第3章线性代数方程组 3.1基本内容 3.1.1矩阵秩的定义 定义1矩阵A的k阶子式 在m×n矩阵A中任取k行，k列(1≤k≤min(m,n),位于这k行，k列交叉点处的元 素按原来次序组成的行列式，称为A的一个k阶子式。 定义2矩阵A的秩 设在矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D,且所有的r+1阶子式（如果有的话）全等 于零，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记为rank(A),简 记为(4)。 定义3满秩阵 设A为n阶方阵，若r(A)=A,则称A为满秩阵。 3.12矩阵秩的性质 (1)4)=(4g (2)2A)=r(A,其中元≠0： (3)(=0等价于A=0: (4)r(4)min(m,n): (5)设A,B为同阶矩阵，则 r(A+B)≤r(A)+rB) (1)设A为m×n矩阵，B为n×s矩阵，则 r(AB)≤min(r(A,r(B) r(AB)≥r(A)+r(B)-n 特别当AB=0时，r(A)+r(B)≤n成立。 [A 07 0 B =r(4)+r(B AC (7) ≥r(A)+r(B) 0 B [A 0 D B ≥(4)+r(B) PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建ww.fineprint.cn
第 3 章 线性代数方程组 3.1 基本内容 3.1.1 矩阵秩的定义 定义 1 矩阵 A 的 k 阶子式 在 m´ n 矩阵 A 中任取 k 行，k 列(1 £ k £ min(m, n))，位于这 k 行，k 列交叉点处的元 素按原来次序组成的行列式，称为 A 的一个 k 阶子式。 定义 2 矩阵 A 的秩 设在矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D，且所有的 r＋1 阶子式（如果有的话）全等 于零，那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记为rank(A) ，简 记为 r(A)。 定义 3 满秩阵 设 A 为 n 阶方阵，若 r(A)＝A，则称 A 为满秩阵。 3.1.2 矩阵秩的性质 （1） r(A ) r(A); T = （2） r(lA) = r(A),其中l ¹ 0 ； （3） r(A) = 0 等价于 A = 0； (4)r(A ) (m n) m n £ min , ´ ； （5）设 A，B 为同阶矩阵，则 r(A + B) £ r(A)+ r(B) （1） 设 A 为 m´ n 矩阵，B 为 n ´ s 矩阵，则 ( ) ( ( ) ( )) r(AB) r( ) A r( ) B n r AB r A r B ³ + - £ min , 特别当 AB＝0 时， r(A)+ r(B) £ n成立。 （7） ( ) ( ) ( ) ( ) r( ) A r( ) B D B A r r A r B B A C r r A r B B A r ³ + ú û ù ê ë é ³ + ú û ù ê ë é = + ú û ù ê ë é 0 0 0 0 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
3.1.3矩阵秩的有关结论 (1)初等变换不改变矩阵的秩，即 若A∽B,则r(4)=r(B) (2)矩阵乘上一个可逆阵不改变原矩阵的秩，即当A可逆时，有 r(AB)=r(B):r(BA)=r(B) (3)设A为n阶方阵，则其转置伴随阵的秩为 n r(A)=n 4)=1 r(④=n-1 0 r(A)≤n-2 (④)设A为方阵，则A≠0台r(A)=n。 3.1.4矩阵秩的求法 (1)用定义求矩阵的秩。 (2)用初等变换法求矩阵的秩。 (3)用性质求矩阵的秩。 (4)用有关结论求矩阵的秩。 (5)用齐次线性方称组的基础解系讨论矩阵的秩。 3.1.5系数矩阵可逆的线性代数方程组的求解 问题：求Ax=b的解，其中A≠0。 方法(1)克莱娒法则 )6=12,n小，其中D,为右端列6取代A的第1列所构成的行列式。 x= 方法(2)逆矩阵法 x=Arh,其中4=士或用4）行0：A)求A. 方法(3)G法 将增广矩阵(Ab)经过行初等变换化为行梯形阵，回代求解。 方法(3)G-J法 将增广矩阵(A:b)经过行初等变换化为行标准形后得解。 3.1.6齐次线性方程组Ax=0 (1)齐次线性方程组有解的条件 x=0为Ax=0的平凡解。 当r(A)=n时，Ax=0只有零解。 r(A<n时，Ax=0有含n-r(A)个参数的无穷多组解。 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建ww,fineprint.cn
3.1.3 矩阵秩的有关结论 （1）初等变换不改变矩阵的秩，即 若 A∽B,则 r(A) = r(B) （2）矩阵乘上一个可逆阵不改变原矩阵的秩，即当 A 可逆时，有 r(AB) = r(B)； r(BA) = r(B) (3) 设 A 为 n 阶方阵，则其转置伴随阵的秩为 ( ) ( ) ( ) ( ) ï î ï í ì £ - = - = = 0 2 1 1 * r A n r A n n r A n r A (4)设 A 为方阵，则 A ¹ 0 Û r(A) = n 。 3.1.4 矩阵秩的求法 （1）用定义求矩阵的秩。 （2）用初等变换法求矩阵的秩。 （3）用性质求矩阵的秩。 （4）用有关结论求矩阵的秩。 （5）用齐次线性方称组的基础解系讨论矩阵的秩。 3.1.5 系数矩阵可逆的线性代数方程组的求解 问题：求 Ax = b 的解，其中 A ¹ 0 。 方法（1） 克莱娒法则 (i n) A D x i i = = 1,2,L ，其中 Di 为右端列b 取代 A 的第i 列所构成的行列式。 方法（2）逆矩阵法 x A b -1 -1 = ，其中 A A A * 1 = - 或用( ) ( ) ¾¾® -1 AMI 行 IMA 求 -1 A 。 方法（3） G 法 将增广矩阵(AMb)经过行初等变换化为行梯形阵，回代求解。 方法（3）G－J 法 将增广矩阵(AMb)经过行初等变换化为行标准形后得解。 3.1.6 齐次线性方程组 = 0 ´ A x m n （1）齐次线性方程组有解的条件 x = 0为 Ax = 0的平凡解。 当 r(A) = n时， Ax = 0只有零解。 r(A) p n 时， Ax = 0有含 n - r(A)个参数的无穷多组解。 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
