∑ n=1 若limS,不存在,则称无穷级数发散 n->00 当级数收敛时,称差值 n+1+1ln+2+ 为级数的余项.显然 lim〃,=0 n→0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
当级数收敛时, 称差值 为级数的余项. 则称无穷级数发散 . 显然 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.讨论等比级数(又称几何级数) ∑ a1 arag+aq-+…+n"+…(a≠0 n=0 (q称为公比)的敛散性 解:1)若q≠1,则部分和 =a+aq+aq2+…+01 a-d 当q<1时,由于imq=0,从而imSn n→00 n→)0 因此级数收敛,其和为 当q>1时,由于limq=∞,从而 lim s=∞ n→00 n→0 因此级数发散 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 讨论等比级数(又称几何级数) ( q 称为公比 ) 的敛散性. 解: 1) 若 q a a q n − − = 1 从而 q a n n S − → = 1 lim 因此级数收敛 , ; 1 q a − 从而 lim = , → n n S 则部分和 因此级数发散 . 其和为 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2)若q|=1,则 当q=1时,Sn=na→>∞,因此级数发散 当q=-1时,级数成为 a-a+a-a+…+(-1)n-1a+ a,n为奇数 因此S n=10,n为偶数 从而imSn不存在,因此级数发散 n→00 综合1)、2)河知,q<1时等比级数收敛; q21时等比级数发散 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
2). 若 因此级数发散 ; 因此 Sn = n 为奇数 n 为偶数 从而 综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ; q 1 时, 等比级数发散 . 则 级数成为 a, 0, 不存在 , 因此级数发散. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.判别下列级数的敛散性 n+1 (1)∑ln n(n+1 解:(1) n+1 h=1n;+n。+In+……+hn =(a2∈i)(23-h2++(m+)-lmy) =ln(n+1)→>∞(n→>∞) 技巧 所以级数(1)发散 利用“拆项相消”求 和 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例2. 判别下列级数的敛散性: 解: (1) 1 2 Sn = ln = (ln 2 − ln1) + (ln3− ln 2) ++ (ln(n +1) − ln n) = ln(n +1) → (n → ） 所以级数 (1) 发散 ; 技巧: 利用 “拆项相消” 求 和 2 3 + ln 3 4 + ln n n 1 ln + ++ 机动 目录 上页 下页 返回 结束