习题2解答第二章流体的运动1.试说明家用喷雾器的工作原理。答：根据连续性方程和伯努利方程，水平流管中管径细的地方流速增大，动压增大，静压减小。当水平管中活塞运动时，管中产生气流，在截面缩小处，流速大，压强比大气压低。储液器中液面上的大气压将液体压上并混入气流，被吹散成雾，由喷嘴喷出。2.为什么两只船平行靠近向前行驶时很容易发生碰撞？答：以船为参考系，河道中的水可看作是稳定流动，两船之间的水所处的流管在两船之间的截面积减小，则流速增加，从而压强减小，因此两船之间水的压强小于两船外侧水的压强，就使得两船容易相互靠拢碰撞。3.为什么自来水沿一竖直管道向下流时形成一连续不断的水流，而当水从高处的水龙头自由下落时，则断裂成水滴？答：当水从高处的水龙头自由下落时，下落速度越来越快，根据伯努利方程，水流内部的压强越来越小，在大气压的作用下，水流被压断成水滴。而当水沿一竖直自来水管向下流时，由于管道壁使水与大气压隔绝，管道壁各处对水的压强与水流内部各处的压强对应相等，故形成连续不断的水流。4.有人认为从连续性方程来看，管子愈粗流速愈小，而从泊肃叶定律来看，管子愈粗流速愈大，两者似有茅盾，你认为这样吗，为什么？答：二者成立的条件不同。连续性方程适用于不可压缩的流体在同一条流管中作稳定流动时的情况，满足这一条件，则有：Q=Sv=常量。泊肃叶定律可写成：Q==，则=（v是水平管某一截面的8元L8mL8元mL平均速度），要满足VαcS,其条件为△P、L为恒量，且为黏性流体在水平管中作层流。5.在水管的某一点，水的流速为2ms-l，高出大气压的计示压强为10+Pa，设水管在另一点的高度比该点降低了1m，如果在另一点处水管的横截面积是该点的1/2，求另一点的计示压强（不考虑水的黏性和可压缩性）。1答：选取水管第二点的位置高度位0，则：h，=0,S，S；设第二点的计示压2
习题 2 解答 第二章 流体的运动 1. 试说明家用喷雾器的工作原理。 答：根据连续性方程和伯努利方程，水平流管中管径细的地方流速增大，动压增 大，静压减小。当水平管中活塞运动时，管中产生气流，在截面缩小处，流速大， 压强比大气压低。储液器中液面上的大气压将液体压上并混入气流，被吹散成雾， 由喷嘴喷出。 2. 为什么两只船平行靠近向前行驶时很容易发生碰撞？ 答：以船为参考系，河道中的水可看作是稳定流动，两船之间的水所处的流管在 两船之间的截面积减小，则流速增加，从而压强减小，因此两船之间水的压强小 于两船外侧水的压强，就使得两船容易相互靠拢碰撞。 3. 为什么自来水沿一竖直管道向下流时形成一连续不断的水流，而当水从高处 的水龙头自由下落时，则断裂成水滴？ 答：当水从高处的水龙头自由下落时，下落速度越来越快，根据伯努利方程，水 流内部的压强越来越小，在大气压的作用下，水流被压断成水滴。而当水沿一竖 直自来水管向下流时，由于管道壁使水与大气压隔绝，管道壁各处对水的压强与 水流内部各处的压强对应相等，故形成连续不断的水流。 4. 有人认为从连续性方程来看，管子愈粗流速愈小，而从泊肃叶定律来看，管 子愈粗流速愈大，两者似有矛盾，你认为这样吗，为什么？ 答：二者成立的条件不同。 连续性方程适用于不可压缩的流体在同一条流管中作稳定流动时的情况，满足这 一条件，则有： Q = Sv =常量。 泊肃叶定律可写成： ηL S P ηL R P Q 8π Δ 8 π Δ 4 2 = = ，则 ηL S P v 8π Δ = （v 是水平管某一截面的 平均速度），要满足 v S ,其条件为∆P、L 为恒量，且为黏性流体在水平管中作 层流。 5. 在水管的某一点，水的流速为 2 m·s-1 , 高出大气压的计示压强为 104 Pa，设水 管在另一点的高度比该点降低了 1m，如果在另一点处水管的横截面积是该点的 1/2，求另一点的计示压强（不考虑水的黏性和可压缩性）。 答：选取水管第二点的位置高度位 0，则： 2 2 1 2 1 h = 0, S = S ；设第二点的计示压
