目 录 第一章函数与极限… (1) §1函数 (1) §2数列极限 (3) S3聚点与确界… (11) §4函数的极限… (17) 第二章连续函数 (20) S1函数的连续性…… (20) S2函数的一致连续性……… (35) 第三章一元函数的微分学…… (41) 第四章一元函数的积分学 (63) 第五章无穷级数… (72) S1数项级数…… (72) S2函数列的一致收敛性…… (87) S3函数项级数……… 107) §4幂级数与富里叶级数 (120) 第六章多元函数微分学… (133) §】平面点集… (133). §2二元函数的极限与连续 000… (137) 1
§3二元函数的微分 (143) §4二元函数的极值…… (153) 第七章广义积分与含参变量积分… (176) S1无穷积分 (176) §2瑕积分 (179) §3含参变量的广义积分 (181) 第八章二置积分……… (197) 。 2
第一章 函数与极限 函数是数学的核心，它是数学分析研究的对象，而数学分 析研究函数的方法是极限，数学分析中几乎所有的概念都离 不开极限.因此，函数与极限的概念是数学分析的重要概念. 本章根据所选反例，将其内容分为以下四节： §1函数 §2数列极限 §3聚点和确界 §4函数的极限 §1函数 本节主要围绕函数的有界性，单调性，周期性，奇偶性举 出相关的反例. 1.1函数f(x)在区间(n,b)内处处有定义，但在(a,b) 内不--定有界， f(x)=是在(0,1)内处处有定义，但在01)片无 界. 1.2 处处有限而却处处局部无界的函数 例函数f(x)= n,-丹(m,n为互素整数)n>0 {0,x为无理数 1
在任意点x。处有限，而在x。点附近是无界的.事实上，若 f(x)在n点的邻域U(xo,e)内有界，则U(xe)内全体的 分母n有界，从而m也有界，则在U(xo,e)内有有限个有理 点，这是不可能的. 1.3任何严格单调函数必有反函数，但单调函数不一定 有反函数. |x,0≤x≤1 例函数f(x)= 1,1<x≤2 在[0,2]上单调增，而非严格单调增，此函数没有反函数. 1.4非单调函数却有单值的反函数。 x,为有理数 例函数f(x)=一工，为无理数 在区间（一∞，∞）上不单调，但它为单值的，其反函数为此函 数本身. 1.5,并非任意函数都有最小正周期. 例狄利克雷函数： D(x)= 1,x为有理数 0,x为无理数 它的周期为全体有理数，因而没有最小正周期. 1.6复合函数f[g(x)]的定义域不一定为g(x)的定义 域 例f(u)=√1一u,u=x f(a)的定义域为（一∞，1]，而=g(x)的定义域为（一∞，+ o). 1.7若函数f[u(x)]的定义域为（一o∞，十∞），u(x)为 偶函数，则f[u(x)]必为偶菌数.但若4(x)为奇函数，f[u 2
(x)]不一定为奇函数. 例f(u)=cosu,u=sinx f(u)的定义域为(-∞，十∞)，u(x)为奇函数，但f[u(x)]= cossinx为偶函数. 1.8并非任意两个函数都是可以复合的. 例f(x)=sinx,g(x)=lnx .f(x)的值域为[一1,1]，g(x)的定义域为(0，+o∞)，[-1， 1]中(0，+∞)，.f(x)与g(x)不能复合 §2数列的极限 本节围绕数列极限的定义，无穷小与无穷大的概念，数列 收敛的柯西准则等举出相关的反例. 定义如果对于Ve>0,3N,使得当n>N时，恒有}an一 a<e成立，则称数列{a.}以a为极限，记为lima=a,或a。→ a(n→∞) 若a=0,则称数列{a.}为无穷小. 1.9 关于极限的定义首先说明下列的几种说法是错误 的. 1°当n越大时，an一越小，则liman=a. 例a。=一n,a=0 则n越大时，an一a=一n越小，但{一n}无极限. 2°当n越大时，{a.一a越来越向零靠拢，则iman=a. 例a=2+日a=1 3