习题3解答1.从运动学看什么是简谐振动？从动力学看什么是简谐振动？说明下列振动是否为简谐振动：（1）拍皮球时球的上下运动：（2）一小球在半径很大的光滑凹球面底部的小幅度摆动。解：从运动学角度看，符合特征方程所描述的运动就是简谐运动：从动力学角度看，在回复力F=-kx作用下所作的运动就是简谐运动。（1）不是简谐运动，因为球受到的是周期性策动力，而不是回复力。（2）是简谐运动，因为能写出特征方程，证明如下（如题图1）：设小球质量为m，大碗半径为R。当小球摆到θ角处时，重力的切向分量使小球沿碗底运动：G,=-mgsin0负号表示G，总是指向平衡位置，因θ很小，有sinθ=0-1所以有-mg =-mg:0Rd?11根据牛顿第二定律，有m=-mg Rdt?d1_81=0mgsing!代入上式，移相并整理，得d'tRg则有典mg若令の=+01=0VR,d't题1图这就是谐振特征式，说明小球作谐振。2.简谐振动的速度与加速度的表达式中都有个负号，这是否意味着速度和加速度总是负值？是否意味着两者总是同方向？解：简谐振动速度与加速度表达式中的负号，并不意味着速度和加速度总是负值，也不意味着二者方向总是相同。前者因为，正余弦函数在土1范围内变化，会周期性消去表达式中的负号。后者因为，二者一个是正弦形式，一个是余弦形式，没有共同的比较基础；若想比较，应都化成正弦或者余弦形式，比如都化成余弦形式：= -Ao si( 0 + )= Aα cos[(ot + 0)+2a=-Ao?cos(ot+P)=Aocos[(ot+P)+元]由此可以比较出来，振动速度的相位比振动加速度的滞后元，即二者方向恒相反。P03.一物体做谐振，振动的频率越高，则物体的运动速度越大，这种说法对吗？解：不对，根据振动速度表达式：V=-Aのsint+）可以看出来，速度的大小还与振幅有关。如果加上“振幅不变”的前提，上述说法就对了
习题 3 解答 1.从运动学看什么是简谐振动？从动力学看什么是简谐振动？说明下列振动是否为 简谐振动：（1）拍皮球时球的上下运动； （2）一小球在半径很大的光滑凹球面底 部的小幅度摆动。 解：从运动学角度看，符合特征方程所描述的运动就是简谐运动；从动力学角度看， 在回复力 F = −kx 作用下所作的运动就是简谐运动。 （1）不是简谐运动，因为球受到的是周期性策动力，而不是回复力。 （2）是简谐运动，因为能写出特征方程，证明如下（如题图 1）： 设小球质量为 m，大碗半径为 R。当小球摆到 角处时，重力的切向分量使小球沿碗 底运动： G = −mgsin 负号表示 G 总是指向平衡位置，因 很小，有 sin 所以有 R l − mg = −mg 根据牛顿第二定律，有 R l mg dt d l m = − 2 2 代入上式，移相并整理，得 0 2 2 + l = R g d t d l 若令 R g = ， 则有 0 2 2 2 + l = d t d l 这就是谐振特征式，说明小球作谐振。 2.简谐振动的速度与加速度的表达式中都有个负号，这是否意味着速度和加速度总是 负值？是否意味着两者总是同方向？ 解：简谐振动速度与加速度表达式中的负号，并不意味着速度和加速度总是负值，也 不意味着二者方向总是相同。前者因为，正余弦函数在 1 范围内变化，会周期性消去 表达式中的负号。后者因为，二者一个是正弦形式，一个是余弦形式，没有共同的比 较基础；若想比较，应都化成正弦或者余弦形式，比如都化成余弦形式： ] 2 sin( ) cos[( ) 0 0 v = −A t + = A t + + cos( ) cos[( ) ] 0 2 0 2 a = −A t + = A t + + 由此可以比较出来，振动速度的相位比振动加速度的滞后 2 ，即二者方向恒相反。 3. 一物体做谐振，振动的频率越高，则物体的运动速度越大，这种说法对吗？ 解：不对，根据振动速度表达式： sin( ) = − +0 v A t 可以看出来，速度的大小还与 振幅有关。如果加上“振幅不变”的前提，上述说法就对了。 mgR mg sin 题 1 图
