第一章物体的弹性习题1解答1.动物骨骼有些是空心的，从力学角度看它有什么意义？答：骨骼中轴线处切应力为零，正应力也为零，因此骨骼中空既节省材料又可以减轻重量，同时不影响骨骼的抗弯曲、抗扭转强度。2.低碳钢是常用材料，其正应力与线应变的关系具有代表性。(1)简单说明其四个阶段，以及C和F点的意义；(2)说明胡克定律的适用范围；(3)若F点距B点较远，说明材料具有什么性质。答：(1)弹性阶段OB：去掉外力后物体能完全恢复原状；屈服阶段CD：正应力变化很小而应变很大，低碳钢容易拉伸：硬化阶段DE：继续增加正应力但物体的形变很小，低碳钢难以拉伸；颈缩阶段EF：不再加大负荷，低碳钢也会发生较大的形变直至断裂。(2)正比阶段OA，即低碳钢应力与应变保持线性函数关系时胡克定律适用。(3)说明材料能在较大范围内产生范性形变，即材料延展性好。3．松弛的二头肌，伸长5cm时，所需的力为25N，而这条肌肉处于紧张状态时，产生同样伸长则需500N的力。如果把二头肌看作是一条长为0.2m、横截面积为50cm2的圆柱体，求其在上述两种情况下的杨氏模量。解：杨氏模量Y===F/S=FLo/A已知L。=0.2m,S=50cm2=5×10-3m2,AL=5cm=5×10-2m(1)松弛状态时，代入F=25N，得Y=2×104N·m-2(2)紧张状态时，代入F=500N，得Y=4×105N·m-2。4.弹跳蛋白存在于跳蚤的弹跳机构和昆虫的飞翔机构中，其杨氏模量接近于橡皮。今有一截面积为30cm2的弹跳蛋白，在270N力的拉伸下，长度变为原长的1.5倍，求其张应变和杨氏模量。解：杨氏模量Y==F/S=FLo/LOSA已知S=30cm2=3×10-3m2,F=270N,AL=1.5Lo-Lo=0.5Lo,代入得杨氏模量Y=1.8×105N·m-2。张应变==0.5=0.5。LoLo5.某人的一条腿骨长为0.6m，平均横截面积为3cm2。站立时，两腿支撑着800N的体重，问此人每条腿骨要缩短多少？（取骨的杨氏模量为1010N·m-2）解：杨氏模量Y===F/S=FLo800Nx0.5x0.6m因此人每条腿骨缩短量AL=2=8×10-5m3x10-*m2×1010N-m2A6.登山运动员所用的尼龙绳的杨氏模量为4.1×108N·m-2，如果绳原长为50m，直径为
第一章 物体的弹性 习题 1 解答 1. 动物骨骼有些是空心的，从力学角度看它有什么意义？ 答：骨骼中轴线处切应力为零，正应力也为零，因此骨骼中空既节省材料又可以减轻重 量，同时不影响骨骼的抗弯曲、抗扭转强度。 2. 低碳钢是常用材料，其正应力与线应变的关系具有代表性。(1)简单说明其四个阶段，以 及 C 和 F 点的意义；(2)说明胡克定律的适用范围；(3)若 F 点距 B 点较远，说明材料具 有什么性质。 答：(1)弹性阶段 OB：去掉外力后物体能完全恢复原状； 屈服阶段 CD：正应力变化很小而应变很大，低碳钢容易拉伸； 硬化阶段 DE：继续增加正应力但物体的形变很小，低碳钢难以拉伸； 颈缩阶段 EF：不再加大负荷，低碳钢也会发生较大的形变直至断裂。 (2)正比阶段 OA，即低碳钢应力与应变保持线性函数关系时胡克定律适用。 (3)说明材料能在较大范围内产生范性形变，即材料延展性好。 3. 松弛的二头肌，伸长 5cm 时，所需的力为 25N，而这条肌肉处于紧张状态时，产生同样 伸长则需500N的力。如果把二头肌看作是一条长为0.2m、横截面积为50cm2的圆柱体， 求其在上述两种情况下的杨氏模量。 解：杨氏模量Y = σ ε = 𝐹⁄𝑆 ∆𝐿 𝐿0 ⁄ = 𝐹𝐿0 𝑆∆𝐿 已知L0 = 0.2𝑚, 𝑆 = 50𝑐𝑚2 = 5 × 10−3𝑚2 ,∆𝐿 = 5𝑐𝑚 = 5 × 10−2𝑚， (1)松弛状态时，代入F = 25N，得Y = 2 × 104𝑁 ∙ 𝑚−2 ； (2)紧张状态时，代入F = 500N，得Y = 4 × 105𝑁 ∙ 𝑚−2。 4. 弹跳蛋白存在于跳蚤的弹跳机构和昆虫的飞翔机构中，其杨氏模量接近于橡皮。今有一 截面积为30cm2的弹跳蛋白，在 270N 力的拉伸下，长度变为原长的 1.5 倍，求其张应 变和杨氏模量。 解：杨氏模量Y = σ ε = 𝐹⁄𝑆 ∆𝐿 𝐿0 ⁄ = 𝐹𝐿0 𝑆∆𝐿 已知S = 30cm2 = 3 × 10−3𝑚2 ,𝐹 = 270𝑁, ∆𝐿 = 1.5𝐿0 − 𝐿0 = 0.5𝐿0， 代入得杨氏模量Y = 1.8 × 105𝑁∙ 𝑚−2。 张应变ε = ∆L L0 = 0.5𝐿0 𝐿0 = 0.5。 5. 某人的一条腿骨长为 0.6m，平均横截面积为3cm2。站立时，两腿支撑着 800N 的体重， 问此人每条腿骨要缩短多少？（取骨的杨氏模量为1010N ∙ m−2） 解：杨氏模量Y = σ ε = 𝐹⁄𝑆 ∆𝐿 𝐿0 ⁄ = 𝐹𝐿0 𝑆∆𝐿 因此人每条腿骨缩短量∆L = FL0 𝑆∆𝐿 = 800𝑁×0.5×0.6𝑚 3×10−4𝑚2×1010𝑁∙𝑚−2 = 8 × 10−5𝑚 6. 登山运动员所用的尼龙绳的杨氏模量为4.1 × 108N ∙ m−2，如果绳原长为 50m，直径为
9mm，问当爬山者体重为多少千克时，绳会伸长1.5m。解：杨氏模量Y=°=F/S=EFLo =mgloERT?ALY因此m=gLo代入Y=4.1×108N.m-2,r=d/2=4.5×103mg=9.8ms-2,Lo=50m,4L=1.5m，可得爬山者体重m=80kg。7.把横截面积为4×10-5m2，长为15000m的铜丝拉长到15005m，铜的杨氏模量为1.2×1011N·m-2，在铜丝上应加的张力为多少？F/S=FLo解：杨氏模量Y===一/AE因此F=YSALLo代入S=4×10-5m,Lo=1.5×104mAL=5m,Y=1.2×1011N·m-2,可得铜丝上应加的张力为F=1600N。8.在边长为0.02m的正方体的两个相对面上，各施加大小相等、方向相反的切向力9.8×102N，求施加力后两面的相对位移。若施力时间为5s，对应的应变率为多少？（设该物体的切变模量为4.9×107N·m-2）二=F/S=Fd解：切变模量G=Ax/dAx-sY.代入F=9.8×102N,d=0.02m,G=4.9×107N·m-2,S=d2=4×10-4m2Fd=0.001m。可得施加力后两面的相对位移△x=GS0.001m切变率为兴=Ax=0.01s-1。dt-dt0.02mx5s低碳钢螺栓的受力部分长120mm，拧紧后伸长0.04mm，求线应变和正应力。（低碳钢9.杨氏模量为1.96×1011N·m-2）0.04mm = 3.33×10-4,解：线应变==120mmLo正应力g=Y.s=1.96×1011N·m-2×3.33×10-4=6.53×107Nm-2。10.实心圆轴的直径d=10cm，长l=2m，两端所加的扭矩M=104N·m。设材料的切变模量G=8×1010N·m，求扭转角及最大切应力。解：(1).已知实心圆扭转截面系数W，=d3/16，16x10*N-mM-16M最大切应力tmax5.1x107N·m-2。Wp元d33.14x(0.1m)3(2).切应力T=G·r·15.1×10Nm2×2mTl因此扭转角==0.0255radGr8x1010N-mx0.05m
9mm，问当爬山者体重为多少千克时，绳会伸长 1.5m。 解：杨氏模量Y = σ ε = 𝐹⁄𝑆 ∆𝐿 𝐿0 ⁄ = 𝐹𝐿0 𝑆∆𝐿 = 𝑚𝑔𝐿0 𝜋𝑟 2∆𝐿 因此m = 𝜋𝑟 2∆𝐿∙𝑌 𝑔𝐿0 ， 代入Y = 4.1 × 108𝑁∙ 𝑚−2 , 𝑟 = 𝑑⁄2 = 4.5 × 103𝑚,𝑔 = 9.8𝑚 ∙ 𝑠 −2 , 𝐿0 = 50𝑚, ∆𝐿 = 1.5𝑚，可得爬山者体重m = 80kg。 7. 把横截面积为4 × 10−5m2，长为 15000m 的铜丝拉长到 15005m，铜的杨氏模量为 1.2 × 1011N ∙ m−2，在铜丝上应加的张力为多少？ 解：杨氏模量Y = σ ε = 𝐹⁄𝑆 ∆𝐿 𝐿0 ⁄ = 𝐹𝐿0 𝑆∆𝐿， 因此F = YS∆L L0 ， 代入S = 4 × 10−5𝑚,𝐿0 = 1.5 × 104𝑚,∆𝐿 = 5𝑚, 𝑌 = 1.2 × 1011𝑁 ∙ 𝑚−2， 可得铜丝上应加的张力为F = 1600N。 8. 在边长为 0.02m 的正方体的两个相对面上，各施加大小相等、方向相反的切向力 9.8 × 102N，求施加力后两面的相对位移。若施力时间为 5s，对应的应变率为多少？（设 该物体的切变模量为4.9 × 107N ∙ m−2） 解：切变模量G = τ γ = 𝐹⁄𝑆 ∆𝑥⁄𝑑 = 𝐹𝑑 ∆𝑥∙𝑆 代入F = 9.8 × 102𝑁, 𝑑 = 0.02𝑚,𝐺 = 4.9 × 107𝑁 ∙ 𝑚−2 ,𝑆 = 𝑑 2 = 4 × 10−4𝑚2， 可得施加力后两面的相对位移∆x = Fd GS = 0.001𝑚。 切变率为d𝛾 d𝑡 = ∆𝑥 𝑑∙𝑡 = 0.001𝑚 0.02𝑚×5𝑠 = 0.01𝑠 −1。 9. 低碳钢螺栓的受力部分长 120mm，拧紧后伸长 0.04mm，求线应变和正应力。（低碳钢 杨氏模量为1.96 × 1011N∙ m−2） 解：线应变ε = ∆L L0 = 0.04𝑚𝑚 120𝑚𝑚 = 3.33 × 10−4， 正应力σ = Y ∙ ε = 1.96 × 1011𝑁 ∙ 𝑚−2 × 3.33 × 10−4 = 6.53 × 107𝑁 ∙ 𝑚−2。 10. 实心圆轴的直径𝑑 = 10cm，长𝑙 = 2m，两端所加的扭矩𝑀 = 104N ∙ m。设材料的切变模 量𝐺 = 8 × 1010N ∙ m，求扭转角及最大切应力。 解：(1).已知实心圆扭转截面系数Wp = 𝜋𝑑 3/16， 最大切应力𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝑀 𝑊𝑝 = 16𝑀 𝜋𝑑3 = 16×104𝑁∙𝑚 3.14×(0.1𝑚)3 = 5.1 × 107𝑁 ∙ 𝑚−2。 (2).切应力τ = G ∙ r ∙ φ 𝑙 ， 因此扭转角φ = 𝜏𝑙 𝐺𝑟 = 5.1×107𝑁∙𝑚−2×2𝑚 8×1010𝑁∙𝑚×0.05𝑚 = 0.0255rad
11.一横截面积为1.5cm2的圆柱形骨样品，在其上端加上一质量为10kg的重物，其长度缩小了0.0065%，求骨样品的杨氏模量。解：线应变e==6.5×10-5,LoF10x9.8N正应力==6.5x105N·m-2≤=1.5x10-4m2杨氏模量Y==_6.5x10°N-m-2=1.0×1010Nm-26.5×10512.什么是弹性形变和范性形变？答：去掉外力后物体能完全恢复原状的形变是弹性形变；去掉外力后，形变有残留，物体不能完全恢复原状的形变称为范性形变。13.什么是弹性模量？其物理意义何在？按物体形变不同，弹性模量可分为几类？答：在弹性形变范围内，物体应力与应变的比值称为弹性模量。弹性模量反映材料抵抗形变的能力，弹性模量越大，材料越不容易发生形变。弹性模量可分为杨氏模量、体变模量、切变模量。14．图示为成人润湿四肢骨的应力-应变关系，其中最难以发生形变的是？请简述原因。正应力桡骨腓骨肱骨线应变答：桡骨最难以形变，因为过了正比阶段之后，在正应力-线应变关系图中桡骨的斜率最大，代表正应力变化很大而线应变变化较小，类似低磷钢的硬化阶段，因此最难以形变。15.图示为主动脉弹性组织的应力应变关系，试分析其各个阶段代表的意义。应力1.00.5OO0.51.0应变答：OA段几乎与横轴平行，表明正应力很小而应变很大，类似于低碳钢的屈服阶段，容易拉伸；AB段继续增大应力，但物体的形变却非常小，类似于低碳钢的硬化阶段，因此难以拉
11. 一横截面积为1.5cm2的圆柱形骨样品，在其上端加上一质量为 10kg 的重物，其长度缩 小了 0.0065%，求骨样品的杨氏模量。 解：线应变ε = ∆L L0 = 6.5 × 10−5， 正应力σ = F S = 10×9.8𝑁 1.5×10−4𝑚2 = 6.5 × 105N ∙ m−2， 杨氏模量Y = σ ε = 6.5×105N∙m−2 6.5×10−5 = 1.0 × 1010N ∙ m−2 . 12. 什么是弹性形变和范性形变？ 答：去掉外力后物体能完全恢复原状的形变是弹性形变；去掉外力后，形变有残留，物 体不能完全恢复原状的形变称为范性形变。 13. 什么是弹性模量？其物理意义何在？按物体形变不同，弹性模量可分为几类？ 答：在弹性形变范围内，物体应力与应变的比值称为弹性模量。 弹性模量反映材料抵抗形变的能力，弹性模量越大，材料越不容易发生形变。 弹性模量可分为杨氏模量、体变模量、切变模量。 14. 图示为成人润湿四肢骨的应力-应变关系，其中最难以发生形变的是？请简述原因。 答：桡骨最难以形变，因为过了正比阶段之后，在正应力-线应变关系图中桡骨的斜率 最大，代表正应力变化很大而线应变变化较小，类似低碳钢的硬化阶段，因此最难以形 变。 15. 图示为主动脉弹性组织的应力应变关系，试分析其各个阶段代表的意义。 答：OA 段几乎与横轴平行，表明正应力很小而应变很大，类似于低碳钢的屈服阶 段，容易拉伸； AB 段继续增大应力，但物体的形变却非常小 ，类似于低碳钢的硬化阶段，因此难以拉
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