强位Px，大气压位Po,则第二点压强为P,=P+P；第一点：=2.0m/s,h=1m,P=P+10*(Pa);由连续性方程S=S.v2，可得：==4m/sS2由伯努利方程P+py+pgh=P+pvz+pghz，可得n2P=P+o("-v")+pgh,，即P+P,=P+10*+2p(g"-1)+ pgh代入数据，求得：P=1.38×10*Pa=13.8kPa6.水在截面不同的水平管中作稳定流动，出口处的截面积为管最细处的3倍，若出口处的流速为2m's"，问最细处的压强为多少？若在此最细处开一小孔，水会不会流出来？答：水出口处有：S,=3S，Vz=2m/s，P=1.01x10°Pa，由连续性方程S=S，求得==6m/sS,+=P+p(v2-v)=8.5×10* Pa由伯努利方程+pv得：P=P+P-22若在此处开一小孔，水不会流出来。7.一直立圆柱形容器，高为0.2m，直径为0.1m，顶部开启，底部有一面积为10-4㎡2的小孔，水以1.4×104m·sl的流量由水管自上面流入容器中。问容器内水面可上升的高度为多少？若达到该高度时不再放水，求容器内的水流尽所需要的时间。答：（1）设容器内水面可上升的最大高度为H，此时放入容器的水流量和从小孔流出的水流量相等，O=S2V2=1.4×10-4m3·s-l。因为S,>>S，由连续性方程可将容器中水面处流速vI近似为零。1运用伯努利方程有pvz=pgH2 P则小孔处水流速V=/2gH再由Q=S2=S,/2gH得H=二()2gS211.4×10-4)2 = 0.1(m)代入数据得H=10-42×9.8（2）设容器内水流尽需要的时间为T，在t时刻容器内水的高度为ht小孔处流
强位 Px，大气压位 P0, 则第二点压强为 P2 = P0 + Px ； 第一点： 2.0 m/s 1m 10 (Pa) 4 v1 = ，h2 = ，P1 = P0 + ； 由连续性方程 1 1 2 2 S v = S v ，可得： 4 m/s 1 2 1 2 = v = S S v 由伯努利方程 2 2 1 2 2 2 1 1 2 1 2 1 P + v + gh = P + v + gh ，可得 1 2 2 2 2 1 1 ( ) 2 1 P = P + v − v + gh ，即 1 2 2 2 1 4 0 x 0 ( ) 2 1 P + P = P +10 + v − v + gh 代入数据，求得： 1.38 10 Pa 13.8 kPa 4 Px = = 6. 水在截面不同的水平管中作稳定流动，出口处的截面积为管最细处的 3 倍， 若出口处的流速为 2 m·s-1，问最细处的压强为多少? 若在此最细处开一小孔， 水会不会流出来？ 答：水出口处有： 3 2 m/s 1.01 10 Pa 5 S2 = S1，v2 = ，P2 = ， 由连续性方程 1 1 2 2 S v = S v ，求得 6 m/s 2 1 2 1 = v = S S v 由伯努利方程 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 P + v = P + v 得： ( ) 8.5 10 Pa 2 1 2 4 1 2 P1 = P2 + v2 − v = 若在此处开一小孔，水不会流出来。 7. 一直立圆柱形容器，高为 0.2 m，直径为 0.1 m，顶部开启，底部有一面积为 10-4 m2的小孔，水以 1.4×10-4 m3·s-1的流量由水管自上面流入容器中。问容器内 水面可上升的高度为多少？若达到该高度时不再放水，求容器内的水流尽所需 要的时间。 答：（1）设容器内水面可上升的最大高度为 H，此时放入容器的水流量和从小孔 流出的水流量相等，Q=S2v2=1.4×10-4 m3·s-1。 因为 S1 S2 ，由连续性方程可将容器中水面处流速 v1 近似为零。 运用伯努利方程有 v = gH 2 2 2 1 则小孔处水流速 v2 = 2gH 再由 Q = S2 v2 = S2 2gH 得 2 2 ( ) 2 1 S Q g H = 代入数据得 ) 0.1(m) 10 1.4 10 ( 2 9.8 1 2 4 4 = = − − H （2）设容器内水流尽需要的时间为 T，在 t 时刻容器内水的高度为 ht,小孔处流
