习题8解答8一1.两根粗细不同的铜棒接在一起（串联），在两端加上一定电压。设两铜棒的长度相同，那么：（1）通过两棒的电流强度是否相同？（2）如果略去分界面处的边缘效应，通过两棒的电流密度是否相同？答：（1）电流强度相等（2）电流密度不相同8一2.截面相等的铜棒和铁棒串联在一起后接到电路中，问哪个里面的电场强度大？解：根据欧姆定律的微分形式8=三，由于截面相等的铜棒和铁棒串联在一起后接到电路中，电p流密度8m=8铁，而电阻率Pm<P快，所以电场强度E霜<E铁。8一3.把大地看成均匀的导电介质，其电阻率为p。用一半径为a的球形电极与大地表面相接，半个球体理在地下，如图8一20所示。如果电极本身的电阻可以忽略，试证明此电极的接地电阻为：R=2ml证明：由于大地中与电流密度垂直的截面是一系列同心并球面。设接地处半径为r图8-20习题8-31(4元r)=2元r2S*=2dr取大地中半径为r→r+dr的一薄球层dR=P2元r两边积分得 R-JdR==P2元22元起8一4.灵敏电流计能测出的最小电流约为10-10A。问：（1）10-10A的电流通过灵敏电流计时，每秒内流过导线截面的自由电子数是多少？（2）如果导线的截面积是1mm2，导线中自由电子的密度为8.5×1028m3，这时电子的平均漂移速度是多少？（3）电子沿导线漂移1cm所需时间为多少？（6.25×10s-；7.4×10-15m.s：1.4×102s）解：（1）每秒内流过导线截面的自由电子数N=!__10-10"1.6x10-5=6.25x10° (s-)（2）设电子的平均漂移速度为10-10D=nes8.5×1028×1.6×10-19×10-6= 7.4x10-15 (m·s-")
习题 8 解答 8－1.两根粗细不同的铜棒接在一起（串联），在两端加上一定电压。设两铜棒的长度相同，那么： （1）通过两棒的电流强度是否相同？（2）如果略去分界面处的边缘效应，通过两棒的电流密度 是否相同？ 答：（1）电流强度相等（2）电流密度不相同 8－2.截面相等的铜棒和铁棒串联在一起后接到电路中，问哪个里面的电场强度大？ 解：根据欧姆定律的微分形式 E = ，由于截面相等的铜棒和铁棒串联在一起后接到电路中，电 流密度 铜 铁 = ，而电阻率 铜 铁 ，所以电场强度 E E 铜 铁 。 8－3.把大地看成均匀的导电介质，其电阻率为 。用一半径为 a 的球 形电极与大地表面相接，半个球体埋在地下，如图 8－20 所示。如果 电极本身的电阻可以忽略，试证明此电极的接地电阻为： a R 2 = 。 证明：由于大地中与电流密度垂直的截面是一系列同心并球面。设接 地处半径为 r 1 2 2 (4 ) 2 2 S r r 半 = = 取大地中半径为 r r r → +d 的一薄球层 2 d d 2 r R r = 两边积分得 2 d = d a 2 2 r R R r a = = 8－4.灵敏电流计能测出的最小电流约为 10－10A。问：（1）10－10A 的电流通过灵敏电流计时，每 秒内流过导线截面的自由电子数是多少？（2）如果导线的截面积是 1mm2，导线中自由电子的密 度为 8.5×1028m －3，这时电子的平均漂移速度是多少？（3）电子沿导线漂移 1cm 所需时间为多少？ （ 8 1 6.25 10 − s ； 15 1 7.4 10− − m s ； s 12 1.410 ） 解：（1）每秒内流过导线截面的自由电子数 10 8 1 19 10 6.25 10 ( ) 1.6 10 I N s e − − − = = = （2）设电子的平均漂移速度为 v 10 28 19 6 10 8.5 10 1.6 10 10 I v neS − − − = = 15 1 7.4 10 ( ) m s − − = I a 图 8－20 习题 8－3
（3）电子沿导线漂移1cm所需的时间t==，0.01" 7.4x10-15 =1.4x10" (s)答：（1）每秒内流过导线截面的自由电子数为6.25×10s-；（2）电子的平均漂移速度为7.4×10-15m·s-；（3）电子沿导线漂移1cm所需的时间为1.4×102s。8一5.把截面相同的铜丝和钢丝串联起来，铜的电导率为5.8x107S·m，钢的电导率为0.2×107S·m"，横截面积为2mm2，如通以电流强度为1uA的恒定电流，求铜丝和钢丝中的电场强度。（8.6×10-V.ml，2.5x10-V.m）解：铜丝中的电场强度E=%-元1×10-6s"5.8x10×2x10-=8.6x10~ (Vml)1×10-6钢丝中的电场强度E,=y,s"0.2×10°x2x10-=2.5×10 (V-ml")答：铜丝和钢丝中的电场强度分别为8.6×10-V.m和2.5×10-7V·ml。8一6.