若x为有理数，R(x)=日，Rx)-R,)=日<e 这样的n需无限多个，只需使≥的有有限个即可，“日 ≥e,是≥n这样的n确有有限个.又：m<n,m也为有 限个，从而使得R(晋)=≥的有理点确实有有限个，不 妨设为r1,r2,,r。,则x1必介于，x+之间，取 6=min{1x1一x,x一x+} 即可. 注意：在每个有理点连续，而在每个无理点间断的函数 是不存在的. 2.10函数f(x)在点xo连续，不一定有f(x)在点 x。的某个邻域内连续. 朗f(x)=工，七为有理数 0,x为无理数 它在点x=0处连续，但对于任意xo≠0，且xo∈R,函数 f(x)在xo处均不连续. 2.“11若函数f(x),g(x)在点xo处均不连续，但 f.(x).十g(x)在x点有可能连续. g(x) 1,0 1,x<0 它们在x=0处均不连续，但它们和f(x)十g(x)却处处 连续。 2.12若f(x),g（x)在x点其中之一不连续，这时 24
f(x)·g(x)在.xa点的连续性不确定， 例不妨设f(x)在x)点连续、g(x)在点不连续， 1°fx)=0,g(x)={二1，x<0 1、r≥0 f(x)在xn=0处连续，g(x)在x=0点不连续，但 f(x)·g(x)=0却处处连续. 2°f(x)=1, 1,x≥0， g(x)= -1,x<0 f(x)·g(x)= 1,x≥0 -1,x<0 在xo=0处不连续. 2.13若f(x),g(x)在x点均不连续，则f(x)·g(x) 的连续性不确定. 例1°f()=1, x≥0 -1,x<0 g(x）=f(x) 它们在x.=0点不连续，但它们的乘积f(x)·g（x)≡1却处 处连续， 它们在x=0点均不连续，它们的乘积f(x)·gx)=是在 xo=0点仍不连续. 2.11不连续函数的反函数却是连续的. 例y=f(x)=(1+x2)sgnx,其中 1,x>0 sgn.c=0, x=0 1-1,x<0 25
Vxsgnx-1, x≥1 f(x)的反函数为： y= -√xsgn.x-1,x≤-1 0, x=0 在其定义域上是连续的， 2.15函数f(x)在闭区间[a,b]上取介于f(a)与 f(b)之间的一切中介值，但在[a,b]上并不连续， 例f(x)=〈 0,x=a .f(x)取[一1,1]之间的一切值，对于任意>a, |f(b)|≤1，∴.f(x)取f(a)=0与f(b)之间的一切 值，但f(x)在x=a处并不连续， 2.16设y=f(u),u=p(x),复合函数y=f[P (x)]在xo点连续，但g(x)在xo点不连续 例y=f(u)=sinu, |x一x,x≤0 u=o(x)= {x十x,x>0, sin(x-x),x≥0 f兀p(x)]= sin(x十x),x<0, lim fLp(x)]=sin(-x)=0, 20 lim f[p(x)]=sinx=0, 0 又，f[p(x)门=sin(0-x)=0,.f[p(x)]在xo=0处连续， 但 lim p(x)=lim (x-)=-x, +0 +0 limp(x)=lim(x十x)=元， x+0+ ◆0+ .p(x)在xo=0处并不连续， 26
2.17f(x)在实数集R上不连续，g(x)在R上连 续，复合函数f[g(x)]在R上连续， f(x)=sgnx,g(r)=1+z2 J[g(x)门=sgn(1十x2)=1,∴.f[g(x)]在R上连续. 2.18函数fLg(x)]与g[f(x)]的连续性的讨论. 1°f[g(x)门处处连续，但g[f(x)]却在某点处不连续. 例f(x)=sgnx, g(x)=1+x2 f[g(x)]≡1处处连续，但 g[f(x)]= /2,x≠0 1,x=0 在x=0点不连续. 2°g[f(x]处处连续，但f[g(x)]在某些点处不连续. 例f(x)=sgnx, g(x)=x(1-x2) g[f(x)]三0处处连续. .当x<-1或0<x<1时g(x)>0,而当一1<x<0或 x>1时g(x)<0,故 1,x<-1或0<x<1 f[g(x)]=0,x=-1,0,1 {-1,-1<x<0或x>1 在点x=-1,0,1处不连续， 3°f[g(x)],g[f(x)]均处处连续. 例f(x)=sgnx, g(x)=1+x-[x] f[g(x)]=g[f(x)]=1处处连续. 2.19y=f(u),u∈(-o∞，+∞)，u=g(x),x∈(-o∞， +∞)其复合函数y=f儿g(x)]处处连续，并适合： limf(u)=c,limg(x)=b,但limf[g(x)]≠c. 27
0,u≠0 例f(u)= 1,u=0, g(x)=0,x∈(-∞，十∞) 则有limf(u)=0,对一切x都有f[g(x)]≡1， .'.limf[g(r)]=0limf(a). 2.20若f(x)在-个区间I上连续，f(x)在I上不 恒为常数，则f(x)在1上的函数值域构成一个区间. 此定理的条件是缺一不可的. 1若∫（x)在区间I上不连续，则结论不一定成立. 例f()=/1, x为有理数 -1,x为无理数 在（一∞，十∞）上不连续，显然函数值不构成区间. 2若f(x)在区间1上恒为常数，则结论不一定成立. 例f(x)三c,显然函数值不构成区间. ,2:21若f(x)在闭区间[a,b们上连续，则f(x)在 [a,b]上有界. 但若[a,b]改为非闭区间I,或f(x)在[a,b]上不 连续，则结论不-…定成立、 1若1为实数的一个无界区间. 例f(x)=x,x∈（-∞，十∞) 显然f(x)在（一∞，十∞）上无界. 2°若1为实数-个有界非闭区间. 例fa)=子，ze(o,1) 显然f(x)在(0,1)内连续，但在(0,1)上无界. 3°f(x)在[a,b]上不连续. 28