注Ax=0有非零解台r(A<n。 (2)齐次线性方程组解的求法 将系数矩阵经过行初等变换化为行标准形矩阵后求解。 (3)解的性质 51,52,…5k为Ax=0的解，则15+1252+…+15仍为Ar=0的解，其中11,2，…1k 为任意常数。 (4)基础解系 设51,52，…5k为Ax=0的解，满足1)51,52，…5k线性无关：2)任一Ax=0的解5 均可由51,52，…5k线性表出，则称51,52，…5k为Ax=0的一个基础解系。 注Ax=0的基础解系不唯一，但基础解系中向量个数k必为n-r(A)。 (5)齐次方程的通解 若51,52，…54为Ax=0的一个基础解系，则Ax=0的通解为 X=151+1252+…+15k,11,12,…1k∈R 3.1.7非齐次线性方程组 非齐次线性方程组Amx=b(≠O) (1)非齐次线性方程组有解的条件 当r(b)=(A)=n时，方程组有唯一解。 当r(A)<n时，方程组有含n-r(A)个参数的无穷多组解。 当(Ab)≠r(A)时，方程组无解。 (2)非齐次线性方程组解的求法 将增广矩阵(A:b)经过行初等变换化为行标准形矩阵后求解。 (3)解的性质 若51,52为Ax=b的解，则51-52为其导出方程组Ax=0的解。 注5+52为=b的一个解，而5，+5，不再是尔=b的解。 2 (4)非齐次线性方程组的通解 若若51,52，…5k为A=0的一个基础解系，三为Ax=b的一个解，则Ax=b的通解为 x=1151+1252+…+1k5k+5,1,2,…1k∈R PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w.fineprint.cn
注 Ax = 0有非零解Û r(A) p n 。 （2）齐次线性方程组解的求法 将系数矩阵经过行初等变换化为行标准形矩阵后求解。 （3）解的性质 k x ,x ,Lx 1 2 为 Ax = 0的解，则 k k t x + t x +L+ t x 1 1 2 2 仍为 Ax = 0的解，其中 k t ,t ,Lt 1 2 为任意常数。 (4)基础解系 设 k x ,x ,Lx 1 2 为 Ax = 0的解，满足 1） k x ,x ,Lx 1 2 线性无关；2）任一 Ax = 0的解x 均可由 k x ,x ,Lx 1 2 线性表出，则称 k x ,x ,Lx 1 2 为 Ax = 0的一个基础解系。 注 Ax = 0的基础解系不唯一，但基础解系中向量个数 k 必为 n - r(A)。 （5）齐次方程的通解 若 k x ,x ,Lx 1 2 为 Ax = 0的一个基础解系，则 Ax = 0的通解为 x = t 1 x1 + t 2 x 2 +L+ t k xk , t 1 ,t 2 ,Lt k Î R 3.1.7 非齐次线性方程组 非齐次线性方程组 = (¹ 0) ´ A x b m n （1） 非齐次线性方程组有解的条件 当 r(AMb) = r(A) = n 时，方程组有唯一解。 当 r(A) p n 时，方程组有含 n - r(A)个参数的无穷多组解。 当 r(AMb) ¹ r(A)时，方程组无解。 （2） 非齐次线性方程组解的求法 将增广矩阵(AMb)经过行初等变换化为行标准形矩阵后求解。 （3） 解的性质 若 1 2 x ,x 为 Ax = b 的解，则 1 2 x - x 为其导出方程组 Ax = 0的解。 注 2 1 2 x + x 为 Ax = b 的一个解，而 1 2 x + x 不再是 Ax = b 的解。 （4）非齐次线性方程组的通解 若若 k x ,x ,Lx 1 2 为 Ax = 0的一个基础解系，x 为 Ax = b 的一个解，则 Ax = b 的通解为 x = t 1 x1 + t 2 x 2 +L+ t k xk + x, t 1 ,t 2 ,Lt k Î R PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
(5)解的结构 非齐次线性方程组的通解x。等于对应的齐次线性方程组的通解x,加上非齐次线性方程组 的一个特解x。，即 Xg =xh+xp 3.2典型例题分析 1)用定义求矩阵的秩 [1234] 例1求矩阵A= 468的秩。 3 607 解因为A的第1、第2行对应成比例，故A的任意三解子式必为零，即r(A≤2，而子式 7-5≠0，知(4≥2，综上所述4)=2. ab ab2 … a6,7 ab ab2 例2设A= abn 求A的秩。 a by ab2 … anbn」 解因为 「ab ab2 … b7 a aby ab A= ab [6,b2,…,bn] a b a b a bn 知A的任二行对应成比例，即所有2阶子式全为零，得r(A)≤1，当a,a2,,an全为零或 b,b2,…,bn全为零时，(A)=0,否则r(A)=1。而 a a A2= b,b2,…,bn 26,b,,b.]=(2a,h4 an 故 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建ww,fineprint.cn