平板电容器的电量为2×10-C，平板间电介质的相对介电常数为78.5，电导率为2×10-S·m，求开始漏电时的电流强度。（5.76×10-A）解：电介质的场强为E=_68，则电流密度为8=E=9808,S漏电时的电流强度1=8S==2x10×2×10-8e8.85x078.5=5.76x10()答：开始漏电时的电流强度为5.76×10~A。8一7.1000Q的电阻和1μF的电容器串联接到100V的电源上。问：（1）电容器上最后的电量是多少？（2）电源接通后2.3ms时，电容器上的电量是多少？（10-；9×10c）解：（1）电容器极板上最后的电量为Q=CU=10-×100=10（C)(2）时间常数为T=RC=103×10-°=10-(s)--因为"c=81-e所以Q。=0 [1-)=2.(1-e)=10-(1-0.1)=9×10- (C)
（3）电子沿导线漂移 1cm 所需的时间 12 15 0.01 1.4 10 ( ) 7.4 10 l t s v − = = = 答：（1）每秒内流过导线截面的自由电子数为 8 1 6.25 10 s − ；（2）电子的平均漂移速度为 15 1 7.4 10 m s − − ；（3）电子沿导线漂移 1cm 所需的时间为 12 1.4 10 s 。 8－5.把截面 相同的铜丝 和钢丝串联 起来，铜 的电导率为 7 1 5.8 10 S m− ，钢的电 导率为 7 1 0.2 10 S m− ，横截面积为 2 2mm ，如通以电流强度为 1A 的恒定电流，求铜丝和钢丝中的电场 强度。（ 9 1 8.6 10 V m − − ， 7 1 2.5 10 V m − − ） 解：铜丝中的电场强度 6 9 1 1 7 6 1 1 1 10 8.6 10 ( ) 5.8 10 2 10 I E V m S − − − − = = = = 钢丝中的电场强度 6 7 1 2 7 6 2 2 1 10 2.5 10 ( ) 0.2 10 2 10 I E V m S − − − − = = = = 答：铜丝和钢丝中的电场强度分别为 9 1 8.6 10 V m − − 和 7 1 2.5 10 V m − − 。 8－6.平板电容器的电 量为 C 8 2 10− ，平板间电介质的相对介电常数为 78.5， 电导率为 4 1 2 10 S m − − ，求开始漏电时的电流强度。（ 3 5.76 10 A − ） 解：电介质的场强为 0 r q E S = ，则电流密度为 0 r q E S = = 漏电时的电流强度 4 8 3 12 0 2 10 2 10 5.76 10 ( ) 8.85 10 78.5 r q I S A − − − − = = = = 答：开始漏电时的电流强度为 3 5.76 10 A − 。 8－7.1000Ω的电阻和１ μF 的电容器串联接到 100V 的电源上。问：（1）电容器上最后的电量是多 少？（2）电源接通后 2.3ms 时，电容器上的电量是多少？（ C 4 10− ； C 5 9 10− ） 解：（1）电容器极板上最后的电量为 6 4 0 Q CU C 10 100 10 ( ) − − = = = （2）时间常数为 3 6 3 RC s 10 10 10 ( ) − − = = = 因为 1 t u e C − = − 所以 ( ) 2.3 4 5 0 0 1 1 10 (1 0.1) 9 10 ( ) t Q Q e Q e C C − − − − = − = − = − =
答：（1）电容器上最后的电量是10-C：（2）电源接通后2.3ms时，电容器上的电量是9×10-C。8一8.一个用电阻率为p的导电物质制成的空心半球壳，它的内半径为a，外半径为b，求内球面与外球面间的电阻。（_2元abdr解：厚为dr，半径为r的薄同心半球壳的电阻为dR=p2元所求电阻为R=[dR==(1_])2元JR=2元（a答：内球面与外球面间的电阻为(_})2元~元8一9.两同轴圆筒形导体电极，其间充满电阻率为10Q·m的均匀电介质，内电极半径为10cm，外电极半径为20cm，圆筒长度为5cm。（a）求两极间的电阻；（b）若两极间的电压为8V，求两圆筒间的电流强度。（222；0.36A；）解：设内圆筒半径为R，外圆筒半径为R，，圆筒长为L，电阻率为P，半径为r，dr长为1厚度为dr的薄同心圆简的电阻为：dR=P2元n(R <r<R)电极间的电阻为R=[dR=-=22 (2)=2元／J起～-2元l"R两简间电流强度为1=%=号=0.36 (4)R22答：（a）求两极间的电阻为22Q2；（b）若两极间的电压为8V，两圆筒间的电流强度为0.36A。8—10.图8-21中8,=24V，=2Q，8,=6V，=12，R,=22，AB&2CDnr2R1R,=1Q，R,=32求：（a）电路中的电流；（b）A、B、C和DR2R3点的电势；（c）UA和Upc。（2A；2V；—18V；-14V；-6V；I20V;8V)图8-21习题8-1061-82解：（a）电路中电流为I==2 (A)i +r2 +R +R, +R,（b）设图中接地点为E，则Ue=0A点的电势为：UA=UAE=IR,=2(V）B点的电势为：UB=UBE=IR+Ir-8=-18(V)
