它的定义域是(-∞，1)和(1，+∞) x313 于8>0，在(1一8,1)和(1,1+8)内f(x)有界.但f(x)在其定 义域内有： f)-号=r+z+1(红≠1) 它的图形是一条抛物线，但除去x=1,可见在(-∞，1)和(1， +∞)内是无界的， 1.60设limf(x)=A,limg(x)=B,但不-一定有：limg 0 [f(x)]=B. 例f(x)= ,x=是（其中p和q互质） q 9 0,x为无理数 1,x≠0 g(x)= 0,x=0 limf(x)=0,limg(x)=1,但极限 xr◆0 x*0 limg[f(x)] 却不存在.事实上，当x以一串无理数列x趋近于零时，有 f(x)=0,因此g[f(xn)]=0(n=1,2,…);而当x以一串有 理数列x,趋近于零时，f(x。)≠0，因此，g[f(x)]=1(n=1, 2,…).由此可知，当x→0时，极限 limg[f(x)] r0 不存在。 19
第二章连续函数 §1函数的连续性 本节根据连续函数的概念，闭区间上连续函数的性质等 举出相关的反例。 定义函数f(x)在x点的邻域内有定义.如果函数 f(x)在x。点的极限存在，并且极限值就是函数值，即 limf(x)=f(xo) 则称f(x)在xo点连续. 2.1函数在x。点连续的定义中，三个条件是缺一不可 的. I若f(x)在x点没定义，則f(x)在x0点不连续， 侧f)-子 在x=1处没定义，如图2.1知， f(x)在x=1处不连续. 2°若f(x)在x。点的极限不 图2.1 存在，则f(x)在xo点不连续 20
f(x)= 例 {1,x>0 0x≤0 limf(x)=lim！ 二+心，如图2.2 *0 知f(x)在x=0处不连续： 图2.2 3°若f(x)在x点的极限值不等于函数值，则f(x)在 x0点不连续 {x2,x≠0 例f(c)= 1,x=0 limf(x)=0≠f(0)=1,如图 →X 0 2.3知f(x)在x=0处不连续. 图2.3 2.2处处不连续，但其绝对值却处处连续的函数. 例f)-{,” 一1，当x为有理数 当x为无理数 此函数处处不连续，但f(x）}一1却处处连续， 注意：此例还说明：处处不连续，而平方后却处处连续、 2.3仅在·点连续的函数 例∫）=，当x为有理数 一x,当x为无理数 它仅在x=0点连续， 2.4仅在xo=m(m为整数)处连续的函数. sinπx,当x为有理数 例f(x)= 0， 当x为无理数 21
它仅在xo=m(m为整数)处连续。事实上，当xo≠m时，在 xo点的右侧取有理数列{pa}及无理数列{qa},使limp.=xo, limg.=xo,于是 f(pa)=sinxp.→sinπxo≠0 f (qn)=0 .limf(x)不存在，因此xo≠m是f(x)的第二类间断点. *0 当xo=m时，对Ve>0,36=是，使得当z一xo<8时， 有 If (x)-f (zo)=f (x)Isinnal =sinxz-sinmxoxx-xo<e 'xo兰m是f(x)的连续点. 2.5 仅在。=是（如=1,2，…）处间断的函数. 1,当x=1 1 例f(x)= ，当≤<1 日，当<<n 此函数只在是m=1,2,…)处闻断. 26以0，士1，士2，土分，士3，土号，，士，士 吕，…为无穷间断友的西数。 例f(x）=ctg*xl+ctg| 22
2.7仅在 (m为非零整数)处连续的函数. 例f(x) in,当x为有理数 0,当x为无理数 2.8仅在0， 1 (m=士1，士2…)处间断的函数. m 例f(x)=[1] 工=0是f(x)的第二类间断点；x=1是f(x)的第一类间 断点，其余点皆为连续点。 2.9在每个无理点连续，而在每个有理点间断的函数， 例黎曼函数： R (z) 日当x= (m,n为互素整数)，n>0 0,当x为无理数 在无理点连续，而在有理点间断.事实上，不妨仅就区间 [0,】讨论.任取有理数五=，=受≠0，则R）-日 ≠0；取无理点列d。→ro,n=1,2,,有R(dn)=0,1im R(）=0≠。=R(),R()于=rw不连续.由 的任意性知R(x)于有理点不连续. 任取无理点x1∈[0,1]，只需证明R(x)于x1连续即 可，依定义，只需Ve>0,找8>0，当|x一x1|<6时，有 |R(x)-R(x1)|<e 成立即可， 若x为无理数，结论显然成立 23