（5）解的结构 非齐次线性方程组的通解 g x 等于对应的齐次线性方程组的通解 h x ，加上非齐次线性方程组 的一个特解 p x ，即 g h p x = x + x 3.2 典型例题分析 1）用定义求矩阵的秩 例 1 求矩阵 ú ú ú û ù ê ê ê ë é = 3 6 0 7 2 4 6 8 1 2 3 4 A 的秩。 解 因为 A 的第 1、第 2 行对应成比例，故 A 的任意三解子式必为零，即 r(A) £ 2 ，而子式 5 0, 3 7 1 4 = - ¹ 知 r(A) ³ 2 ，综上所述 r(A) = 2。 例 2 设 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b A L M M M L L 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 ，求 2 A 的秩。 解 因为 [ ] n n n n n n n n b b b a a a a b a b a b a b a b a b a b a b a b A , , , 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 L M L M M M L L ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = 知 A 的任二行对应成比例，即所有 2 阶子式全为零，得 r(A) £ 1，当 n a , a , ,a 1 2 L 全为零或 n b ,b , ,b 1 2 L 全为零时， r(A) = 0 ，否则 r(A) = 1。而 [ ] [b b b ] a b A a a a b b b a a a A n i n i i n n n å= = ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 , , , , ,L, ( ) M L M 故 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
0 r4） 2)用初等变换法求矩阵的秩 [11-23 07 21 -6 4-1 例3求矩阵A= 的秩。 3 2 7 -1 1 -1-6 -1b 解将A化为行阶梯阵，即 [11 -23 0 1 -2 3 0 1 1 -23 0 2 1 -64 -1 0 -1 -2 -2 -1 0 -1 -2 -2 -1 A= -2 → 32a7 -1 0-1 a+6 -1 0 0 a+8 0 0 1-1-6-1b 0 -2 -4 -4 b 0 0 0 0 b+2 当a=-8且b=-2,r(A)=2; 当a≠-8且b=-2,r(A)=3: 当a=-8且b≠-2，r(A=3: 当a≠-8且b≠-2，r(A)=4 例1讨论n阶方阵A的秩 「ab…b ba… 6 A= Lb b …a 解将A化为行阶梯矩阵，即 a b… b7 「a(n-1bb…b7 ba… b b (n-16 a... b A= → b b a b(n-1)bb…a a+(n-1)b b.. b a-b a-b 当a≠b且a+(n-1)b=时，A=n PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建ww,fineprint.cn
( ) ï ï î ï ï í ì ¹ = = å å = = n i i i n i i i a b a b r A 1 2 1 1 0 0 0 2）用初等变换法求矩阵的秩 例 3 求矩阵 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - - - - - - - = b a A 1 1 6 1 3 2 7 1 2 1 6 4 1 1 1 2 3 0 的秩。 解 将 A 化为行阶梯阵，即 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é + + - - - - - ® ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - - - - + - - - - - - - ® ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - - - - - - - = 0 0 0 0 2 0 0 8 0 0 0 1 2 2 1 1 1 2 3 0 0 2 4 4 0 1 6 2 1 0 1 2 2 1 1 1 2 3 0 1 1 6 1 3 2 7 1 2 1 6 4 1 1 1 2 3 0 b a b a b a A 当 a = -8且b = -2,r(A) = 2; 当 a ¹ -8且b = -2,r(A) = 3; 当 a = -8且b ¹ -2,r(A) = 3; 当 a ¹ -8且b ¹ -2,r(A) = 4; 例1 讨论 n 阶方阵 A 的秩 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = b b a b a b a b b A L M M L L L 解 将 A 化为行阶梯矩阵，即 ( ) ( ) ( ) ( ) ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - - + - ® ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - - - ® ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = a b a b a n b b b b n b b a b n b a b a n b b b b b a b a b a b b A O L L L M M L L L L M M L L L 1 1 1 1 当a ¹b且a+(n-1)b＝时，r(A) =n; PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn