三、特征值和特征向量的性质 1.设n阶方阵A=(a)的特征值为2,2，， 2n,则有 (1)21+22++2n=411+22+…+0m 即∑，=tr(A) i-1 (2)2…n=Π2=A i=1 2.设A的特征值对应的特征向量为x,则A的 多项式 p(A)=aI+41A+…+0mAm 有特征值p(2)=a+12++am2,) 对应的特征 向量仍为x. 上页 区回
三、特征值和特征向量的性质 ( ) 则有 设 阶方阵 的特征值为 , 1. , , , 1 2 n n A aij = (2) . 1 1 2 A n i n i = = = 1 + 2 ++ n = a1 1 + a2 2 ++ ann (1) 2.设A的特征值对应的特征向量为x,则A的 多项式 m (A) = a0 I + a1A++ am A ( ) , 0 1 m 有特征值 = a + a ++ am 对应的特征 向量仍为 x. = tr(A) = n i i 1 即
3.方阵A与A的特征值相同，但特征向量却 未必一样 证：由4-4=(A-)=A-u=0 即知A与A的特征值相同；但若取A= 1 则明显A与A的特征值均为？，2=0，不过， 的特向量达x=0c0 而A的特向量却为x=c≠ 上页 返回
3.方阵A与A T的特征值相同，但特征向量却 未必一样. A − I = (A− I) = A− I = 0 T T 由 , 0 0 0 1 但若取A = 证： 即知A与A T的特征值相同； 则明显A与A T的特征值均为1，2 = 0， 不过， A的特征向量为 ,( 0) 0 1 x = c c 而A T的特征向量却为 ,( 0) 1 0 x = c c
4.设Ax=x,且A可逆，则 (1)A-x= 1 X; 2 (2)x= A x. 证(2)：当A可逆时，即A≠0时， 由22…n=A,知2≠0，再由Ax=2x可得 Ax=AIx=A(Ax)=A"(Ax)=x →Ax= 上页 下页 返回
4.设Ax = x,且A可逆，则 ; 1 (1) 1 A x x = − (2) x. A A x = 证（2）： 再由Ax = x可得 A (Ax) A ( x) A x = = x A A x = 当A可逆时,即A 0时, 由 12 n = A，知 0， Ax = AIx =
例5：2=2是非奇异阵4A=3的一个特征值则 的一个特征值为34， (4)'的一个特征值为 2/3. 上页 返回
( ) ( ) _____ . _____ . 3 5 : 2 3 1 * 1 2 的一个特征值为 的一个特征值为 例 是非奇异阵 的一个特征值则 − − = = A A A A 3/4 2/3
211 己知a=0ky为A=121} 的逆阵的 例6 (112 特征向量则k=2or1. [Aa=a→Aa=a 1 即 (21 12 二 入 k →3+k=2,2+2k=2k.] 1 21 上页 返回
( ) , _____ . 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 6 = = = k k A T 特征向量 则 已 知 为 的逆阵的 例 3 ,2 2 .] 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 [ 1 k k k k k A A + = + = = = = − 即 -2or1