答：（1）电容器上最后的电量是 C 4 10− ；（2）电源接通后 2.3ms 时，电容器上的电量是 C 5 9 10− 。 8－8.一个用电阻率为 的导电物质制成的空心半球壳，它的内半径为 a ，外半径为 b ，求内球面 与外球面间的电阻。（ ) 1 1 ( 2 a b − ） 解：厚为 dr ，半径为 r 的薄同心半球壳的电阻为 2 d d 2 r R r = 所求电阻为 2 1 2 d 1 1 d 2 2 R R r R R r a b = = = − 答：内球面与外球面间的电阻为 ) 1 1 ( 2 a b − 。 8－9.两同轴圆筒形导体电极，其间充满电阻率为 10m 的均匀电介质，内电极半径为 10cm ，外 电极半径为 20cm ，圆筒长度为 5cm 。（a）求两极间的电阻；（b）若两极间的电压为 8V，求两圆 筒间的电流强度。（ 22 ； 0.36A ；） 解：设内圆筒半径为 R1 ，外圆筒半径为 R2 ，圆筒长为 L ，电阻率为 ，半径为 r ， 长为 l 厚度为 dr 的薄同心圆筒的电阻为： 1 2 d d ( ) 2 r R R r R rl = 电极间的电阻为 2 1 2 1 d d ln 22 ( ) 2 2 R R r R R R l r l R = = = = 两筒间电流强度为 8 0.36 ( ) 22 U I A R = = = 答：（a）求两极间的电阻为 22 ；（b）若两极间的电压为 8V，两圆筒间的电流强度为 0.36A 。 8－10.图 8－21 中 1 = 24V ，r1 = 2 ， 2 = 6V ，r2 = 1，R1 = 2， 2 R = 1， R3 = 3 求：（a）电路中的电流；（b）A、B、C 和 D 点的电势；（c） UAB 和 UDC 。（2A；2V；－18V；－14V；－6V； 20V；8V） 解：（a）电路中电流为 1 2 1 2 1 2 3 I A 2 ( ) r r R R R − = = + + + + （b）设图中接地点为 E，则 0 UE = A 点的电势为： 2 2 ( ) U U IR V A AE = = = B 点的电势为： 2 1 1 18 ( ) U U IR Ir V B BE = = + − = − A D R1 R2 R3 B C ε1 r1 ε2 r2 图 8－21 习题 8-10
C点的电势为：U=UcB+UBE=IR,+UB=-14(V)D点的电势为：U,=UDE=-IR,=-6(V)(c) UAB =8, - Ir, = 20 (V), UDc = 8, -Ir, =8 (V)答：（a）电路中的电流为2A；（b）A、B、C和D点的电势分别为2V，-18V，-14V，一6V；（c）U和Upc分别为20V，8V。118-11.图8-22中，已知支路电流1,求电动势A,I,A一322Q70oI.8,,8,。 (6V; 9V)10#1060解: 8, =1,(r +R,)+I,5 =9 (V)图8-22习题8-118, = 1,( + R)+ I35 =6 (V)答：电动势6、8,分别为6V、9V。8-12.在图8—23所示的电路中，已知6,=12V、8,=4V；安培计上6的读数为0.5A，其内阻可忽略不计，电流方向如图中所示，求电20406012源ε的电动势是多少？13解：设节点A各支路电流分别为I、I、I,方向如图所示，选顺时针方向图8—23习题8—12为回路绕行方向，根据基尔霍夫定律得方程组1,-1, -1, = 083-61-613-21,=0，代入数据解得8,=6.6(V)[82 -8} -41, -21, = 0答：电源6.的电动势是6.6V。8-13.如图8-24所示，8=10V，8,=6V，6,=20V，R=20kQ，1,13R3RliR=60kQ2，R，=40kQ，求各支路中的电流。（-0.1mA；0.1mA；R2Te-0.2mA)解：取顺时针方向为回来绕行方向，得方程组如下图8-24习题8-13I =I, +I-8,+I,R+I,R,+8,=0-8, +I,R, + I,R, +8, = 0
C 点的电势为： 1 14 ( ) U U U IR U V C CB BE B = + = + = − D 点的电势为： 2 6 ( ) U U IR V D DE = = − = − （c） 1 1 20 ( ) U Ir V AB = − = ， 2 2 8 ( ) U Ir V DC = − = 答：（a）电路中的电流为 2A；（b）A、B、C 和 D 点的电势分别为 2V，－18V，－14V，－6V； （c） UAB 和 UDC 分别为 20V，8V。 8－11.图 8－22 中，已知支路电流 I A 3 1 1 = ，I A 2 1 2 = 。求电动势 1 ， 2 。（6V；9V） 解： 2 2 2 2 3 3 = + + = I r R I r V ( ) 9 ( ) 1 1 1 1 3 3 = + + = I r R I r V ( ) 6 ( ) 答：电动势 1 、 2 分别为 6V 、9V 。 8－12.在图 8－23 所示的电路中，已知 2 = 12V 、 3 = 4V ；安培计 的读数为 0.5A，其内阻可忽略不计，电流方向如图中所示，求电 源 1 的电动势是多少？ 解：设节点 A 各支路电流分别为 1 I 、 2 I 、 3 I 方向如图所示，选顺时针方向 为回路绕行方向，根据基尔霍夫定律得方程组 1 2 3 3 1 3 1 2 1 2 1 0 6 2 0 4 2 0 I I I I I I I − − = − − − = − − − = ，代入数据解得 1 = 6.6 ( ) V 答：电源 1 的电动势是 6.6V 。 8－13.如图 8－24 所示， 1 = 10V ， 2 = 6V ， 3 = 20V ，R1 = 20k， R2 = 60k，R3 = 40k ，求各支路中的电流。（－0.1mA；0.1 mA； －0.2 mA） 解：取顺时针方向为回来绕行方向，得方程组如下 1 2 3 1 1 1 3 3 3 1 1 1 2 2 2 0 0 I I I I R I R I R I R = + − + + + = − + + + = ε1 1Ω ε2 1Ω 2Ω 7Ω 6Ω I1 I2 I3 图 8－22 习题 8－11 A 2Ω 4Ω 6Ω ε1 ε2 I2 ε3 I1 I3 图 8－23 习题 8－12 R1 R2 R3 ε1 ε3 ε2 I1 I2 I3 图 8－24 习题 8－13
代入数据，解方程组得：I,=-0.1(mA)，I,=0.1(mA)，I=-0.2(mA)答：各支路中的电流分别为1,=-0.1mA，I,=0.1mA，I,=-0.2mA。8一14.如果每个离子所带电荷的电量为+1.6×10-19C，在轴突内、外这种离子的浓度分别为10mol·m及160mol·m-，求在37℃时离子的平衡电势是多少？（74mV）解：因为T=273+37=310(K)，C,=10mol·m-3，C,=160mol·m-3，k=1.38×10-23J.K-l,e=+1.6×10-19C,Z=+1当平 时 -232--15 -10 =+74 (mV)19Ze"C8一15.什么叫动作电位？简述其产生过程。答：细胞受刺激所经历的除极和复极的过程，伴随电位波动，这种电位波动称为动作电位。当细胞处于静息状态时，为极化。当受刺激时，强度达到阈值或阅值以上时，极化发生倒转，这一过程叫除极。电位由-86mV上升到-86mV。之后，K离子向膜外扩散，膜电位迅速下降，称为复极。之后膜电位又恢复到静息电位。（张拥军）
代入数据，解方程组得： 1 I mA = −0.1 ( )， 2 I mA = 0.1 ( )， 3 I mA = −0.2 ( ) 答：各支路中的电流分别为 1 I mA = −0.1 ， 2 I mA = 0.1 ， 3 I mA = −0.2 。 8－14.如果每个离子所带电荷的电量为 C 19 1.6 10− + ，在轴突内、外这种离子的浓度分别为 3 10mol m− 及 3 160mol m− ，求在 37℃时离子的平衡电势是多少？（74mV） 解：因为 T K = + = 273 37 310 ( ) ， 3 1 C mol m 10 − = ， 3 2 C mol m 160 − = ， 23 1 k J K 1.38 10− − = ， 19 e C 1.6 10− = + ， Z = +1 当平衡时 1 2 10 2.3 lg 61.5lg 74 ( ) 100 kT C mV Ze C = − = − = + 8－15.什么叫动作电位？简述其产生过程。 答：细胞受刺激所经历的除极和复极的过程，伴随电位波动，这种电位波动称为动作电位。当细胞处于静息状 态时，为极化。当受刺激时，强度达到阈值或阈值以上时，极化发生倒转，这一过程叫除极。电位由−86mV 上 升到 −86mV 。之后， K + 离子向膜外扩散，膜电位迅速下降，称为复极。之后膜电位又恢复到静息电位。 （张拥军）