华东理工学院：《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第五章 特征值问题与二次型

二、特征值与特征向量的求法 1求4-( 的特征值和特征向量， 解A的特征多项式为 3-九 -1 A-M= =(3-2)2-1 -13-元 =8-62+λ2=(4-2)(2-2) 解特征方程A-2I=0 即得A的特征值为几1=2，几2=4. 上页 返回

二、特征值与特征向量的求法 例1 . 1 3 3 1 求 的特征值和特征向量      − − A = A的特征多项式为   − − − − 1 3 3 1 (3 ) 1 2 = − − 8 6 (4 )(2 ) 2 = −  +  = −  −  2, 4. 1 2 即得A的特征值为 =  = A− I = 解特征方程 A− I = 0 解

当入，=2时，对应的特征向量应满足 即 X1-X2=0, 一X1+X2=0. 解得=，所以对旋的特征向基取为p-什：4 当入2=4时，由 3U-8 上页 返回

      =               − − − − = 0 0 1 3 2 3 2 1 2 , 2 1 1 x x 当 时 对应的特征向量应满足    + = − = − 0. 0, 1 2 1 2 x x 即 x x , 解得x1 = x2 , 0. 1 1 1          所以对应的特征向量可取 为 p = c c , 0 0 1 1 1 1 , 0 0 1 3 4 3 4 1 4 , 2 1 2 1 2       =               − − − −       =               − − − − = x x x x 即 当 时 由

解得X,=-X2,所以对应的特征向量可取为 =0 -11 0 例2求矩阵A= -430的特征值和特征向量 102 解 A的特征多项式为 -1-λ 1 0 A-= -4 3-λ 0 =(2-)1-2), 1 0 2- 上页 返回

, 0. 11 p,2 1 2    − = = − c c 解 得 x x 所以对应的特征向量可取 为 例２ . 1 0 2 4 3 0 1 1 0 求矩阵 的特征值和特征向量   −− A = 解 (2 ) , 1 0 2 4 3 0 1 1 0 (1 )2       = − − − − − − − A− I = A的特征多项式为

所以A的特征值为元1=2,22=3=1. 当入1=2时，解方(A-2I)x=0.由 -3 「100 10 A-2I= -4 10 0 10 、1 0 0 0 0 0 得基础解系 所以k卫，(k≠0)是对应于入1=2的全部特征向量 上页 返回

2, 1. 所以A的特征值为1 = 2 = 3 = 当1 = 2时,解方程(A− 2I)x = 0.由                       − − − = 0 0 0 0 1 0 1 0 0 ~ 1 0 0 4 1 0 3 1 0 A 2I , 1 0 0 1           得基础解系 p = ( 0) 2 . 1 1 所 以k p k  是对应于 = 的全部特征向量

当入2=入3=1时，解方程(A-)x=0.由 2 1 0 71 01 A-I= -4 2 0 0 12 1 0 1 0 0 0 得基础解系 P2= 所以kP,(k≠0)是对应于入，-入，=1的全部特征 向量. 上页 返回

, 0 0 0 0 1 2 1 0 1 1 0 1 4 2 0 2 1 0 ~                     − − A− I = 当2 = 3 = 1时,解方程(A− I)x = 0.由 , 1 2 1 2           − − 得基础解系 p = 所以 ( 0)是对应于 2 3 1的全部特征 2 k p k   =  = 向量