习题9解答9一1将一条形磁铁推向一闭合线圈，线圈中将产生感应电动势。问在磁铁与线圈相对位置不变的情况下，迅速推向线圈和缓慢推向线圈所产生的感应电动势是否相同？为什么？答：不相同。磁铁迅速推向线圈时磁通量变化大，因而产生的感应电动势大。9一2一闭合圆形线圈在匀强磁场中运动，在下列情况下是否会产生感应电流？为什么？（1）线圈沿磁场方向平移：（2）线圈沿垂直于磁场方向平移：（3）线圈以自身的直径为轴转动，轴与磁场方向平行；（4）线圈以自身的直径为轴转动，轴与磁场方向垂直。答：第（1）、（2）、（3）三种情况下，通过线圈的磁通览不发生变化，因而都不会产生感应电流。第（4）种情况，通过线圈的磁通量发生变化，因而会产生感应电流。9-3如图9-9所示，一刚性导体回路处在B=0.5T的≥匀强磁场中，回路平面与磁场垂直，ab段长I=0.50m，+.拉动ab使其以v=4.0m·s-的速度向右匀速运动，电阻RR=0.52，略去摩擦阻力及导体的电阻。求：（1）ab内+X的非静电场场强K：（2）ab内动生电动势的大小和方向；+×xxbxA（3）感应电流消耗在电阻R上的功率；（4）拉力所做功图9-9习题9—3的功率；（5）作用在ab上的拉力；（6）1s内拉力所做的功。［（1)2.0Vm：（2）1V，逆时针方向；（3）2.0W；（4）2.0W；（5）0.50N；（6）2Nm］解：（1）ab内电子受到的非静电力为洛沦兹力F=evB，所以ab内的非静电场超强大小为K=evB=vB=4.0×0.50=2.0（V·m），方向由b指向a。e（2）由电动势的定义8="·dl=d/=Kl=2.0×0.5=1.0(V)电动势的方向为由b指向a，即若把导体ab视为电源，则a端为正极，b端为负极。(3) P=_ 1.0:2.0 (W)R0.50（4）由能量守恒与转化定律，拉力所做的功应等于感应电流消耗在电阻R上的热能，即P = P, =2.0 (W)。(5）由P=Fv，因而作用在ab上的拉力为F=-=0.50(N)v4.0
习题 9 解答 9－1 将一条形磁铁推向一闭合线圈，线圈中将产生感应电动势。问在磁铁与线圈相对位置 不变的情况下，迅速推向线圈和缓慢推向线圈所产生的感应电动势是否相同？为什么？ 答：不相同。磁铁迅速推向线圈时磁通量变化大，因而产生的感应电动势大。 9－2 一闭合圆形线圈在匀强磁场中运动，在下列情况下是否会产生感应电流？为什么？ （1）线圈沿磁场方向平移； （2）线圈沿垂直于磁场方向平移； （3）线圈以自身的直径为轴转动，轴与磁场方向平行； （4）线圈以自身的直径为轴转动，轴与磁场方向垂直。 答：第（1）、（2）、（3）三种情况下，通过线圈的磁通览不发生变化，因而都不会产生感应 电流。第（4）种情况，通过线圈的磁通量发生变化，因而会产生感应电流。 9－3 如图 9－9 所示，一刚性导体回路处在 B = 0.5T 的 匀强磁场中，回路平面与磁场垂直，ab 段长 l = 0.50m， 拉动 ab 使其以 1 4.0 − v = m s 的速度向右匀速运动，电阻 R = 0.5Ω ，略去摩擦阻力及导体的电阻。求：（1）ab 内 的非静电场场强 K ；（2）ab 内动生电动势的大小和方向； （3）感应电流消耗在电阻 R 上的功率；（4）拉力所做功 的功率；（5）作用在 ab 上的拉力；（6）１s 内拉力所做的 功。 [(1) 1 2.0V m− ；（2） 1V ，逆时针方向；（3） 2.0W ；（4） 2.0W ；（5） 0.50N ；（6） 2N m ] 解：（1）ab 内电子受到的非静电力为洛沦兹力 F evB = ，所以 ab 内的非静电场超强大小为 1 4.0 0.50 2.0 ( ) evB K vB V m e − = = = = ，方向由 b 指向 a。 （2）由电动势的定义 d d 2.0 0.5 1.0 ( ) b b a a = = = = = K l K l Kl V 电动势的方向为由 b 指向 a，即若把导体 ab 视为电源，则 a 端为正极，b 端为负极。 （3） 2 2 1 1.0 2.0 ( ) 0.50 P W R = = = （4）由能量守恒与转化定律，拉力所做的功应等于感应电流消耗在电阻 R 上的热能，即 1 2 P P W = = 2.0 ( )。 （5）由 P Fv = ，因而作用在 ab 上的拉力为 2.0 0.50 ( ) 4.0 P F N v = = = v l b B a R ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ 图 9－9 习题 9－3
（6）1s内拉力所做的功W=Pt=2.0×1=2（N·m)答：（1）ab内的非静电场场强为2.0V·m；（2）ab内动生电动势的大小1V，方向为逆时针方向；（3）感应电流消耗在电阻R上的功率为2.0W；（4）拉力所做功的功率为2.0W；（5）作用在ab上的拉力为0.50N；（6）1s内拉力所做的功2N·m。9一4若两组线圈缠绕在同一圆柱上，其中任一线圈产生的磁感应线全部并均等地通过另一线圈的每一匝。设两线圈的自感分别为L，和L，，若两线圈长度相等，证明两线圈的互感可以表示为：M=/L,L,。证明：当线圈L,中有电流I,通过时，其在线圈L，中产生的磁链为Va=N,B,S-NANIS-Ma,1Mi2=HN,N,S=Hnnst1而长直线圈自感为,=s，L,=ns所以两线圈互感为M=Mz=μnn,S=/LL9-5如图9-10所示的电路，已知8=10V，R=102，L13588R,=52，L=10H，求在以下情况时，电路中的电流I、I,和I各为多少？12R211（1）当电键K接通的瞬时；KR（2）电键K接通足够长时间，使电流达到稳定值；图9-10（3）电流达到稳定值后再断开电键K的瞬时：习题9-5（4）电流达到稳定值后再断开电键K足够长时间；（5）电流达到稳定值后再断开电键K之后2s。2[(1) I, =I, :A,I,=0;(2)I,=I,=1A,I,=0;(3)I,=0,I,=-1A,I,=1A;3(4)I,=,=I,=0;（5)[,=0,I,=-0.37A,I,=0.37A)解：（1）当电键K接通的瞬时，高于电感线圈中的电流不能突变，因而1，=010 2610+5"号 (4)I, =I2 =R,+R,1(2)电流达稳定值后，电感线圈的电阻可忽略不计，R,相当于开路，因而有I,=0
（6）1s 内拉力所做的功 W Pt N m = = = 2.0 1 2 ( ) 答：（1）ab 内的非静电场场强为 1 2.0V m− ；（2）ab 内动生电动势的大小 1V ，方向为逆时针 方向；（3）感应电流消耗在电阻 R 上的功率为 2.0W ；（4）拉力所做功的功率为 2.0W ；（5） 作用在 ab 上的拉力为 0.50N ；（6）１s 内拉力所做的功 2N m 。 9－4 若两组线圈缠绕在同一圆柱上，其中任一线圈产生的磁感应线全部并均等地通过另一 线圈的每一匝。设两线圈的自感分别为 L1 和 L2 ，若两线圈长度相等，证明两线圈的互感可 以表示为： M = L1L2 。 证明：当线圈 L1 中有电流 1 I 通过时，其在线圈 L2 中产生的磁链为 2 0 1 1 12 2 1 12 1 N N I S N B S M I l = = = 0 1 2 12 0 1 2 N N S M n n Sl l = = 而长直线圈自感为 2 L n Sl 1 0 1 = ， 2 L n Sl 2 0 2 = 所以两线圈互感为 M M n n Sl L L = = = 12 0 1 2 1 2 9－5 如图 9－10 所示的电路，已知 =10V ， R1 =10Ω， R2 = 5Ω，L =10H ，求在以下情况时，电路中的电流 1 I 、 2 I 和 3 I 各为多少？ （1）当电键 K 接通的瞬时； （2）电键 K 接通足够长时间，使电流达到稳定值； （3）电流达到稳定值后再断开电键 K 的瞬时； （4）电流达到稳定值后再断开电键 K 足够长时间； （5）电流达到稳定值后再断开电键 K 之后２s。 [（1） I I A 3 2 1 = 2 = ， I3 = 0 ；（2） I1 = I3 = 1A， I2 = 0 ；（3） I1 = 0， I2 = −1A， I3 = 1A ； （4） I1 = I2 = I3 = 0 ；（5） I1 = 0， I2 = −0.37A， I3 = 0.37A ] 解：（1）当电键 K 接通的瞬时，高于电感线圈中的电流不能突变，因而 I3 = 0 1 2 1 2 10 2 ( ) 10 5 3 I I A R R = = = = + + (2)电流达稳定值后，电感线圈的电阻可忽略不计， R2 相当于开路，因而有 I2 = 0 R1 L R2 K I1 I2 I3 图 9－10 习题 9－5
1-1,-元-1%-1(4)R,10（3）电流达稳定值后再断开电键K的瞬时，I,=0，L和R,形成闭合回路，由于电感线圈中的电流不能突变，所以I,=1A，I,=-,=-1A(4) I,=1, =I,=0（5）I,=0，由RL串联电路断电电流公式1--10-*= 03 (4)R""10答：（1）当电键K接通的瞬时，I,=1,=号4A，I，=0；（2）电键K接通足够长时间，使电流达到稳定值I,=I,=1A，I,=0；（3）电流达到稳定值后再断开电键K的瞬时I,=0，I,=-1A，I3=1A；（4）电流达到稳定值后再断开电键K足够长时间，I,=I,=,=0：（5电流达到稳定值后再断开电键K之后2s，I,=0，I,=-0.37A，I=0.37A。9一6一无限长直导线，通有电流I，若电流在其横截面上均匀分布，导线材料的磁导率为μ，试证明每单位长度导线内所储存的磁能为W。=层16元9一7一长直螺线管，管内充满磁导率为μ的磁介质。设螺线管的长为l，截面积为S，线圈匝数为N。证明其自感系数L=μmV（式中V为螺线管的体积，n为单位长度的螺线管的匝数)。证明：将螺线管通以电流I，则有N@=NBS=LI把螺线管磁感应强度公式B=unl代入上式，有L- NBS μr' - μrv19一8一螺线管的自感系数为10mH，求当通过它的电流强度为4A时，该螺线管所储存的磁场能量。(0.08J)解：螺线管储存的磁场能量为W=r=×10×10-×4h=0.08(I)22答：该螺线管所储存的磁场能量为0.08J。9一9一中空、密绕的长直螺线管，直径为1.0cm，长10cm，共1000匝。求：当通以1A电（4.93×10-J；62.8J·m2)流时，线圈中储存的磁场能量和磁场能量密度
1 3 1 10 1 ( ) 10 I I A R = = = = （3）电流达稳定值后再断开电键 K 的瞬时， I1 = 0， L 和 R2 形成闭合回路，由于电感线圈 中的电流不能突变，所以 I3 = 1A， 2 3 I I A = − = −1 （4） 1 2 3 I I I === 0 （5） 1 I = 0 ，由 RL 串联电路断电电流公式 2 5 2 10 1 3 1 10 0.37 ( ) 10 R t L I e e e A R − − − = = = = 答：（1）当电键 K 接通的瞬时， I I A 3 2 1 = 2 = ， I3 = 0 ；（2）电键 K 接通足够长时间，使电 流达到稳定值 I1 = I3 = 1A， I2 = 0 ；（3）电流达到稳定值后再断开电键 K 的瞬时 I1 = 0， I2 = −1A，I3 = 1A ；（4）电流达到稳定值后再断开电键 K 足够长时间，I1 = I2 = I3 = 0 ；（5） 电流达到稳定值后再断开电键 K 之后２s， I1 = 0， I2 = −0.37A， I3 = 0.37A 。 9－6 一无限长直导线，通有电流 I ，若电流在其横截面上均匀分布，导线材料的磁导率为 ，试证明每单位长度导线内所储存的磁能为 16 2 I Wm = 9－7 一长直螺线管，管内充满磁导率为 的磁介质。设螺线管的长为 l ，截面积为 S ，线 圈匝数为 N 。证明其自感系数 L n V 2 = （式中 V 为螺线管的体积， n 为单位长度的螺线管的 匝数）。 证明：将螺线管通以电流 I，则有 N NBS LI = = 把螺线管磁感应强度公式 B nI = 代入上式，有 NBS 2 2 L n Sl n V I = = = 9－8 一螺线管的自感系数为 10mH ，求当通过它的电流强度为 4A 时，该螺线管所储存的 磁场能量。 （ 0.08J ） 解：螺线管储存的磁场能量为 1 1 2 3 2 10 10 4 0.08( ) 2 2 W LI J − = = = 答：该螺线管所储存的磁场能量为 0.08J 。 9－9 一中空、密绕的长直螺线管，直径为 1.0cm ，长 10cm ，共 1000 匝。求：当通以 1A 电 流时，线圈中储存的磁场能量和磁场能量密度。 （ 4 4.93 10 J − ； 3 62.8J m− ）
解：由习题9-7可知线圈的自感系数L-M=AN(Na)14141元×4元×10-×(10°×10-2)=9.87×10~(H)4×0.1螺线管储存的磁场能量为r=→x9.87×10-×P =4.93×10-()W=22WWx44.93×10-×4磁场的能量密度为@：62.8(J·m)V元d1元×（10-2）×10-1答：线圈中储存的磁场能量为4.93×10-J，磁场能量密度为62.8J-m-3。9-10将一导线弯成半径R=5cm的圆形环，当其中通有I=40A的电流时，环心处的磁场能量密度为多少？(0.1J-m-3)解：环心处的磁感应强度B=!2RB-B-P环心处的磁场能量密度为の.8R22叫-2%4R4元×10-×4020.1(J -m-3)8×(5×10-2)2答：环心处的磁场能量密度为0.1J·m-39-11一截面为长方形的螺绕环，共有N匝，环内充满磁导率为u的磁介质，螺绕环内径为R，外径为R2，厚度为h，如图9一11所示。求此螺绕R1-(N"hn)环的自感。R22元R,图9-11习题9-11解：当螺绕环通有电流I时，由安培环路定理得CH·dl-ZI=NI由螺绕环对于中心轴线的对称性可得螺绕环内距中心轴线r处磁场强度处处相等，有NIB=μH-MNIH=2元r2元r通过里绕环任一截面的磁通量
解：由习题 9-7 可知线圈的自感系数 2 2 2 2 2 0 0 0 0 ( ) 4 4 S d L n V N N Nd l l l = = = = 7 4 10 3 2 2 4 (10 10 ) 9.87 10 ( ) 4 0.1 H − − − = = 螺线管储存的磁场能量为 1 1 2 4 2 4 9.87 10 1 4.93 10 ( ) 2 2 W LI J − − = = = 磁场的能量密度为 4 3 2 2 2 1 4 4.93 10 4 62.8( ) (10 ) 10 W W J m V d l − − − − = = = = 答：线圈中储存的磁场能量为 4 4.93 10 J − ，磁场能量密度为 3 62.8J m− 。 9-10 将一导线弯成半径 R cm = 5 的圆形环，当其中通有 I A = 40 的电流时，环心处的磁场能 量密度为多少？ （ 3 0.1J m− ） 解：环心处的磁感应强度 0 2 I B R = 环心处的磁场能量密度为 2 2 2 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 4 8 m B B I I R R = = = 7 2 3 2 2 4 10 40 0.1( ) 8 (5 10 ) J m − − − = = 答：环心处的磁场能量密度为 3 0.1J m− 。 9－11 一截面为长方形的螺绕环，共有 N 匝，环 内充满磁导率为 的磁介质，螺绕环内径为 R1，外 径为 R２，厚度为 h，如图 9－11 所示。求此螺绕 环的自感。 （ 2 2 1 ln 2 N h R R ） 解：当螺绕环通有电流 I 时，由安培环路定理得 L H dl I NI = = 由螺绕环对于中心轴线的对称性可得螺绕环内距中心轴线 r 处磁场强度处处相等，有 2 2 NI NI H B H r r = = = ， 通过里绕环任一截面的磁通量 R1 R2 h 图 9－11 习题 9－11
-I ha-4a- D=(B.dS= 2元"R螺绕环的磁链=N@=N"2元"RY_uN"hinR由此得螺绕环的自感为L=-12元R,答：此螺绕环的自感为N"hR2元R,9一12什么是位移电流？比较位移电流与传导电流之间的相似和差异之处。答：变化的电场中，通过某一截面的电位移通量对时间的变化率定义为通过该截面的位移电流。位移电流和传导电流都能够在它们周围的空间激发磁场，但传导电流是由自由电荷的定向移动形成的，当它流经导体时会产生焦耳热，而位移电流不存在自由电荷的定向移动，因而也没有焦耳热效应。9-13证明平行板电容器中的位移电流可以表示为1,=c，式中C是电容器的电容，Udt是两极板间的电势差。证明：设电容器极板截面为S，两极板间距离为d，则由极板S发出的电位移通量为D.dS=8E.dS=8ESPp=由U=Ed，可得o,-Su-cud由位移电流定义可得平行板电容器中的位移电流为de,=c1=9dtdt9一14麦克斯韦方程组包含哪几个电磁场的基本定理？指出各方程的物理意义。答：（1）有介质存在时静电场的高斯定理为.D.dS-ZlS丙该式说明静电场对任意封闭曲面的电位移通量仅取决于包围在封闭曲面内自由电荷的代数和，与曲面外的电荷无关，它反映了静电场是有源场，电场线由正电荷发出，终于于负电荷。（2）全电场的环路定理., E- d =-I.%dBJs at该式揭示出当磁场随时间变化时，也会激发电场。反映了变化的磁场和其所激发的电场之间的关系：在任何电场中，电场强度沿任意闭合回路的线积分等于通过该曲线所包围面积的磁通量对时间的变化率的
2 2 1 1 1 2 R R S R R NIh B dS Bhdr dr r = = = 2 1 ln 2 NIh R R = 螺绕环的磁链 2 2 1 ln 2 N Ih R N R = = 由此得螺绕环的自感为 2 2 1 ln 2 N h R L I R = = 答：此螺绕环的自感为 2 2 1 ln 2 N h R R 9－12 什么是位移电流？比较位移电流与传导电流之间的相似和差异之处。 答：变化的电场中，通过某一截面的电位移通量对时间的变化率定义为通过该截面的位移电 流。位移电流和传导电流都能够在它们周围的空间激发磁场，但传导电流是由自由电荷的定 向移动形成的，当它流经导体时会产生焦耳热，而位移电流不存在自由电荷的定向移动，因 而也没有焦耳热效应。 9－13 证明平行板电容器中的位移电流可以表示为 dt dU Id = C ，式中 C 是电容器的电容，U 是两极板间的电势差。 证明：设电容器极板截面为 S，两极板间距离为 d，则由极板 S 发出的电位移通量为 D d d S S = = = D S E S ES 由 U Ed = ，可得 D S U CU d = = 由位移电流定义可得平行板电容器中的位移电流为 d d d d D d U I C t t = = 9－14 麦克斯韦方程组包含哪几个电磁场的基本定理？指出各方程的物理意义。 答：（1）有介质存在时静电场的高斯定理为 d 0 S S D S q = 内 该式说明静电场对任意封闭曲面的电位移通量仅取决于包围在封闭曲面内自由电荷的代数和，与曲面外 的电荷无关，它反映了静电场是有源场，电场线由正电荷发出，终于于负电荷。 （2）全电场的环路定理 d d L S B E l B t = − 该式揭示出当磁场随时间变化时，也会激发电场。反映了变化的磁场和其所激发的电场之间的关系：在 任何电场中，电场强度沿任意闭合回路的线积分等于通过该曲线所包围面积的磁通量对时间的变化率的