第五章特征问题与二次型 5.1基本内容 5.1.1特征值与特征向量的定义 设A是一个n阶的方阵，若对数入，存在非零n维向量x,使Ar=入x成立，则称入是 A的特征值，x是A的属于入的特征向量。 注1特征值问题是对于方阵而言的。 注2特征向量必须是非零向量。 5.1.2特征值与特征向量的求法 (I)若A=(a,)mn为具体矩阵（即a,具体给出）求解步骤为： 第一步：求出方程A-入I=0的所有根)，入2…，入n，即为A的全部特征值。 第二步：对每个不同的入，，解其次方程组(A-入I)x0,求出一个基础解系： 4,,…,,即为A的属于的线形无关特征向量，而 10,+12a+…+1%,(其中任意常数1，l2…1k不全为零)则为A的属于入的全部 特征向量。 注1f(2)=A-2I称为A的特征多项式，其为入的n次多项式。 f(2)=A-入I=0称为A的特征方程，其在复数域内必有n个根（包括重根）， 所以n阶方阵总共有n个特征值，特征值入的重数称为入的代数重数，记做m2。 注2方程组(A-2I)x=0的解空间N(A-2I)称为A的属于入的特征子空间，而把 dimN(A-I)=n-r(A-I)成为2的几何重数，记作pPa (2)若A为抽象矩阵（即没有给出A的具体元素，），只有A满足的某些条件，则可 由定义Ax=入x来分析求解。 5.1.3特征值与特征向量的性质 (1)属于同一特征值入的特征向量的任意非零组合仍是属于入特征向量。 (2)若a1,a2是A的分别属于特征值入1，元2的特征向量，入1≠元2，则α1+2不是A 的征向量。 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建ww.fineprint..cn
第五章 特征问题与二次型 5.1 基本内容 5.1.1 特征值与特征向量的定义 设 A 是一个 n 阶的方阵，若对数l ，存在非零 n 维向量 x，使 Ax=l x 成立，则称l 是 A 的特征值，x 是 A 的属于l 的特征向量。 注 1 特征值问题是对于方阵而言的。 注 2 特征向量必须是非零向量。 5.1.2 特征值与特征向量的求法 (1) 若 A= aij n´n ( ) 为具体矩阵(即 aij 具体给出)求解步骤为： 第一步：求出方程 A - lI = 0 的所有根l l ln , , 1 2L ，即为 A 的全部特征值。 第二步：对每个不同的 li ，解其次方程组(A I) - li x=0，求出一个基础解系： , , , , 1 2 i k ai ai L ai 即 为 A 的 属 于 li 的 线 形 无 关 特 征 向 量 ， 而 i i k i i k i t a + t a +L+ t a 1 1 2 2 (其中任意常数 i k t t Lt 1 2 , 不全为零)则为 A 的属于 li 的全部 特征向量。 注 1 f (l) = A - lI 称为 A 的特征多项式，其为l 的 n 次多项式。 f (l) = A - lI = 0 称为 A 的特征方程，其在复数域内必有 n 个根（包括重根）， 所以 n 阶方阵总共有 n 个特征值，特征值l 的重数称为l 的代数重数，记做 ml 。 注 2 方程组(A - lI)x = 0 的解空间N(A - lI) 称为 A 的属于l 的特征子空间，而把 dimN(A - lI) = n - r(A - lI) 成为l 的几何重数，记作 rl 。 (2) 若 A 为抽象矩阵（即没有给出 A 的具体元素aij ），只有 A 满足的某些条件，则可 由定义 Ax = lx来分析求解。 5.1.3 特征值与特征向量的性质 (1) 属于同一特征值l 的特征向量的任意非零组合仍是属于l 特征向量。 (2) 若a1 a2 , 是 A 的分别属于特征值 1 2 l ,l 的特征向量，l1 ¹ l2 ，则a1 +a2 不是 A 的征向量。 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