4.当一个弹簧振子的振幅增大到原来的两倍时，它的下列物理量将受到什么影响：振动周期，最大速度，最大加速度和振动能量。区可知，弹簧振子的振动周期不变；解：由の=Vm由vmx=A可知，最大速度增倍；由amx=Aの?可知，最大加速度增倍；1由E=kA可知，振动能量增为原来的4倍。25.一弹簧振子，振幅为A，沿x轴运动，当t=0时，振子的运动状态分别如下，求其初相位：(1) x=-A;（2）过平衡位置，且向x轴正向运动；（3）过x=A/2，且向x轴负向运动：（4）过x=A/V2，且向x轴正向运动。解法一：代数法。设弹簧振子的谐振表达式为x=Acos(ot+P)振动速度表达式为v=-Aosin(ot+P)（1）将t=0，x=-A代人谐振表达式，得cosP=-1P。=元(2)将t=0，x=0代人谐振表达式，得AcoSP=0号或号元即一、三象限，又：=-Asin %>0..o=223号（舍去）.sin%<0即E三、四象限，..P=22AA(3)把t=0，x代入谐振表达式，得Acosp22或元即一、四象限，又：=-Aosin<0..Po =3~3（舍去5元..sin%>0即PE、二象限，.P=33
4. 当一个弹簧振子的振幅增大到原来的两倍时，它的下列物理量将受到什么影响：振动周期，最 大速度，最大加速度和振动能量。 解：由 m k = 可知，弹簧振子的振动周期不变； 由 vmax = A 可知，最大速度增倍； 由 2 amax = A 可知，最大加速度增倍； 由 2 2 1 E = kA 可知，振动能量增为原来的 4 倍。 5. 一弹簧振子，振幅为 A，沿 x 轴运动，当 t=0 时，振子的运动状态分别如下，求其初相位： （1）x=-A； （2）过平衡位置，且向 x 轴正向运动； （3）过 x = A 2 ，且向 x 轴负向运动； （4）过 x = A 2 ，且向 x 轴正向运动。 解法一：代数法。设弹簧振子的谐振表达式为 cos( ) = +0 x A t 振动速度表达式为 sin( ) = − +0 v A t （1）将 t = 0，x = −A 代人谐振表达式,得 cos 1 0 = − ， 0 = (2)将 t = 0，x = 0 代人谐振表达式,得 Acos0 = 0 2 3 2 0 = 或 即一、三象限，又v = −Asin 0 0 sin 0 0 即 0 三、四象限， 2 3 0 = （舍去 2 ） (3)把 2 0 A t = ，x = 代入谐振表达式，得 2 cos 0 A A = 3 5 3 0 = 或 即一、四象限，又v = −Asin 0 0 sin 0 0 即 0 一、二象限， 3 0 = （舍去 3 5 ）
会代入谐振表达式，得Acos%=A(4)把t=0，xV2V2或元即一、四象限，又：V=-A0sin>000=447元（舍去）..sinP<0即E三、四象限，..=44解法二：几何法。利用旋转矢量法求解，如图所示0元R34200xixx0题5图（3）题5图（1)题5图（2）ODxxXt=0题7图题5图（4)题6图6.一弹簧振子，重物的质量为m，弹簧的劲度系数为k，该振子作振幅为A的简谐振动：当重物通过平衡位置且向规定的正方向运动时，开始计时.则其谐振表达式为多少？解：如图，由题意所描述的振子状态，利用旋转失量法可以容易地找出初相，k又依题意知=代入谐振表式，得Nmk,3元k.-二元）等。元)或x= Acos(,x= Acos()-1+22VmVm注意：相位（包括初相）的表述是不唯一的，只要符合（β+2k元）的形式都正确，但通常以表述最简便为原则
(4)把 2 0 A t = ，x = 代入谐振表达式，得 2 cos 0 A A = 4 7 4 0 = 或 即一、四象限，又v = −Asin 0 0 sin 0 0 即 0 三、四象限， 4 7 0 = （舍去 4 ） 解法二：几何法。利用旋转矢量法求解，如图所示 6. 一弹簧振子，重物的质量为 m，弹簧的劲度系数为 k，该振子作振幅为 A 的简谐振动．当重物 通过平衡位置且向规定的正方向运动时，开始计时．则其谐振表达式为多少？ 解：如图，由题意所描述的振子状态，利用旋转矢量法可以容易地找出初相， 又依题意知 m k = ，代入谐振表式，得 ) 2 3 cos( = t + m k x A 或 ) 2 cos( = t − m k x A 等。 注意：相位（包括初相）的表述是不唯一的，只要符合（ + 2k ）的形式都正确， 但通常以表述最简便为原则。 O x 4 − 2 A 题 5 图（4） O x t = 0 t 题 7 图 O x 题 5 图（1） O x 2 3 题 5 图（2） O x 3 2 A 题 5 图（3） O x t = 0 题 6 图 2 −
