则|a.-a=l十马，当n越大时，la.-a越来越向零幕找但 ≥1，因此a。不以1为极限. 3若ye>0,3N,当n>N时，总有无穷多个aa,满足|aa -a<e,则lima.=a. ( 1,n为偶数 例 日a为奇数 则对任意的N,有无穷多个n=2m十1，m=1,2,…,使1a.|= lo=hl=如方<ca>是腹N=[]》,但也有无穷多个n 怎2mm=12,,使1a-1=<ca>是，取N=[是D, 因此{a.}没有极限、 4YN>0,3e>0,使当n>N时，总有|an一a}<e 朝，=-1，为裔数 11,n为偶数 显然(a,}没有极限，否则取=是，当n为侧数时，有 1-e<a<1十e, 即 B<K号 (1) 但当n为奇数时，有 -1-e<a<-1十e, 即 -是<<- (2) (1)式与(2)式矛盾、.、 另一方面，取a=0,对任意自然数N,取e=2,总有 la.-al=l土1-0l<2
因此{a.}满足4°中的要求。 1.10用下面的说法来定义{a.}不是无穷小都是错误 的. 1Ye>0,3N,使当n>N时，总有lan|>e. 例合克合2…， 它既不是无穷小，也不满足1°，因为取e=1即可. 我们知道，这实际上是无穷大的定义， 2ye>0,找不到N,使当n>N时，总有an{<e 例1,2,1,2，…， 取e=3时，就不满足2°，显然它不是无穷小. 3Ve>0,3N,使当n>N时，总有an-b|<e,其中b≠ 0. 例0，b,0,b,…, 取=名，显然不清足3，它不是无穷小 4VN>0,3eo>0及n1>N,使am>eo 例4，=，lim1=0,但也满足4，：YN>0,取，= N中则取a,=N十1，就满足： 1 a,=N+i≥t,=N中 53e>0,及N>0,使当n>N时，总有anI≥eo 例11.2日3写… 找不到具有上述性质的>0，且它也不是无穷小. 63ec>0,使对HN,当n>N时，总有an≥e. 这是上述5°的特殊情况，上面的例子已经说明了问题. 5
1.11若{aa}与{b.}均发散，但{a.+b.}不一定发散。 例{aa}={(-1)},{b}={(一1+ 它们均发散，但{a.十b}={0},即{a十是数敛的. 1.12若{a}与{化}均擒t盘a4不一定发散. 例a=中福*少 显然它们均发散，但和是蠢a。·b.}是收敛的. 1.13若{aa}与有薄触，员一个发散，则{a· }的敛散性不定. 例1a}=(n},6.(连 显然a}发散，而6.)收敛，彩德收敛的。 2{a}={n2},{a}=(1) {a}发敢，而{亿}收敛，这时(a。·b}={n}发散. 1.14无穷小乘任意数列不一定为无穷小， 例《a}=合》，伍=a) {a}为无穷小，lim6=o,但1imaa·b=1. 1.15无穷大乘任意数列不一定为无穷大. 侧a}=a,6}=日) 1.16若a>b.(n=1,2,…),但不一定有 limaa>ima,(假设极限都存在) 。。 例a=名6=是(a=12,…) n aa>b.(n=1,2,…),但liman=limb.=0 1.17若lima.=a,则lima.|=lal.但反之不真， 6
例{an}=(-1)} lim a|=1,但lima不存在 1.18无穷多个无穷小之和不一定为无穷小. 例 1 1 Vn2+iVn2+2Vn2+3’… 它们都是无穷小，但 lim 1 1 mNn+√n+2+…+√n+n =1 因此不是无穷小 1.19两个数列都不是无穷小，而它们的积却可能是无 穷小. 例{an}=1,0,1,0,…} {bn}={0,1.0,1…} 它们都是发散的.但{a.·bn》={0,0,…}却是无穷小. 1.20两个数列都不是无穷大，而它们的积却可能是无 穷大 例{an}={1,1,3,1,5,1,7,1,…} {bn}={1,2,1,4,1,6,1,8,…} 显然它们都不是无穷大，但{ab.}={1,2,3,…}却是无穷大. 1.21有界数列乘无穷小不一定为无穷小. 例{an}=1,0,1,0,…} a=安…， 《a是有界数列，6}是无穷小，但a·6}=10,号，0，号， …}不是无穷小 1.22有界数列乘无穷大不一定为无穷大. 2
例{aa}={1,0,1,0,…》 {bn}={1,2,3,4…} {an}是有界数列，{bn}是无穷大，但{ab}={1,0,3,0,5,…} 不是无穷大 1.23收敛数列必有界.但反之不真， 例{aa}={(-1)} 显然{a.}是有界的，但lima不存在. 1.24无穷大量必无界.但反之不真. 例{aa}={n-)) {aa}是无界的，但limn-》≠oo. 1.25有界数列必有收敛的子数列.但无界数列不一定 有收敛的子数列。 例：{aa}={(-1)n} 显然{}是无界的，它没有收敛的子数列. 1.26趋向正无穷大的数列必上方无界.但反之不真. 例{aa}={n-) {an}上方无界，但limas.不存在。 1.27'若1ima.b.=0,但不一定有1ia。=0或1imb.=0. 例a}=+21D,a.}=-（21D) 2 2 则有limaba=0,但lima.,limb.都不存在. 1.28若ima.=11≠0的常数)，则1im22+1=1.但反之 n-co an 不真 例{aa}={n} 8