式 3 0 4 4 1 9 2 0 5 D3 = 解 按第 1 列展开可得 8 0 15 7 1 9 0 5 3 ( 1) 0 4 0 5 4 ( 1) 9 0 1 4 2 ( 1) 1 1 2 1 3 1 3 = + - = - = × - + × - + × - + + + D 注 也可按第 1 行展开得 8 0 15 7 3 0 4 1 5 ( 1) 3 4 4 9 0 ( 1) 0 4 1 9 2 ( 1) 1 1 1 2 1 3 3 = + - = - = × - + × - + × - + + + D 最容易的应按第 2 列展开，得 7 3 4 2 5 1 ( 1) 2 2 3 = × - = - + D 例2 试证对于 n 阶行列式有 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn