全体有理数的集合. 全体实数的集合. 1.44含上确界，但不含下确界的数集. 例E=(0,1] supE=1∈E,而infE=0EE 注意：所有的左开右闭区间(a,b]都满足1.44. 1.45含下确界，但不含上确界的数集， 例所有的左闭右开区间[a,b) 1.46即含上确界又舍下确界的数集。 例所有的闭区间[a,b] 1.47既不含上确界又不含下确界的数集， 例所有的开区间(a,b). 1.48以已知数a1,a2ap为聚点的数集。 显然以a1,a2,,ap为聚点. 1.49以已知数列a1aa,…,aa…的各项为聚点的数集. 解E=a十2+a+号+号a+专，a+ 子+a+a+子，a+日a+a十日…y E以a1,a2,…,a.,…为豪点 1.50以任意实数为豪点的数集， 例按下面的“对角线法则”来构追一数列，使每一元素 后面跟一个对应的负数，排列顺序如下图所示. 14
a1=1a2=-1,a= 204=- 2as=2,a6=-2, 2 1 a30g=—3a82a0=二号，an3a2 3 4,015= 3,a16=- 3 3017 2’ a18=- 2,06=4,a20=-4, 此数列以每个实数为其聚点， 1.51设E为非空实数集，且B=supE存在.若BEE,则 存在E中一个严格上升数列{a.}使an→B(n→o).但若B∈ E,结论不一定成立。 例E{-1,-2,0,3,4,5,8}》 supE=8∈E,但不存在E的一个严格上升数列{an}使得 am→8(n→∞). 1.52闭区间套定理：设[an,bn](a=1,2,…)是一串逐 个包含的闭区间，即对于任意n,都有 am≤an+1<bnt1≤b。 或记为[an,bn]D[an+1,ba+1],又当n→∞时，区间[an,ba]的长 度b.一a。→0(n→oo),则必存在唯一点c,它属于所有这些闭 区间，即 a.≤c≤b。(n=1,2,…) 此定理的条件是缺一不可的. 15
1°若将闭区间列[aa,b.]改为开区间列(a,b.),结论不 真. 例a4）=(0,})a=12,… 对任意实数cE(0,),即不存在c属于所有的开区间。 2°若去掉条件[a1,b:]口[a2,b2]D…,结论不真， 例闭区间列。n十]n=12… 不满足[a1,b1]D[a2,b2]D…,显然找不到一点c属于所有的 闭区间. 3若去掉条件lim(b.一am)=0,结论不真 -ne 例a6]=[日日+1a=1,2 此区间列满足[an+1,b+1]C[aa,b.],但 lim(b.-an)=1≠0 显然在[a.,bm]中存在无穷多个点. 定义若区间I内任意点x,开区间集S中至少存在一 个开区间△，使x∈△，则称开区间集S覆盖了区间1. 1.53有限覆盖定理：若开区间集S覆盖了闭区间[a、 b],则S中存在有限个开区间也覆盖了闭区间[a,b]. 1若S不是开区间集，则结论不一定成立。 例s={n2n+n=12…012 它覆盖区间[0,2]，但在E中找不到有限个区间覆盖[0,2]. 2若将闭区间[a,b]改为非闭区间，则结论不一定成立. 16
例s={n)n=l2,… 它覆盖开区间(0,1)，但S中任意有限个开区间都不能覆盖廾 区间(0,1) §4函数的极限 我们已经讨论了数列极限中的反例.面数列是一种特味 的函数，当函数的自变量x→十○时，这实质和数列极限的意 思是一样的，只不过在数列的极限中，自变量n只取正整数· 取极限时它离散地增大，而自变量x可取任意实数，取极限 时，它连续地增大，而工一心x和x-∝时的极限与x→ 时极限是类似的.因此为了避免重复，这里我们只就*x 函数的极限举出相关的反例. 定义设断数f(x)在c。点的去心邻域内有定义.·舞 存在常数A,对于>0,3>0，当0<x-xa<6时，有 if(r)-< 成立，则称函数∫(x)当x→x。时存在极限，极限是A,记为 limf(x)=A或f(x)→A(z-*x) 1.54在此定义中，要求函数f(x)在x点的去心邻域 内有定义·说明函数f(x)在x点的极限与(x)在z的情况 无关。f(x)在xn点没定义，但f(x)在x点的极限仍可能 在。 例函数f(x)=x-4 x--2 17
在x=2减殺定义，但吗-码女+2》=4. 1.55两个函数的极限都不存在，但它们的和可能存在. 例fx)=子gx)=-是 当x→0时，f(x)和g(x)的极限都不存在，但 lim(f(x)+g(z))=0 +0 1.56函数f(x)在x。点的任何领域内是无界的，但当x →xo时不成为无穷大. 例f)=士cos是 在x=0的任何领域内是无界的，但当x→0时不成为无穷 大. 1.57设f(x)>0恒成立，但在某一点xo处有limf(x) =0. 例fx)=2e片 ∫(x)>0恒成立，但在x=0处有： 吗c)=et3-m是 y-告 =0. ecoey 1.58在任何点的极限都不存在的函数. 例D(x)= 1,当x为有理数 0,当x为无理数 1.59若1imf(x)=A,则存在8>0，使得f(x)在区间 (x一8，x0)和(xo,xo+8)内有界，即f(x)在0<lx一x<6 所表示的区间内有界.但(x)在整个定义域内不一定有界。， 例f(x)=x-1 x-1 18