1im1=:mn十1=l,但lima不存在. n-oc an n·n -ca 1.29 若数列{a,}收敛，则算术平均值的数列1(a 十a2十十an)(n=1,2,…)也收敛，且 lim8+a+…+a=lima, n-+oo 但反之不真 例 {an}={(-1)n+1} (0,n为偶数 则 n= 后n为奇数 是收敛的，但{a.}发散、 1.30数列收敛的柯西准则：数列{a.}收敛的充要条件 是Ve>0,3N,当n>N及切p=1,2,…,都有 lantp-an<E (A) 1°条件(A)能否用下面的条件(B)所代替？ Ve>0,对yp=1,2…,3N,当n>N时，有 an+p-an<e (B) 条件(A)中的N=N(e)与p无关，(B)中的N= N(e,p)依赖于p,显然若满足条件(A),则必满足条件(B),但 反之不真 例a=1+2十号+…+日 固定自然数p,要使 laa+p-a÷n1 只要n>-1,取N(e,p)=[-1],当n>N(ep), 9
lan+p-an<e ∴.{an}满足条件(B). 但不论n多么大，取p=n,则 a+p-aa=1+1 n+1十n+2++n1 n+p 11 n+1n+2 n十n ∴.条件(A)不满足.因此条件(B)较条件(A)要弱，不能作为 数列收敛的充分必要条件，这里我们举出的数列{a.}虽然满 是条件(B)但不收敛. 2若条件(A)改为：Ve>0,3N,当n>N时，a+1-a.} Kt 则数列|a.不一定收敛。 例=1+合+…+日 对ye>0,3N=[1],当n>N时， lasi-a.l-11<1<t n+1n 但ima.不存在. 1.31已知{aa}收敛，{6.}=n(a.一aa-1),但{6.}不一定 收敛于∞. 例a}=日) limas-=liman-1=0,而 limb.=limn(a。-aa-i) n●o。 n+00 10
1◆0 n -1 an-10 lim 1.32若存在数c,使得 }a2-a1+a3-a21+…+lan-aa-1<c(n=l,2,…） 称数列{a.}具有有界变差. 凡具有有界变差的数列都收敛，但收敛数列不一定有相 界变差。 例a=1-合分合日…叫 它是以零为极限的收敛数列，但它没有有界变差.事实上， laz-ail+la3-az|+.*+lan-an-1l >a2-a1+a4-a3+…+a2a-a2n-1 =21+2+3+…+日) 2 而1+名+言++吕十o0,于是 a2-a1+a3-a2}+…+an-am-1 是无界的，因此收敛数列{an}没有有界变差. §3聚点和确界 本节主要围绕聚点、确界的概念，极限、聚点、确界三者的 关系，以及闭区间套定理和有限覆盖定理举出相关的反例。 点集的聚点：设E是一个点集，xo是一个定点，若对于 H8>0,在x的领域(x0一8，xo+8)中都有属于E而且异于 x。的点，则称xo为E的聚点. 11
数列的聚点：设已知数列{a.}有子列 an1an2’,a4,,… 适合 lima,= 则称5（或∞）为已知数列{a}的聚点. 上确界：设给定一数集E.若存在一个数B,适合下面两个 安件 然开： 1E中的一切数x≤， 2对于Ve>0,至少存在一个数xo∈E,使x>一e. 则B叫做E的上确界，记为=supE 下确界：设给定一数集E,若存在一个数α，适合下面两 个条件： 1中的一切数x≥a, 2球对于Ve>0,至少存在一个数x∈E,使xo<a十e. 则a叫做E的下确界，记为a=nfE. 1.33任何有界无穷数列都有聚点，但有聚点的数列不 一定有界。 例{a.}={n-w'} {a}的豪点为0，但它是上方无界的. :1.4任何有界无穷数列都有聚点，但无界无穷数列不 一定有聚点。 例{a.}={(-1)n} {a。}是无界的，结果导致它没有聚点. 1.35有极限的数列不一定有聚点， 12
例常数列{a} 它的极限为a,但没有聚点. 1.36只有一个聚点的数列，不-定有极限， 例{a.}={n-1)) 它只有一个聚点0，但它没有极限. 1.37没有有限聚点的数列. 例{a.}={n} 1.38聚点不一定为上、下确界， 例数集E={(0,1)内的有理数》 闭区间[0,1]上的点都是它的聚点，E的上、下确界分别为1、 0,显然(0,1)内的聚点都不是上、下确界. 1.39上、下确界不一定为聚点. 例数集E={一1,0,1} E的上、下确界分别为1，一1，但它没有聚点. 1.40数列的极限不-一定为上、下确界. 例E=2, o)=0,但supE=,inE=-1. 1.41有上确界没有下确界的数集. 例E={-1,-2,-3,…}》 supE=一1，但E没有下确界. 1.42有下确界没有上确界的数集. 例E={1,2,3,…} infE=l,但E没有上确界. 1.43即没有上确界也没有下确界的数集， 例全体整数的集合. 13