第0章预备知识 伴随矩阵：矩阵B,其第行和第列元素等于A:时，称B为方阵A的伴随 矩阵，记为 A B=adiA= A2 A22 An2 .即 b,=A 例如， 求矩阵A= a12 的伴随矩阵。 由于 41=(-1)1.a2=a2 42=(-12.a1=-a 41=(-1)2+1 ·412=-412 42=(-1)2*2.a1=a1 故 a22 -a12 L-a21
伴随矩阵：矩阵B，其第i行和第j列元素等于 时，称B为方阵A的伴随 矩阵，记为 ，.即 Aji 11 21 1 12 22 2 1 2 adj n n n n nn AA A AA A AA A = = B A b A ij ji = 11 12 21 22 a a a a = A ( ) 1 1 A aa 11 1 22 22 + =− ⋅ = ( ) 1 2 A aa 12 1 21 21 + = − ⋅ =− ( ) 2 1 A aa 21 1 12 12 + = − ⋅ =− ( ) 2 2 A aa 22 1 11 11 + =− ⋅ = 22 12 21 11 adj a a a a − = − A 第0章 预备知识 例如，求矩阵 的伴随矩阵。 由于 故
A A . An A'= An A . An2 为A的伴随矩阵. An 注意①转置；②符号) @4x可逆分4≠0且r府+ ②重要结论： A=AA-;AA=A'A=AE
为A的伴随矩阵. (注意①转置;②符号) ① An×n可逆 ⇔ ≠ A 0,且 1 1 A A A − ∗ = ②重要结论: AA A A A E ∗ ∗ = = 1 A AA ; ∗ − = 11 21 1 12 22 2 1 2 n n n n nn AA A AA A A AA A ∗ =
123 例3判断A= 2 1 是否可逆，若可逆，求其逆 3 4 3 1 2 3 解： 4= 2 21 =6+6+24-18-12-4=2≠0 A可逆 3 43 24 1 2 3 2 3 3 4 3/ 2 1 3 2 1-2 2 3 3 3 A 3 3引 3 2 2 -3 5-21 2 2 2 1 2 11 3 4 3 4 2 2
例3 判断 是否可逆，若可逆，求其逆. 123 221 343 A = 123 221 343 A = 解: 1 21 23 23 43 43 21 132 1 1 21 13 13 3 5 3 2 33 33 21 2 2 11 1 22 12 12 34 34 22 A A A − ∗ − = = =− − − − − − − =6＋6＋24－18－12－4＝2≠0 ∴A可逆
第0章预备知识 矩阵的秩：矩阵A的秩是A中线性独立的列（或行）向量的最大数目（即列向 量或行向量线性无关向量的最大个数)，或A中包括的最大的非奇异矩阵的阶 数，即矩阵所对应的不等于零的子行列式的最大阶数。例如最大阶数为，记为 rankA=r 向量线性无关：如果 ka1+k2a2+.+kam=0 式中，4为n维向量；k为常数，且i=l,2,m,仅当k=k2=.=km=0时，该 式立，则称4,4，.，a线性无关，否则线性相关。 余子式M,:从n×n阶矩阵A中去掉第行、第列所得的(n-)x(n-1)阶矩阵所对 应的行列式叫做矩阵A的余子式M,。 余因子式A,:矩阵A中元素a,的余因子式定义为=(M,也就是说方阵中元 素4，的余因子式是用~)乘以从A中去掉第行和第j列后构成的矩阵所对应的行 列式
矩阵的秩：矩阵A的秩是A中线性独立的列（或行）向量的最大数目（即列向 量或行向量线性无关向量的最大个数），或A中包括的最大的非奇异矩阵的阶 数，即矩阵所对应的不等于零的子行列式的最大阶数。例如最大阶数为r，记为 rankA = r kk k 11 2 2 aa a + ++ = m m 0 式中， 为n维向量；ki 为常数，且 ，仅当 时，该 式立，则称 线性无关，否则线性相关。 ai i m =1,2, , kk k 1 2 = = = = m 0 1 2 , aa a m 余子式 ：从 阶矩阵A中去掉第i行、第j列所得的 阶矩阵所对 应的行列式叫做矩阵A的余子式 。 余因子式 ：矩阵A中元素 的余因子式定义为 也就是说方阵中元 素 的余因子式 是用 乘以从A中去掉第i行和第j列后构成的矩阵所对应的行 列式。 n n × (n n −× − 1 1 ) ( ) Mij Mij Aij aij ( 1) i j ij ij + A M = − aij ( 1) i j + − 第0章 预备知识 向量线性无关：如果
第0章预备知识 正交矩阵：若阶方阵A和它的转置矩阵A满足如下关系式： AIA=I或A=A 则称矩阵A为正交矩阵。 b 三角矩阵：形如 a22 b22 当 a1=a2==am=1,b,=b2=.=bm=1时，分别称为单位上三角阵和单位 下三角阵。 矩阵的迹：方阵A的迹定义为主对角线上的元素之和，记为tA,即 4=2a 矩阵的范数：范数是一个度量数量大小的量。如同向量的范数一样矩阵的 范数也有许多种定义方法。例如范数可以是最大元素的大小，也可以为矩 阵中所有元素模之和
正交矩阵：若n阶方阵A和它的转置矩阵 满足如下关系式： 或 则称矩阵A为正交矩阵。 T A T AA I = −1 T A A = 11 22 0 nn a a a ∗ 11 22 0 nn b b b ∗ 当 ， 时，分别称为单位上三角阵和单位 下三角阵。 aa a 11 22 = = = = nn 1 bb b 11 22 = = = = nn 1 trA ， 1 tr n ii i a = A = ∑ 矩阵的范数：范数是一个度量数量大小的量。如同向量的范数一样矩阵的 范数也有许多种定义方法。例如范数可以是最大元素的大小，也可以为矩 阵中所有元素模之和。 第0章 预备知识 三角矩阵：形如 矩阵的迹：方阵A的迹定义为主对角线上的元素之和，记为 ，即