7.一质点沿x轴作简谐振动，谐振表达式为x=4×10-2cos(2元t+元/3）(SI).从t=0时刻起，到质点位置在x=-2cm处，且向x轴正方向运动的最短时间间隔为多少？解：此题利用旋转失量法最为便捷。依题意画出旋转矢量图，失量从初始时刻沿逆时针旋转，当第一次到规定点时，跨越角度为元，由のt=元，解得1=0.5s.8.一质点作简谐振动，周期为T：当它由平衡位置向x轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为多少？解：此题利用旋转失量法最为便捷。依题意画出旋转矢量图，矢量从1/2最大位移处由2元元移动到最大位移处转过角度元/3，日，解得t=T/6.3TA2x(cm)Q:it20X0x0题8图题10图题11图9.图为两个谐振动的x-t曲线，试分别写出其谐振表达式。+r(cm)(cm)101050t(s)t(s)1(b)(a)题9图解：（1)由题9图(a)知：：t=0时，x。=0，U>09=3元/22又A=10cm，T=2s即：0=2元/T=元(rad/s)故x=0.1cos(元t+元m25元A(2)由题9图(b)，：t=0时，x。=,>0..%R235555元又=0×1+故x,=0.1cos(..0=元+Om元二元：元3326610.一质点作简谐振动，速度最大值Um=5cm/s，振幅A=2cm.若令速度具有正最大值的那一时刻为1=0，则简谐振动表达式为多少？解：此题重点在于寻找谐振三要素：振幅、圆频率和初相。设所求为：
7. 一质点沿 x 轴作简谐振动，谐振表达式为 4 10 cos(2 / 3) 2 = π + π − x t (SI)． 从 t = 0 时刻起，到质点位置在 x = -2 cm 处，且向 x 轴正方向运动的最短时间间隔 为多少？ 解：此题利用旋转矢量法最为便捷。依题意画出旋转矢量图，矢量从初始时刻沿逆时 针旋转，当第一次到规定点时，跨越角度为 ，由 t = ，解得 t = 0.5s . 8. 一质点作简谐振动，周期为 T．当它由平衡位置向 x 轴正方向运动时，从二分之一最大位移 处到最大位移处这段路程所需要的时间为多少? 解：此题利用旋转矢量法最为便捷。依题意画出旋转矢量图，矢量从 1/2 最大位移处 移动到最大位移处转过角度 3 ，由 3 2 t = T ，解得 t =T 6. 9. 图为两个谐振动的 x −t 曲线，试分别写出其谐振表达式。 题 9 图 解：(1)由题9图(a)知：∵ t = 0 时， 0 0 x = 0 , 0 v ， 0 = 3 2 ， 又 10cm , 2s A T = = ，即： = 2 T = (rad /s)，故 )m 2 3 xa = 0.1cos(t + (2)由题9图(b)，∵ t = 0 时， 0 0 0 5 , 0 2 3 A x = = v ， ， 又 2 5 3 5 1 = 1+ = ，∴ 6 5 = ， 故 xb t )m 3 5 6 5 0.1cos( = + 10. 一质点作简谐振动，速度最大值 vm = 5 cm/s，振幅 A = 2 cm．若令速度具有正最大值的那 一时刻为 t = 0，则简谐振动表达式为多少？ 解：此题重点在于寻找谐振三要素：振幅、圆频率和初相。设所求为： O x 2 A 1 t 2 t 3 题 8 图 题 11 图 O 4 x(cm) 5 O x 2 3 题 10 图
