例43.求过y轴和点M1,1,1)的平面方程 解:设平面方程为Ax+Cz+D=0 由于过y轴,故过原点.∴D=0 且因平面过点M(1,1,1),得 A.1+C.1=0→A=-C 平面方程为Ax-A=0 A≠0,平面方程为x-z=0
例4.3. 求过 y 轴和点 M(1, 1, 1) 的平面方程. 解：设平面方程为Ax+Cz+D=0. 由于过 y 轴, 故过原点. D=0, 且因平面过点 M(1, 1, 1)，得 A1+C 1=0 A=− C. 平面方程为 Ax−Az=0. A 0, 平面方程为x− z =0
例44设平面z与x,y,z轴分别交于P(p,0,0) Q(0,4q,0),R(0,0,r),求丌的方程其中, q,r非零 解:设平面x为方程Ax+ByCz+D=0 则A+D=B+D=CrH+D=0 B C 平面方程为 DD +D=0 g
例4.4 设平面 与 x, y, z 轴分别交于 P (p, 0, 0), Q(0, q, 0), R (0, 0, r)，求 的方程, 其中p, q, r 非零. 解：设平面 为方程 Ax+By+Cz+D=0. 则 Ap+D=Bq+D=Cr+D=0. , p D A = − , g D B = − , r D C = − 平面方程为 − − − z + D = 0. r D y g D x p D
由于D≠0,上式化简得 x,y,2 + 1. 截距式方程 p g 丌在x轴x在y轴z在z轴 上截距 上截距上截距
+ + = 1. r z g y p x 在 x 轴 上截距 在 y 轴 上截距 在 z 轴 上截距 截距式方程 由于D0, 上式化简得
3两平面的夹角 我们目前已对平面本身的解析关系描述得 较清楚了.现在讨论两平面间的关系 般说来,两平面的关系有以下几种 两平面平行不重合→两平面法向致但无交点 两平面平行重合→两法向一致且有交点 两平面不平行相交两平面垂直两法向垂直 相交但不垂直→两法向不共线 也不垂直 桥梁 法向夹角
3 两平面的夹角 我们目前已对平面本身的解析关系描述得 较清楚了. 现在讨论两平面间的关系. 一般说来，两平面的关系有以下几种 两平面平行不重合. 两平面平行重合. 两平面不平行相交 两平面法向一致但无交点 两法向一致且有交点 两平面垂直 相交但不垂直 两法向垂直 两法向不共线 也不垂直 桥梁 法向夹角
定义4.1两平面x1,x2的法方向n,n2的夹角称 为平面κ和z的夹角通常指锐角) 丌1:A1x+Bu+C1+D1=0, 丌:A2x+B2C2z+D2=0 如何求其间夹角0? 由平面方程,知n=(41,B1,C1n2=(42,B2,C2) 分别为z1,2的法向,故 A1A,+BiB 2 +C1c cos e hn1|+B+GV好+B+C 丌 0<b≤ 2
1 : A1x+B1y+C1 z+D1=0, 2 : A2x+B2y+C2 z+D2=0. 如何求其间夹角？ 分别为 1 ， 2 的法向，故 cos = = | | | | | | 1 2 1 2 n n n n , 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 A B C A B C A A B B C C + + + + + + 2 0 定义4.1 两平面 1 , 2 的法方向n1 , n2的夹角称 为平面 1和 2 的夹角 (通常指锐角). 由平面方程，知 n1=(A1 , B1 , C1 )、n2=(A2 , B2 , C2 )