11 例3设A= 2 ,求A的特征值与特征向量. -413 解 -2- 1 1 A-2I= 0 2- 0 -4 1 3 =-(2+1)(2-2)2 令-(2+1)(2-22=0， 得A的特征值为21=-1,22=23=2. 上页 返回
例３ 设 , 4 1 3 0 2 0 2 1 1 − − A = 求A的特征值与特征向量． − − − − − − = 4 1 3 0 2 0 2 1 1 A I ( ) 2 = −( + 1) − 2 令 ( 1)( 2) 0， 2 − + − = 1, 2. 得A的特征值为1 = − 2 = 3 = 解
当2=-1时，解方程(A+I)x=0.由 -11 4+I= 10 0 得基础解系 P1= 0 故对应于2=-的全体特征向量为 kPs (k≠0). 上页 返回
当1 = −1时,解方程(A+ I)x = 0.由 , 0 0 0 0 1 0 1 0 1 4 1 4 0 3 0 1 1 1 ~ − − − A+ I = , 1 0 1 1 得基础解系 p = 故对应于1 = −1的全体特征向量为 ( 0). 1 k p k
当2=23=2时，解方程A-2I)x=0.由 -411 4 11 A-2I= 0 0 0 0 得基础解系为： P3= 4 所以对应于2=3=2的全部特征向量为： k2P2+k3P3(k2,k3不同时为0). 上页 返回
当2 = 3 = 2时,解方程(A− 2I)x = 0.由 , 0 0 0 0 0 0 4 1 1 4 1 1 0 0 0 4 1 1 2 ~ − − − A− I = 得基础解系为： , 4 0 1 , 1 1 0 2 3 = − p = p 2 : 所以对应于2 = 3 = 的全部特征向量为 ( , 0). k2 p2 + k3 p3 k2 k3不同时为
例4证明：若2是矩阵A的特征值，x是A的属于 2的特征向量，则 ()"是A"m的特征值(m是任意正整数)， (2)当A可逆时，2是A1的特征值. 证明()Ax=2x ∴A(Ax)=A(2x)=(Ax)=(2x)→Ax=2x 再继续施行上述步骤m-2次，就得A"x=2"x 故"是矩阵A"的特征值，且x是Am对应于兄"的特 征向量. 上页 返回
例４ 证明：若 是矩阵A的特征值， 是A的属于 的特征向量，则 x (1) 是A 的特征值(m是任意正整数). m m (2) , . 当A可逆时 −1是A −1的特征值 证明 (1) Ax = x A(Ax) = A(x) = (Ax) = (x) A x x 2 2 = 再继续施行上述步骤 m − 2 次，就得 A x x m m = . , 征向量 故 m 是矩阵A m的特征值 且 x是 A m 对应于 m的特
(2)当A可逆时，由22几n=A,知2≠0， 再由Ax=x可得 A-'(Ax)=A(2x)=24x →A1x=21x 故2是矩阵A-的特征值，且x是A1对应于21 的特征向量 上页 返回
再由Ax = x可得 A (Ax) A ( x) A x −1 −1 −1 = = A x x −1 −1 = (2)当A可逆时, . , 1 1 1 1 的特征向量 故 − 是矩阵 − 的特征值 且 是 − 对应于 − A x A 由 12 n = A，知 0