t(cD,x∈0,1] 例f(x)=,1 它在x=0,1间断，f(x)在[0,1]是无界的. 2.22若f(x)在闭区间[a,b]上连续、则f(x)在 [a,b]上取得最大值、最小值. 但若La,b]改为非闭区间I,或f(x)在[a,b】上不 连续，侧结论不一定成立. 1°若i为无界区间， 例∫(x)二x,x∈(-，+∞) f(x)在(-心，十∞)上连续，但显然在（-…∞，∞)上 没有最大值及最小值. 2若I为有界非闭区间.。 例f(x)=子，e0,) 显然∫(x)在(0,1)内连续，但没有最大值及最小值 3°若f(x)在[a,b]上不连续 例f=e主，[-1,1】且0 {1,2=0 f(x)在x≠0的点处处连续，面在x=0的点有 lime￥=0，lime立=+oo x+0 ∴.f(x)在=0点不连续，显然这个函数在[-1,1]上没有 最大值、 2.23若f(x)在[a,b]上连续，则对于f(a)与f(b)之间 的任意值u,在[a,b]上至少有一点，使得f()=u. 但若[a,b]改为开区间(a,b),或f(x)在[a,b]上不连续， 则结论不…定成立 1°若f(x)在开区间(a,b)内连续， 29
x,1<x<2 例f(x)=0,x=1 4,x=2 在(1,2)上连续，但对于f（1)=0,f(2)=4之间的值 等在1,2》上都没有点使得了()=3或了（付）=号 3, 2°f(x)在闭区间[a,b]上不连续. 例上例 2.24设f(x)在[a,b]上有定义，在(a,b)内连 续，并且f(a)·f(b)<0,但不一定存在∈(a,)使得 f()=0. 前fa-巴. 0<x≤1 它在[0,1]上有定义，在(0,1)内连续，并且f(0)· f(1)=一1<0，但不存在∈(0,1)，使得f()=0. 2.25若f(x)在[a,+∞)上连续，并且limf(x)存在， 则f(x)在[a,十o∞)上有界，但f(x)在(a,十∞)上却没有最 值. 朗f)=子，xe1,+o) 它在[1，+oo)上连续，并且imf(x)=0,但f(x)在 (1,十o∞)上达不到最大值1，也达不到最小值0. 2.26以一个任煮的非闭区间1为定义域的连续的有界 函教，但没有极值. 1若1为无界区间. 例f)=车1 则f(x)在I上没有极大值. 30
若令f(x)=（-1)x x2十1’ x∈】 璡f(x)在I上既没有极大值也没有极小值、 2°若1是有界非闭区间， 例f(x)=-x-cl,x∈I 其中c是I的一个聚点，但cEI,f(x)在】上没有极大值， 若令f(x)=(-1)[白](L-{x-c) 其中L是某个包含I的区间长度，∫(x)在】上既没有极大 值也没有极小值。 2.27以任意可数集（也可以是稠密集）的点为间断点 的单调函数 例若1是任一非空可数实数集a1,a2,…,取正项级 数∑P。,其项数是有限的，或者项数无穷但级数收敛于和P (级数是有限级数当且仅当【是有限集，并且项数与I的元素 相同)若I是有下界的，当x小于I的每个点时，取f(x)= 0,在其它点，若am≤x,就规定f(x)为∑p.中所有的P 项之和.这样的f(x)在实数集R上是递增函数，在I以外 的每个点上是连续的，而每个a有跳跃P.的间断点（即 lim f (x)-lim f (x)=p.). s-an 注意：这个例子说明了单调函数的间断性所能达到的最 大限额：任何单调函数的间断点的集合是可数集，若没有单 调性，间断点的集合可能是整个定义域， 2.28函数的连续点集是稠密集，间断点集也是稠密集， 并且间断点都是不可去的. 例在上例中取I为全体有理数集Q即可. 31
2.29在任意给定的闭区间上间断的函数. 例设I=[a,b],规定另一闭区间1为：x∈11当且仅 当x=a或b或x∈I的内部点∩Q,定义函数f: f()=1,x∈ 0,xE1 若xo∈I,则∫(x)在x点间断。事实上，设I的内部点的 集合为，若xo=a或b则f(x)=1,此时xo是R一I的一 个豪点，面f(x)在R一】上恒等于零；如果x∈I∩Q,则 f(x)=1,此时x0是。一Q的一个聚点，而f(x)在1。一 Q上也等于零，如果xo∈1。一Q,则f(xo)=0,此时xo 是∩Q的一个聚点，面f(x)在∩Q上恒等于1，函数 f(x)在R一I上连续，R一I为开区间∫(x)在其上又取 常收值。 2.30在任意可数个闭区间之并集上间断的函数。 例设1=1UI2U,其中，z,…都是闭区间，且1. C1+1,n=1,2,…,设L=(空集)，规定不相交集J。, n=1,2,… x∈J当且仅当x∈(1一-1)一[(1一.-1)的内点] 或x∈(I.一I.-1)的内点∩Q 定头f 田= (0,xEJ1UJ2U… 若xo∈I,则f(x)在xo点间断.事实上，如果xo∈(I.一 L-）-[4.-1-)的内点]，则了)-，此时是 32
某区间的聚点，而∫(x)在该区间上的值与2”至少差： 如果x∈(1，-1-)的内点nQ.则f(红，）=是，此时x 是(I。一I。1)的内点∩Q的聚点，而f(x)在该区间上间 等于零；如果xo∈(1。一.1)的内点-Q,则f(xo》=0,此 时x。是(1。一In-1)的内点∩Q的-一个聚点，而f(x)在该 区间上恒等于2.若zx∈1，则f(x)在x点连续：Ye>0, 找N,使得<e;再选取的一个邻域，其中没有1，2， 的点，在这样的邻域内，就有 f(x)<<e. 2.31无处单调的连续函数、 f)=2)=型 例 4- ,x∈R 其中 Iz≤2 f(x+n),其它 f。(x)=4-n+1f1(4-1x),n=2,3,… if。(z)1≤7·4a+1,依Weierstrass M-一判别法，这个 级数在R上一致收敛，.f(x)处处连续。在任何形如a= k·4"的点，其中k为整数，m是正整数，当n>m时就有 f。(a)=0,从而 f(a)=f1(a)+f2(a)+…十fm(a) 对任何正整数m,设hm=4~m-J,于是，当n>2m十1时， fr(a+hm)=0,.. 33