第五章分子动理论1.一容器被隔板分成相等的两部分，一边装二氧化碳，另一边装氢气，两边气体的质量相同，温度相同。如果隔板与容器壁间无摩擦，问隔板是否会移动，为什么？答：根据理想气体状态方程PV=兰RT，可得压强P=MRT，vA氢气和二氧化碳质量M相同，温度T相同，体积V相同，但二者摩尔质量u不同，因此隔板两端压强不同，会发生移动。两瓶不同种类的气体，设分子平均动能相同，但气体的分子密度不同，问：它们的温度2.是否相同？压强是否相同？答：(1)分子平均动能==mvz==kT，其中k是玻尔兹曼常数，因为平均动能相同，因此两种气体的温度一定相同；(2)压强P=nkT，两种气体温度相同，但是气体分子密度不同，因而单位体积内的分子数n不同，则二者压强不同。3．在容积为40L的贮气筒内有128g氧气，当贮气筒的温度为27℃时，筒内氧气的压强为多少个大气压？分子数密度是多少？MRT答：（1)根据理想气体状态方程PV==RT，可得压强P=uvV代入V=40L=0.04m3,M=128gT=27℃=300K,氧气μ=32g·mol-1,R=8.314J·mol-1.K-1得压强P=249420N·m-2=2.46atm(2)有压强P=nkT，代入玻尔兹曼常数k=1.38×10-23J·K-1,T=27℃=300K，=6.02×1025/m3可得分子数密度n=：kT4．某氧气瓶的容积是35L，瓶内氧气的压强为1.5×107Pa，给病人输氧气一段时间后，氧气的压强降为1.2×107Pa，设温度为20℃，求用掉的氧气质量是多少？答：根据理想气体状态方程PV=MRT，APViH= 1.5x107Pax35×10-3m3x32gmol-1可得输氧前气体质量M,=5=6896.55gRT8.314J-mol1-K-1x293K理想气体状态方程整理后可得崇=，RTP输氧前后瓶内体积V，摩尔质量μ，R，温度T均不变，因此有兰=M2PP2已知P=1.5×107Pa,P2=1.2×107Pa,M1=6.90×103g,可得用掉的氧气质量为M=M1-Mz=M（1-）=1.38×103g5.湖面下50m处（温度4℃），有一体积为10cm3的气泡，若湖面温度为17℃，求此气泡升到湖面时的体积
第五章 分子动理论 1. 一容器被隔板分成相等的两部分，一边装二氧化碳，另一边装氢气，两边气体的质量相 同，温度相同。如果隔板与容器壁间无摩擦，问隔板是否会移动，为什么？ 答：根据理想气体状态方程𝑃𝑉 = 𝑀 𝜇 𝑅𝑇，可得压强𝑃 = 𝑀𝑅𝑇 𝜇𝑉 ， 氢气和二氧化碳质量 M 相同，温度 T 相同，体积 V 相同，但二者摩尔质量𝜇不同， 因此隔板两端压强不同，会发生移动。 2. 两瓶不同种类的气体，设分子平均动能相同，但气体的分子密度不同，问：它们的温度 是否相同？压强是否相同？ 答：(1)分子平均动能𝜀̅= 1 2 𝑚𝑣̅̅2̅= 3 2 𝑘𝑇，其中 k 是玻尔兹曼常数，因为平均动能相同， 因此两种气体的温度一定相同； (2)压强𝑃 = 𝑛𝑘𝑇，两种气体温度相同，但是气体分子密度不同，因而单位体积内的 分子数 n 不同，则二者压强不同。 3. 在容积为 40L 的贮气筒内有 128g 氧气，当贮气筒的温度为27℃时，筒内氧气的压强为 多少个大气压？分子数密度是多少？ 答：(1)根据理想气体状态方程𝑃𝑉 = 𝑀 𝜇 𝑅𝑇，可得压强𝑃 = 𝑀𝑅𝑇 𝜇𝑉 ， 代 入 𝑉 = 40L = 0.04m3 ,𝑀 = 128g,𝑇 = 27℃ = 300𝐾,氧气𝜇 = 32g ∙ mol−1 ,𝑅 = 8.314J∙ mol −1 ∙ K −1 得压强P = 249420N∙ m−2 = 2.46𝑎𝑡𝑚. (2)有压强𝑃 = 𝑛𝑘𝑇，代入玻尔兹曼常数𝑘 = 1.38 × 10−23J∙ K −1 ,𝑇 = 27℃ = 300𝐾， 可得分子数密度𝑛 = 𝑃 𝑘𝑇 = 6.02 × 1025/𝑚3 . 4. 某氧气瓶的容积是 35L，瓶内氧气的压强为1.5 × 107Pa，给病人输氧气一段时间后，氧 气的压强降为1.2 × 107Pa，设温度为20℃，求用掉的氧气质量是多少？ 答：根据理想气体状态方程𝑃𝑉 = 𝑀 𝜇 𝑅𝑇， 可得输氧前气体质量M1 = 𝑃1𝑉1𝜇 𝑅𝑇 = 1.5×107𝑃𝑎×35×10−3𝑚3×32𝑔∙𝑚𝑜𝑙 −1 8.314J∙mol −1∙K−1×293𝐾 = 6896.55g， 理想气体状态方程整理后可得𝑉𝜇 𝑅𝑇 = 𝑀 𝑃 ， 输氧前后瓶内体积V，摩尔质量 μ，R，温度 T均不变，因此有M1 𝑃1 = 𝑀2 𝑃2 ， 已知P1 = 1.5 × 107Pa, P2 = 1.2 × 107Pa,M1 = 6.90 × 103g， 可得用掉的氧气质量为𝑀 = 𝑀1 − 𝑀2 = M1 (1 − 𝑃2 𝑃1 ) = 1.38 × 103g. 5. 湖面下 50m 处（温度4℃），有一体积为10cm3的气泡，若湖面温度为17℃，求此气泡 升到湖面时的体积
答：根据理想气体状态方程PV=兴RT，可得兴=兰，I因此气泡在水下和湖面时的状态满足=些TiT2气泡在水下的体积Vi=10cm3=1×10-5m2，压强P=P+pgh=1.013×105+103×9.8×50=5.913×105Pa，温度T=4℃=277K气泡升到湖面时压强P=1.013×105Pa，温度T2=17℃=290K，代入数据可得气泡升到湖面上的体积V2=P=61.1cm3T,P26．容器内贮有气体，压强为1.33Pa，温度为27℃，问在单位体积内有多少个分子？这些分子的总平均动能是多少？1.33PaP答：压强满足P=nkT，因此分子数密度n=3.21×1020/m3,kT1.38x10-23J-K-1x300K分子平均动能=m2=kT=×1.38×10-23J·K-1×300K=6.21×10-21j,则总平均总能为n?=3.21×1020/m3×6.21×10-21J=1.993J.7.分别求出温度t=1000℃和t=一150℃时氮气分子的平均平动动能和方均根速率。答：1000℃即1273K,此时分子平均动能==kT=号×1.38×10-23J·K-1×1273K=26.4×10-21J;-150℃即123K，此时分子平均动能==kT==×1.38×10-23JK-1×123K=2.55×10-21];1000℃时方均根速率/元=/3RT/u，代入氮气μ=28g?mol-1,R=8.314J·mol-1.K-1，可得/元=33.7m?s-1-150℃时方均根速率/元=/3RT/μ=10.5m?s-1已知在0℃和压强为1.144×10*Pa时，一气体的密度为1.0×10-5g·cm-3，试求此气体8.的分子量并确定它是什么气体。答：根据理想气体状态方程PV=兴RT=兴RT，AA1.0×10-g.cm-3x8.314j-mol-1.k-1×273KpRT-1由此可得气体摩尔质量μ=BK=1.98g1.144x104PaPmol-1，因此为氢气。9.求17℃时氧气的最大概然速率、平均速率、方均根速率。答：利用T=17=290K,氧气μ=32g?mol-1,R=8.314J·mol-1.K-1,2R - 12.2m*s-1;最概然速率vpyu
答：根据理想气体状态方程𝑃𝑉 = 𝑀 𝜇 𝑅𝑇，可得𝑃𝑉 𝑇 = 𝑀 𝜇 ， 因此气泡在水下和湖面时的状态满足P1𝑉1 𝑇1 = 𝑃2𝑉2 𝑇2 ， 气泡在水下的体积 V1 = 10cm3 = 1 × 10−5m3，压强P1 = 𝑃0 + 𝜌𝑔ℎ = 1.013 × 105 + 103 × 9.8 × 50 = 5.913 × 105Pa，温度T1 = 4℃ = 277𝐾， 气泡升到湖面时压强P2 = 1.013 × 105Pa，温度T2 = 17℃ = 290𝐾， 代入数据可得气泡升到湖面上的体积V2 = P1𝑉1𝑇2 𝑇1𝑃2 = 61.1cm3 . 6. 容器内贮有气体，压强为 1.33Pa，温度为27℃，问在单位体积内有多少个分子？这些分 子的总平均动能是多少？ 答：压强满足𝑃 = 𝑛𝑘𝑇，因此分子数密度n = P kT = 1.33𝑃𝑎 1.38×10−23J∙K−1×300𝐾 = 3.21 × 1020/𝑚3 , 分子平均动能𝜀̅= 1 2 𝑚𝑣̅̅2̅ = 3 2 𝑘𝑇 = 3 2 × 1.38 × 10−23J ∙ K −1 × 300𝐾 = 6.21 × 10−21J， 则总平均总能为𝑛 ∙ 𝜀̅= 3.21 × 1020/𝑚3 × 6.21 × 10−21J = 1.993J. 7. 分别求出温度t = 1000℃和 t = −150℃时氮气分子的平均平动动能和方均根速率。 答：1000℃即 1273K,此时分子平均动能𝜀̅= 3 2 𝑘𝑇 = 3 2 × 1.38 × 10−23J∙ K −1 × 1273𝐾 = 26.4 × 10−21J； −150℃即 123K , 此 时 分子 平均 动能𝜀̅= 3 2 𝑘𝑇 = 3 2 × 1.38 × 10−23J∙ K −1 × 123𝐾 = 2.55 × 10−21J； 1000℃时方均根速率√𝑣̅̅2̅ = √3𝑅𝑇⁄𝜇，代入氮气𝜇 = 28g ∙ mol−1 ,𝑅 = 8.314J ∙ mol −1 ∙ K −1，可得√𝑣̅̅2̅ = 33.7m ∙ s −1 ； −150℃时方均根速率√𝑣̅̅2̅= √3𝑅𝑇⁄𝜇 = 10.5m∙ s −1 8. 已知在0℃和压强为1.144 × 104Pa时，一气体的密度为1.0 × 10−5g ∙ cm−3，试求此气体 的分子量并确定它是什么气体。 答： 根据理想气体状态方程𝑃𝑉 = 𝑀 𝜇 𝑅𝑇 = ρV μ 𝑅𝑇， 由此可得气体摩尔质量 𝜇 = 𝜌𝑅𝑇 𝑃 = 1.0×10−5g∙cm−3×8.314J∙mol −1 ∙K −1×273𝐾 1.144×104Pa = 1.98g ∙ mol−1，因此为氢气。 9. 求17℃时氧气的最大概然速率、平均速率、方均根速率。 答：利用𝑇 = 17℃ = 290𝐾,氧气𝜇 = 32g ∙ mol−1 ,𝑅 = 8.314J∙ mol −1 ∙ K −1， 最概然速率vp = √ 2𝑅𝑇 𝜇 = 12.2m ∙ s −1 ；
BRT13.9m*s-1;平均速率=nu3RT方均根速率√=T=15.0ms-1Vμ的物理意义是什么？设有N个粒子，其速率分布函数10.气体分子速率分布函数f(v)=Ndv(C.0<≤%。（1）作出速率分布曲线；（2）求常量C；（3）求粒子的平均为f(v) =0,V<Vo速率和方均根速率。答：气体分子速率分布函数的物理意义是：速率在v附近单位速率区间内的分子数占总兴的数值越大，表示分子处在附近单位速率区间的概率分子数的百分比，即f(v)=Ndv越大。t/(0)C0Vo(1)速率分布曲线如图所示：(2)由归一化条件J。f(v)du=1，即JCdu=CV=1，可得C=V(3)平均速率=J。f()d=J°Cd===()=因此方均根速率/元=_3VV311.已知阿伏伽德罗常数为NA，设某种固体物质的摩尔质量为M，密度为p，此物质样品质量为m，体积为V，总分子数为n，则下列表达式中能表示一个分子质量的是（）A.NA/MB.M/NAPC.m/nD.M/pV答：C12.某气体的温度为27℃，压强为1.5atm，求1L该气体中有多少个分子？1.5x1.013×105paP答：压强满足P=nkT，因此分子数密度n==3.67×1025/m3,kT=1.38×10-23J-K-1x300k1L该气体中的分子数为3.67×1022个。13.在什么高度大气压强为地面的50%？（设空气温度T=0℃,μ=28.9g?mol-1）答：根据大气压强与海拔高度的关系P=Pee-ugh/(RT)，代入P/P=1/2,T=0℃=273K,μ=28.9g·mol-1=28.9×10-3kg·mol-1,g=9.8m·s-2,R=8.314J·mol-1.K-1,可求得高度h=5555m
平均速率𝑣̅= √ 8𝑅𝑇 𝜋𝜇 = 13.9m ∙ s −1 ； 方均根速率√𝑣̅̅2̅ = √ 3𝑅𝑇 𝜇 = 15.0m ∙ s −1 10. 气体分子速率分布函数𝑓(𝑣) = d𝑁 𝑁d𝑣 的物理意义是什么？设有 N 个粒子，其速率分布函数 为𝑓(𝑣) = { 𝐶, 0 < 𝑣 < 𝑉0 0, 𝑣 < 𝑉0 。（1）作出速率分布曲线；（2）求常量 C；（3）求粒子的平均 速率和方均根速率。 答：气体分子速率分布函数的物理意义是：速率在𝑣附近单位速率区间内的分子数占总 分子数的百分比，即𝑓(𝑣) = d𝑁 𝑁d𝑣的数值越大，表示分子处在𝑣附近单位速率区间的概率 越大。 (1)速率分布曲线如图所示： (2)由归一化条件∫ 𝑓(𝑣)d𝑣 ∞ 0 = 1，即∫ 𝐶d𝑣 𝑉0 0 = 𝐶𝑉0 = 1，可得 C = 1 V0 (3)平均速率𝑣̅= ∫ 𝑣𝑓(𝑣)d𝑣 ∞ 0 = ∫ 𝑣𝐶d𝑣 𝑉0 0 = 𝐶 2 𝑉0 2 = 𝑉0 2； 又𝑣̅̅2̅ = ∫ 𝑣 2𝑓(𝑣)d𝑣 ∞ 0 = ∫ 𝑣 2𝐶d𝑣 𝑉0 0 = 𝐶 3 𝑉0 3 = 𝑉0 2 3 ， 因此方均根速率√𝑣̅̅2̅ = √ 𝑉0 2 3 = √3𝑉0 3 . 11. 已知阿伏伽德罗常数为NA，设某种固体物质的摩尔质量为 M，密度为𝜌，此物质样品质 量为 m，体积为 V，总分子数为 n，则下列表达式中能表示一个分子质量的是（ ） A. 𝑁𝐴 ⁄𝑀 B. 𝑀⁄𝑁𝐴𝜌 C. 𝑚⁄𝑛 D. 𝑀⁄𝜌𝑉 答：C 12. 某气体的温度为27℃，压强为 1.5atm，求 1L 该气体中有多少个分子？ 答：压强满足𝑃 = 𝑛𝑘𝑇，因此分子数密度n = P kT = 1.5×1.013×105𝑃𝑎 1.38×10−23J∙K−1×300𝐾 = 3.67 × 1025/𝑚3 , 1L 该气体中的分子数为3.67 × 1022个。 13. 在什么高度大气压强为地面的 50%？（设空气温度T = 0℃, μ = 28.9g ∙ mol−1） 答：根据大气压强与海拔高度的关系P = P0𝑒 −𝜇𝑔ℎ⁄(𝑅𝑇)， 代入 𝑃 𝑃0 ⁄ = 1⁄2, T = 0℃ = 273K,μ = 28.9g ∙ mol−1 = 28.9 × 10−3kg ∙ mol−1 ,𝑔 = 9.8m ∙ s −2 ,𝑅 = 8.314J ∙ mol −1 ∙ K −1， 可求得高度h = 5555m
14.如果从内径为1.35mm的滴管中滴下100滴液体，其重量为3.14g，求该液体的表面张力系数。答：表面张力T=αL=α·2r=mg，其中一滴液体质量m=3.14/100=3.14×10-5kg，重力加速度g=9.8m?s-2滴管半径r=d/2=1.35x10-2m2由此可解得表面张力系数α=盟=7.26×10-2Nm-1.2元115.吹半径为1cm的水泡及肥皂泡各需做多少功？（取水面的表面张力系数α1=0.0728Nm-1，肥皂液的表面张力系数α2=0.0250N·m-1）答：W=α4S，其中△S=2×4元R2=8元×（0.01m）2，代入水和肥皂水的表面张力系数可得吹水泡需做功1.83×10-4J，吹肥皂泡需做功6.28×10-5j.16.求半径为1cm肥皂泡的内外压强差及其内部的压强。（肥皂液的表面张力系数α=0.0250N·m-1)答：内外压强差AP==4x0.025Nm2，=10Pa,R-0.01m内部压强P丙=P+AP=1.013×105+10Pa.17.水面下5cm处有一个小气泡，半径为1mm，泡内压强为多少？（α水=0.0728N·m-1，大气压P=1.013×105Pa)答：气泡外水中的压强为Pi=Po+pgh=1.01×105Pa+1×103kg·m-3×9.8ms-2×5×10-2m,泡内外压强差AP==2x0.8728Nm=145.6Pa,0.001mR因此泡内压强P=P+AP=101935.6Pa.18.一U型玻璃管的两竖直管的直径分别为1mm和3mm。试求两管内水面的高度差。（水面的表面张力系数α=0.073N·m-1）答：U型玻璃管两端弯曲液面附加压强满足P1-Po=-,P2-P。=-2α/r2,()故P-P =pgAh=22,2可解得两管内水面高度差2×0.073N·m-1112α(11)-Ah ==0.02mpg(2)1103kgm3×9.8m.s-2(1×10-3/223×10-3/219.在内半径r=0.30mm的毛细管中注入水，在管的下端形成一半径R=3.0mm的水滴，求管中水柱的高度。答：设毛细管半径为r1，液面曲率半径为r2，毛细管上端液内压强P，下端水滴液内压
14. 如果从内径为 1.35mm 的滴管中滴下 100 滴液体，其重量为 3.14g，求该液体的表面张 力系数。 答：表面张力T = αL = α ∙ 2πr = mg， 其 中 一 滴 液 体 质 量 m = 3.14⁄100 = 3.14 × 10−5kg,重力加速度𝑔 = 9.8m ∙ s −2 , 滴管半径 𝑟 = 𝑑⁄2 = 1.35×10−3 2 𝑚， 由此可解得表面张力系数α = mg 2πr = 7.26 × 10−2𝑁 ∙ 𝑚−1 . 15. 吹半径为1cm的水泡及肥皂泡各需做多少功？（取水面的表面张力系数α1 = 0.0728N∙ m−1，肥皂液的表面张力系数α2 = 0.0250N∙ m−1） 答：W = α ∙ ∆S，其中∆S = 2 × 4πR 2 = 8𝜋 × (0.01𝑚) 2， 代入水和肥皂水的表面张力系数可得吹水泡需做功1.83 × 10−4 J，吹肥皂泡需做功 6.28 × 10−5 J. 16. 求半径为1cm肥皂泡的内外压强差及其内部的压强。（肥皂液的表面张力系数α = 0.0250N∙ m−1） 答：内外压强差∆P = 4α R = 4×0.025𝑁∙𝑚−1 0.01𝑚 = 10Pa， 内部压强P内 = 𝑃0 + ∆𝑃 = 1.013 × 105 + 10Pa. 17. 水面下5cm处有一个小气泡，半径为1mm，泡内压强为多少？（α水 = 0.0728N ∙ m−1， 大气压𝑃0 = 1.013 × 105Pa） 答：气泡外水中的压强为P1 = 𝑃0 + 𝜌𝑔ℎ = 1.01 × 105𝑃𝑎 + 1 × 103𝑘𝑔∙ 𝑚−3 × 9.8𝑚 ∙ 𝑠 −2 × 5 × 10−2𝑚， 泡内外压强差∆P = 2α R = 2×0.0728𝑁∙𝑚−1 0.001𝑚 = 145.6Pa， 因此泡内压强P2 = 𝑃1 + ∆𝑃 = 101935.6Pa. 18. 一 U 型玻璃管的两竖直管的直径分别为1mm和3mm。试求两管内水面的高度差。（水 面的表面张力系数α = 0.073N ∙ m−1） 答：U 型玻璃管两端弯曲液面附加压强满足P1 − 𝑃0 = − 2𝛼 𝑟1 ,𝑃2 − 𝑃0 = −2𝛼/𝑟2， 故P1 − 𝑃2 = 𝜌𝑔∆ℎ = 2𝛼 𝑟2 − 2𝛼 𝑟1 ， 可解得两管内水面高度差 ∆h = 2α ρg ( 1 𝑟2 − 1 𝑟1 ) = 2 × 0.073N∙ m−1 103𝑘𝑔 ∙ 𝑚3 × 9.8𝑚 ∙ 𝑠 −2 ( 1 1 × 10−3⁄2 − 1 3 × 10−3⁄2 ) = 0.02𝑚. 19. 在内半径r = 0.30mm的毛细管中注入水，在管的下端形成一半径R = 3.0mm的水滴， 求管中水柱的高度。 答：设毛细管半径为r1，液面曲率半径为r2，毛细管上端液内压强P1，下端水滴液内压
强为P2，根据弯曲液面的附加压强有P-P =-2，P2-P=R且有P2=Pi+pgh,2g (+) = 5.5cm.因此可得h=2Rpg(r
强为P2， 根据弯曲液面的附加压强有P1 − 𝑃0 = − 2𝛼 𝑟 ，𝑃2 − 𝑃0 = 2𝛼 𝑅 ， 且有𝑃2 = 𝑃1 + 𝜌𝑔ℎ ， 因此可得h = 2α ρg ( 1 𝑟 + 1 𝑅 ) = 5.5cm