(3)属于不同特征值的特征向量必线形无关。 (4)设n阶方阵A的n特征值为入1，入2，…，元n,则 -a= (5.1) i=l 12,=A (5.2) 注由(5.2)式可知，A可逆一A没有零特征值。 (5)特征值入的几何重数P2与代数重数m2满足 1≤Pa≤m (5.3) (6)设2为方阵A的特征值，x是对应的特征向量，k常数，m为正整数，则 ,是A及ja=a,”+a,++aA+a分别为矩阵4， 从，严，2+k,元元 A",A+L,A,A及f(A)的特征值，而x为对应的特征向量。 注若入，4分别是A,B的特征值，则入+4未必是A什B的特征值，u也未必是AB 的特征值。 (7)A与AT有相同的特征值，但特征向量未必相同。 (⑧)正交阵A的特征值只能是±1。 5.1.4相似矩阵的概念 定义：设A、B都是n阶方阵，若存在n可逆P,使P-AP=B,则称A相似与B。 基本性质： 自反性：A与A相似： 对称性：A相似与B,则B也相似与A: 传递性：A相似与B,B相似与C,则A相似与C。 注若A与对角阵相似，则称A可对角化。 5.1.5相似矩阵的性质 若P-AP=B,即A相似与B,则 (1)A=B. PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建ww,fineprint.cn
(3) 属于不同特征值的特征向量必线形无关。 (4) 设 n 阶方阵 A 的 n 特征值为l l ln , , , 1 2 L ，则 ( ) 1 1 tr A n i ii n i å i = å = = = l a (5.1) Õ = A = n i i 1 l (5.2) 注 由(5.2)式可知，A 可逆Û A 没有零特征值。 (5) 特征值l 的几何重数 rl 与代数重数 ml 满足 £ rl £ ml 1 (5.3) (6) 设 l 为方阵 A 的特征值，x 是对应的特征向量，k 常数，m 为正整数，则 l l l l l A , 1 k , , k, m + 及 m m m m f = a + a + + a + a - - l l l 1l 1 0 1 ( ) L 分 别 为矩阵 kA ， * A , A I, A ,A -1 + k m 及 f (A) 的特征值，而 x 为对应的特征向量。 注 若l, m 分别是 A，B 的特征值，则l + m 未必是 A+B 的特征值，lm 也未必是 AB 的特征值。 (7) A 与 T A 有相同的特征值，但特征向量未必相同。 (8) 正交阵 A 的特征值只能是 ±1。 5.1.4 相似矩阵的概念 定义：设 A、B 都是 n 阶方阵，若存在 n 可逆 P，使 P AP = B -1 ，则称 A 相似与 B。 基本性质： 自反性：A 与 A 相似； 对称性：A 相似与 B，则 B 也相似与 A； 传递性：A 相似与 B，B 相似与 C，则 A 相似与 C。 注 若 A 与对角阵相似，则称 A 可对角化。 5.1.5 相似矩阵的性质 若 P AP = B -1 ，即 A 相似与 B，则 (1) A = B 。 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
(2)AT与BT,4与kB,AT与Bm也相似（其中k为常数，m为正整数）。 (3)当A可逆时，A1与B1,A与B也相似。 (4)A-2=B-,从而A与B有相同的特征值。 (5)r(A)=trB)。 (6)r(A)=r(B)。 5.1.6n阶矩阵A可对角化的条件 (1)A可对角化的充要条件是A有n个线形无关的特征向量 (2)若A有n个互不相等的特征值，则A可对角化。 注这是充分而非必要条件。 (3)A可对角化的条件是对A的任一特征值，有 m=Pi 5.1.7将A对角化的方法 (1)求出A的所有的特征值入，入2，…，入n,其中互不相等的特征值为 元4,2，…，元，r≤n) (2)若A可对角化，则k重特征值入必对应k个线形无关的特征向量，求出每一个齐次 方程组(A一入，x)=0(-1,2)的基础解系，合并后必可得到A的n个线形无关的特征向 量01,02，…，0m 1 (3)令P=a1,a2,,a.],A= 则P可逆，且有 P-AP=Λ或A=PAP- (5.4) 注P的每一列以，的排列序应与Λ中对应的入，的排序相同。 5.1.8实对称矩阵的正交对角化 设A为实对称矩阵，则有 (1)A的特征值都是实数： PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建ww,fineprint.cn
(2) T A 与 T B ，kA 与 kB， T A 与 m B 也相似(其中 k 为常数，m 为正整数)。 (3) 当 A 可逆时， 1 A - 与 1 B - ， * A 与 * B 也相似。 (4) A - lI = B - lI ，从而 A 与 B 有相同的特征值。 (5) tr(A) = tr(B)。 (6) r(A) = r(B)。 5.1.6 n 阶矩阵 A 可对角化的条件 (1) A 可对角化的充要条件是 A 有 n 个线形无关的特征向量 (2) 若 A 有 n 个互不相等的特征值，则 A 可对角化。 注 这是充分而非必要条件。 (3) A 可对角化的条件是对 A 的任一特征值，有 ml = rl 5.1.7 将 A 对角化的方法 (1) 求 出 A 的 所 有 的 特 征 值 l l ln , , , 1 2 L ，其中 互 不 相 等 的 特 征 值 为 r li li li , , , 1 2 L (r £ n ). (2) 若 A 可对角化，则 k 重特征值l 必对应 k 个线形无关的特征向量，求出每一个齐次 方程组(A - x) = 0 k r l (k=1,2,…,r)的基础解系，合并后必可得到 A 的 n 个线形无关的特征向 量a1 a2 an , ,L, 。 (3) 令 P=[ ] a1 a2 an , ,L, ， ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é L = l n l l O 2 1 ，则 P 可逆，且有 = L - P AP 1 或 1 A P P - = L (5.4) 注 P 的每一列ai 的排列序应与 L 中对应的li 的排序相同。 5.1.8 实对称矩阵的正交对角化 设 A 为实对称矩阵，则有 (1) A 的特征值都是实数； PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
(2)A的不同特征值对应的特征向量正交： (3)A可正交对角化，既存在正交阵Q使Q-AQ=Q'AQ=A。其中 Λ=dig(入1，入2…，n)，入1，入2，…，入n是A的特征值。 注正交阵Q的求法： 对A的k(k⊙1)重特征根入，将求出的(A-入I)x=0的基础解系正交化，这样合并后 得到的n个特征向量1，a2,…,a.不仅仅线形无关，而且相互正交，再将每一个，单位化，则 可得到标准正交特征向量组1,2，…，1n,令-71，门2…，门n],则Q为正交矩阵，且满足 QTAQ=Λ。 5.1.9二次型及其矩阵形式 (1)定义n变量的二次齐次函数 f(x1,x2,…,xn）=C1x+2a12x1x2+2013x1x3+…+2a1nx1xn +z+2zX2++2a2nx2 十… +Cmxz =2ax,x,(其中a,=a,a,∈R. i=l j=l 称为n个变量x,x2,…,xn的二次型。 注若a,=0(i≠j,i,j=1,2,…,n)则称∫为标准型。 (2)矩阵形式 f(x)=xAx 其中X=[x,x2,…,xn广，A=(C)nn,这里a)=C元，即A为实对称矩阵。 注1实对阵矩阵A成为二次型∫的矩阵，而A的秩称为该二次型的秩。 注2二次型与实对称矩阵是一一对应的，即二次型的矩阵必为实对称矩阵，而任一实 对称矩阵均可看做是某一二次型的矩阵。 注3标准型的矩阵是对角阵。 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建www,fineprint.cn
(2) A 的不同特征值对应的特征向量正交； (3) A 可正交 对 角 化 ， 既 存 在 正 交 阵 Q 使 = = L - Q Q Q AQ 1 T A 。其中 L = diag ( , , ) l1 l2 L ln ，l l ln , , , 1 2 L 是 A 的特征值。 注 正交阵 Q 的求法： 对 A 的 k（k>1）重特征根l ，将求出的(A - lI)x = 0 的基础解系正交化,这样合并后 得到的 n 个特征向量a1 a2 an , ,L, 不仅仅线形无关,而且相互正交,再将每一个ai 单位化,则 可得到标准正交特征向量组h h hn , ,L, 1 2 ,令 Q= [ ] h h hn , L, 1 2 ,则 Q 为正交矩阵,且满足 Q Q = L T A 。 5.1.9 二次型及其矩阵形式 (1) 定义 n 变量的二次齐次函数 n n n f x x x x x x x x x x 12 1 2 13 1 3 1 1 2 1 2 11 1 ( , ,L, ) = a + 2a + 2a +L+ 2a 2 22 2 +a x n n x x x x 23 2 3 2 2 + 2a +L+ 2a +L 2 nn n +a x i j n i n j ij åå x x = = = 1 1 a (其中aij = a jiaij ÎR)， 称为 n 个变量 n x , x , , x 1 2 L 的二次型。 注 若aij = 0 （i ¹ j,i, j = 1,2,L, n ）则称 f 为标准型。 (2) 矩阵形式 x x Ax T f ( ) = 其中 [ ] ij n n T = x x xn A = ´ , , , , ( ) x 1 2 L a ，这里aij = a ji ，即 A 为实对称矩阵。 注 1 实对阵矩阵 A 成为二次型 f 的矩阵，而 A 的秩称为该二次型的秩。 注 2 二次型与实对称矩阵是一一对应的，即二次型的矩阵必为实对称矩阵，而任一实 对称矩阵均可看做是某一二次型的矩阵。 注 3 标准型的矩阵是对角阵。 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