x= Acos(ot +P), Vm= A0=0=2.5s-1“速度具有正最大值时”意味着质点正处于平衡位置且向x轴正向运动，由旋转3元将“三要素”代入谐振表达式即可。量图（题10图）易知%=2，x = 2cos(2.5t +3元/2)cm11.一简谐振动的表达式为x=Acos(3t+)，已知t=0时的初位移为0.04m，初速度为0.09m/s，则振幅A和初相略是多少？解：已知x=0.04m,v=0.09m/s，0=3s-l，代入：A=/x+(/)2=0.05m初相的求解则可利用旋转矢量法（题11图），由题可知初始时刻，质点在x轴正半轴0.04m处且向正向运动，由图易知β=-arctan%/412.一竖直悬挂的弹簧振子，自然平衡时弹簧的伸长量为xo，此振子自由振动的周期T是多少？2元2元解：依题意，有mg=kg，所以T=一=2元/x/g/k/m/g/xo13.一劲度系数为k的轻弹簧，下端挂一质量为m的物体，系统的振动周期为Ti.若将此弹簧截去一半的长度，下端挂一质量为m/2的物体，则系统振动周期T2等于多少？解：设截去一半后的弹簧其劲度系数为K，根据：+=（弹簧串联公式)，K=2k,T=2元2元-T（周期公式），可得：T,=kkkk2Jk/mVm/214.一物体作简谐振动，其谐振表达式为X=0.04cos(5mt/3-T/2)）（SI）：则（1）此简谐振动的周期T是多少？（2）当t=0.6s时，物体的速度是多少？，故元=1.25解：（1）由题意可知①：30（2）把谐振表达式对t求一阶导，即得振动速度表达式，再把t=0.6s代入速度表达式即得v=-0.21m/s。15.一质量为m的质点在力F=-元x的作用下沿x轴运动.求其运动的周期解：元=k，故T=2=2/mVk/m16.质量M=1.2kg的物体，挂在一个轻弹簧上振动．用秒表测得此系统在45s内振动了90次：若在此弹簧上再加挂质量m=0.6kg的物体，而弹簧所受的力未超过弹性限度：则该系统新的振动周期为多少？
cos( ) = +0 x A t ， 1 2.5 − v = A = s m “速度具有正最大值时”意味着质点正处于平衡位置且向 x 轴正向运动，由旋转矢 量图（题 10 图）易知 2 3 0 = ， 将“三要素”代入谐振表达式即可。 x = 2cos(2.5t +3 2)cm 11. 一简谐振动的表达式为 x = Acos(3t +) ，已知 t = 0 时的初位移为 0.04 m，初速度为 0.09 m/s，则振幅 A 和初相各是多少？ 解：已知 1 0 0.04 , 0 0.09 / 3 − x = m v = m s， = s ，代入： A x (v ) 0.05m 2 0 2 = 0 + = 初相的求解则可利用旋转矢量法（题 11 图），由题可知初始时刻，质点在 x 轴正半 轴 0.04m 处且向正向运动，由图易知 4 3 = −arctan 。 12. 一竖直悬挂的弹簧振子，自然平衡时弹簧的伸长量为 x0，此振子自由振动的周期 T 是多少？ 解：依题意，有 0 mg = kx ，所以 x g k m g x T 0 0 2 2 2 = = = . 13. 一劲度系数为 k 的轻弹簧，下端挂一质量为 m 的物体，系统的振动周期为 T1．若将此弹簧 截去一半的长度，下端挂一质量为 m/2 的物体，则系统振动周期 T2 等于多少？ 解：设截去一半后的弹簧其劲度系数为 k ，根据： k k k 1 1 1 = + （弹簧串联公式），k =2k, k m T 2 1 = （周期公式），可得： 2 2 2 1 2 T m k T = = 14. 一物体作简谐振动，其谐振表达式为 x = 0.04cos(5πt/3−π/2) (SI) ．则 (1) 此简谐振 动的周期 T 是多少？（2）当 t = 0.6 s 时，物体的速度 v 是多少？ 解：（1）由题意可知 3 5 = ，故 T 1.2s 2 = = （2）把谐振表达式对 t 求一阶导，即得振动速度表达式，再把 t = 0.6s 代入速度表达 式即得 v = −0.21m/s。 15. 一质量为 m 的质点在力 F = - 2 x 的作用下沿 x 轴运动．求其运动的周期. 解： = k 2 ，故 m k m T 2 2 = = 16. 质量 M = 1.2 kg 的物体，挂在一个轻弹簧上振动．用秒表测得此系统在 45 s 内振动了 90 次．若在此弹簧上再加挂质量 m = 0.6 kg 的物体，而弹簧所受的力未超过弹性限度．则该系统 新的振动周期为多少？