速为V=/2gh，液面下降dh高度水从小孔流出需要的时间dt为dt= S-dh_S-dhS2v2S2/2gh-"Sdh=S2H_3.14x0.052[2×0.1 =11.2 (s)则 T=[dt=10-4V9.8JoS2y2ghS, Vg答：容器内水面可上升的最大高度为0.1m，容器内的水流尽所需的时间为11.2s。8.一种测流速的装置如图所示。设U形管内装有密度为的液体，在水平管中有密度为的液体作稳定流动。已知水平管中粗、细两处的横截面积分别为S.和SB，测得U形管两液面的高度差为h，求液体在管子较粗处的流速v。答：设管子较粗处流速为VA,较细处流速为VB，则由连续性方程可得：SAVA=SBVB由伯别利方程，得：以+／一片+m122由题意，得P-P=(p'-p)gh联立三个方程，可得v=SgV2(p-p)gh/p(S-S）9.用如图2.11所示的流速计插入流水中测水流速度，设两管中的水柱高度分别为5×10-3m和5.4×10-2m，求水流速度。mt1解：由皮托管原理，pv=pgh2V=2gh=V2×9.8×4.9×10-=0.98(m·s-)答：水流速度为0.98m?sl10.一条半径为3mm的小动脉被一硬斑部分阻塞，此狭窄段的有效半径为2mm，血流的平均速度为50cm's"，设血液黏度为3.0×10-3Pa's，密度为1.05×103kgm-3。（1）求未变窄处的血流平均速度。（2）试问会不会发生流？（3）求狭窄处的血流的动压强。解：（1）由连续性方程Sy=SV2，得元×0.0032×=元×0.002*×0.5V =0.22(m·s)(2) R,= PVr_1.05×10°×0.5×2×10-=350<1000故不会发生端流。3.0×10-3n
速为 v2 = 2gh ，液面下降 dh 高度水从小孔流出需要的时间 dt 为 S gh S h S v S h t 2 d d d 2 1 2 2 1 = = 则 11.2 (s) 9.8 2 0.1 10 2 3.14 0.05 2 d d - 4 2 2 1 0 2 1 0 = = = = = − g H S S S gh S h T t T H 答：容器内水面可上升的最大高度为 0.1m，容器内的水流尽所需的时间为 11.2 s。 8. 一种测流速的装置如图所示。设 U 形管内装有密度为的液体，在水平管中有 密度为的液体作稳定流动。已知水平管中粗、细两处的横截面积分别为 SA和 SB， 测得 U 形管两液面的高度差为 h，求液体在管子较粗处的流速 v。 答：设管子较粗处流速为 vA,较细处流速为 vB，则由连续性方程可得： A A B B S v = S v 由伯努利方程，得： 2 B B 2 A A 2 1 2 1 P + v = P + v 由题意，得 PA -PB = ('−)gh 联立三个方程，可得 2( ' ) ( - ) 2 B 2 v = SB − gh SA S 9. 用如图 2.11所示的流速计插入流水中测水流速度，设两管中的水柱高度分别为5×10-3 m 和 5.4×10-2 m, 求水流速度。 解：由皮托管原理 v = gh 2 2 1 2 2 9.8 4.9 10 0.98 (m s ) −2 −1 v = gh = = 答：水流速度为 0.98m·s-1 10. 一条半径为 3mm 的小动脉被一硬斑部分阻塞，此狭窄段的有效半径为 2mm， 血流的平均速度为 50 cm ·s-1，设血液黏度为 3.0×10-3 Pa·s，密度为 1.05×103kg·m-3。 （1） 求未变窄处的血流平均速度。 （2） 试问会不会发生湍流？ （3） 求狭窄处的血流的动压强。 解：（1）由连续性方程 1 1 2 2 S v = S v ，得 0.22(m s ) 0.003 0.002 0.5 -1 1 2 1 2 = = v v （2） 350 1000 3.0 10 1.05 10 0.5 2 10 3 3 3 = = = − − v r Re 故不会发生湍流
(3)P动=p2=0.5×1.05×103×0.52=131.2(Pa）答：未变窄处血流平均速度为0.22m·sl，该血管中不会发生湍流，狭窄处血流动压强为131.2Pa。11.20℃的水在半径为1×102m的水平均匀圆管内流动，如果在管轴处的流速为0.1ms-1,则由于黏滞性，水沿管子流动10m后，压强降落了多少？（n水=1.0×10-3Pa's)解：流体在水平细圆管中稳定流动时，流速随半径的变化关系为岩(R-r)，因此管轴处（r=0）流速为v=4nL4nL_4nLy_ 4x1.0×10x10×0.1=40(Pa)故压强降落△P=R2(1x×10-)2答：压强降落了40Pa。12.设某人的心输出量为0.83×10-4m3·s"，体循环的总压强差为12.0kPa，试求此人体循环的总流阻（即总外周阻力）。AP12.0×103解： R==0.83x10-1.45×10(Pa·S/m)Q答：此人体循环的总流阻为1.45×10°Pa·S·m313.一个红细胞可以被近似地看作是一个半径为2.0×10m的小球，它的密度是1.09×103kgm-3。试计算它重力作用下在血液中沉淀1cm所需的时间。假设血液温度为37℃，血浆的黏度为1.2×10-3Pa's，密度为1.04×103kgm3。如果利用一台加速度（r）为105g的超速离心机，问沉淀同样距离所需的时间又是多少？解：收尾速度2R(p-p)g=22×1.2×10-3×(2.0×10-6) ×(1.09×103-1.04×103)×9.8V9n9=0.36x10- (m·s-l)1x10-2S..= 2.8×10* (s)沉淀1cm所需时间为t.:0.36×10-6Vi在离心机的加速作用下：2-0 (- )--/10 (-:010) 0-0 0-0 01) 80V2=9n=0.36x10-l (m·s-l)1x10-2s=0.28 (s)沉淀1cm所需时间为0.36×10-12
（3） 动 0.5 1.05 10 0.5 131.2（Pa） 2 1 2 3 2 P = v = = 答：未变窄处血流平均速度为 0.22m·s-1，该血管中不会发生湍流，狭窄处血流动 压强为 131.2Pa。 11. 20 ℃的水在半径为 1×10-2 m 的水平均匀圆管内流动，如果在管轴处的流速 为 0.1 m·s-1 ,则由于黏滞性，水沿管子流动 10 m 后，压强降落了多少？（η 水 =1.0×10-3Pa·s） 解：流体在水平细圆管中稳定流动时，流速随半径的变化关系为 ( ) 4 2 2 R r L P v − = ，因此管轴处（r = 0）流速为 L P v 4 = 故压强降落 40 (Pa) (1 10 ) 4 4 1.0 10 10 0.1 2 2 3 2 = = = − − R Lv P 答：压强降落了 40 Pa。 12. 设某人的心输出量为 0.83×10-4 m3·s-1，体循环的总压强差为 12.0 kPa，试求此 人体循环的总流阻（即总外周阻力）。 解： 1.45 10 (P S/m ) 0.83 10 Δ 12.0 10 8 3 4 3 = = − a Q P R 答：此人体循环的总流阻为 8 -3 1.4510 PaSm 13. 一个红细胞可以被近似地看作是一个半径为 2.0 × 10-6 m 的小球，它的密度是 1.09×103kg·m-3。试计算它重力作用下在血液中沉淀 1 cm 所需的时间。假设血液 温度为 37 ℃，血浆的黏度为 1.2×10-3Pa·s，密度为 1.04×103kg·m-3。如果利用一 台加速度（ω2 r）为 105g 的超速离心机，问沉淀同样距离所需的时间又是多少？ 解：收尾速度 0.36 10 (m s ) 1.2 10 (2.0 10 ) (1.09 10 1.04 10 ) 9.8 9 2 ( ') 9 2 6 1 2 3 6 2 3 3 1 − − − − = v = R − g = − 沉淀 1 cm 所需时间为 2.8 10 (s) 0.36 10 1 10 4 6 2 1 1 = = = − − v S t 在离心机的加速作用下： 0.36 10 (m s ) (2.0 10 ) (1.09 10 1.04 10 ) 9.8 10 9 1.2 10 2 ( ') 9 2 1 1 6 2 3 3 5 3 2 2 − − − − = − v = R − g = 沉淀 1 cm 所需时间为 0.28 (s) 0.36 10 1 10 1 2 2 2 = = = − − v S t
答：红细胞在重力作用下沉淀1cm所需的时间位2.8×104s，在离心机的加速作用下沉淀1cm所需的时间位0.28s。14.为维持血液循环，心脏需不停地做功，以克服血液流动时的内摩擦力等。已知主动脉中的平均血压为100mmHg，平均血液速度为0.4m'sl，若心脏每分钟输出的血量为5000mL，血液循环到右心房时的流速和血压近似为零，求心脏每分钟所做的功。解：p=100mmHg=100×133.28Pa=13.328kPa每单位体积血液的能量改变为1= +ar=132 ka+x1.04×103kgmx(0.4ms)2~1.34×104J/m2心脏每分钟做功为W=@V=1.34x10*J/mx5000x10*m=67J答：心脏每分钟做功为67J。思考题：1.试用伯努利方程讨论血细胞为什么会发生轴向集中现象？答：由于血液在血管中流动时，靠血管中心流速最大，越靠外层流速越小，由伯努利方程知道流速与压强的关系为反比，这样就在血细胞上产生一个指向血管中心的力，从而产生血细胞轴向集中，此即马格纳斯（Magnus）效应。2.毛细血管中血液流速较慢，可以用层流来描述吗？答：血液是一种非均匀液体，含有大量红细胞。红细胞的形状呈圆饼状，直径约为7um，而毛细血管平均直径约为6~8um，实际上红细胞是一个一个挤过去的。因此血液在毛细血管中的流动可视为非连续介质流体，不能用层流描述。3.试解释血压为何在小动脉段降落最快答：AP=QR在体循环系统中，各段血管的血液总流量相同，而流阻却又不同。8nL流阻R=由n、L、R所决定。元R+小动脉较于大动脉管径变化较大而分支管数又较多，因此小动脉流阻比大动脉流阻大很多。毛细血管由于分支极多，并联总流阻较小，又因为法-林效应，血液在细管中流
答：红细胞在重力作用下沉淀 1 cm 所需的时间位 2.8×104 s，在离心机的加速作 用下沉淀 1 cm 所需的时间位 0.28 s。 14. 为维持血液循环，心脏需不停地做功，以克服血液流动时的内摩擦力等。已 知主动脉中的平均血压为 100 mmHg，平均血液速度为 0.4 m·s-1 , 若心脏每分 钟输出的血量为 5000 mL，血液循环到右心房时的流速和血压近似为零，求心 脏每分钟所做的功。 解： p =100 mmHg =100133.28 Pa =13.328 kPa 每单位体积血液的能量改变为 2 3 -3 -1 2 4 3 1.04 10 kg m (0.4 m s ) 1.34 10 J/ m 2 1 13.328 kP 2 1 = p + v = a + 心脏每分钟做功为 1.34 10 J/ m 5000 10 m 67 J 4 3 -6 3 W =V = = 答：心脏每分钟做功为 67 J。 思考题： 1. 试用伯努利方程讨论血细胞为什么会发生轴向集中现象？ 答：由于血液在血管中流动时，靠血管中心流速最大，越靠外层流速越小，由伯 努利方程知道流速与压强的关系为反比，这样就在血细胞上产生一个指向血管中 心的力，从而产生血细胞轴向集中，此即马格纳斯（Magnus）效应。 2. 毛细血管中血液流速较慢，可以用层流来描述吗？ 答：血液是一种非均匀液体，含有大量红细胞。红细胞的形状呈圆饼状，直径约 为 7μm，而毛细血管平均直径约为 6~8 μm，实际上红细胞是一个一个挤过去的。 因此血液在毛细血管中的流动可视为非连续介质流体，不能用层流描述。 3. 试解释血压为何在小动脉段降落最快。 答： P = QRf 在体循环系统中，各段血管的血液总流量相同，而流阻却又不同。 流阻 f 4 π 8 R L R = 由 η、L、R 所决定。 小动脉较于大动脉管径变化较大而分支管数又较多，因此小动脉流阻比大动脉流 阻大很多。 毛细血管由于分支极多，并联总流阻较小，又因为法-林效应，血液在细管中流