5.1.10与二次型的标准型有关的概念 (1)满秩线形变换 设x=x,x2,…,xn],y=y,2,…,ynJ,P=(P)m可逆，则称=乃为由 X1,x2,…,Xn到y1,y2,…,yn的满秩线形变换。 注若P为正交矩阵，则称为正交的（线性）变换。 (2)合同矩阵 设A,B为n阶方阵，若存在n阶可逆阵C,使 CTAC=B 则A合同与B,C为合同变换阵。 注1若C为正交阵，满足CTAC=B,A与B既合同，又相似。 注2合同矩阵秩相等。 注3合同关系满足自反性、对称性、传递性。 (3)对任一个二次型∫=x'Ax,总可以通过满秩线形变换x=Py化为 f=y'PAy=d y2+d2y+.+d,y? 成为∫的标准型。其中r=),即任一二次型均可通过满秩变换化为标准形。 注1f的标准型矩阵D=PTAP与f的矩阵A合同。 注2将二次型化为标准形的满秩变换不是唯一的，从而二次型的标准形也不是唯一的。 注3当d=…=dp=1,d1=…=d,=-1时的标准型成为∫的规范型。其形式为 +y经+…+y后一y1-一y,二次型的规范形是唯一的。 (4)惯性律 对一个二次型∫=x「Ax,无论用哪一个满秩变换将其化为标准形，其标准形中平方 项前正系数个数p和负系数个数p都是唯一确定的，称p为二次型的正惯性指数，”p为 负惯性指数（其中r为A的秩），而p-(rp)称为符号差。 注两个个变量的不同的二次型的正、负惯性指数如果相等，则它们有相同的规范形。 5.1.11化二次型为标准型的方法 ()配方法 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建ww,fineprint.cn
5.1.10 与二次型的标准型有关的概念 (1) 满秩线形变换 设 [ ] [ ] ij n n T n T = x x xn = y y y = p ´ , , , , , , , , ( ) x 1 2 L y 1 2 L P 可 逆 ， 则 称 x=Py 为 由 n x , x , , x 1 2 L 到 n y , y , , y 1 2 L 的满秩线形变换。 注 若 P 为正交矩阵，则称为正交的（线性）变换。 (2) 合同矩阵 设 A，B 为 n 阶方阵，若存在 n 阶可逆阵 C，使 C AC B T = 则 A 合同与 B，C 为合同变换阵。 注 1 若 C 为正交阵，满足C AC B T = ，A 与 B 既合同，又相似。 注 2 合同矩阵秩相等。 注 3 合同关系满足自反性、对称性、传递性。 (3) 对任一个二次型 x Ax T f = ，总可以通过满秩线形变换 x=Py 化为 2 2 2 2 2 1 1 r r f = y P Ay = d y + d y +L+ d y T T 成为 f 的标准型。其中 r=r(A)，即任一二次型均可通过满秩变换化为标准形。 注 1 f 的标准型矩阵 D= P AP T 与 f 的矩阵 A 合同。 注 2 将二次型化为标准形的满秩变换不是唯一的，从而二次型的标准形也不是唯一的。 注 3 当d1 = L = d p = 1, d p+1 = L = dr = -1时的标准型成为 f 的规范型。其形式为 2 2 1 2 2 2 2 1 p p r y + y + + y - y - - y L + L ，二次型的规范形是唯一的。 (4) 惯性律 对一个二次型 x Ax T f = ，无论用哪一个满秩变换将其化为标准形，其标准形中平方 项前正系数个数 p 和负系数个数 r-p 都是唯一确定的，称 p 为二次型的正惯性指数，r-p 为 负惯性指数（其中 r 为 A 的秩），而 p-（r-p）称为符号差。 注 两个 n 个变量的不同的二次型的正、负惯性指数如果相等，则它们有相同的规范形。 5.1.11 化二次型为标准型的方法 (1) 配方法 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn