NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 若VE>0,彐X>0,当x>X 例1.证明lima=0, (或x<x-X)时,有(x)aKE x→+ 则记limf( X)=a 其中0<a<1. 证:V0<E<1,要使ax-0=a<E 须x>lo 取X=logE 则当x>时有|a2-0kE x→>+ 故 lim a=0.看图 x→)+0 高等歐學
例1. 证明 lim = 0, →+ x x a 其中 0<a<1. 证: 0 < < 1, 要使|a x−0 |=a x<. log , a x , | −0 | x 则当x X时 有 a lim = 0. →+ x x 故 a 看图. y=ax 1 y 0 x • x x y 只须 =| log | 0, 取X a x → + f x a x = →+ 则记 lim ( ) 若 >0, X >0, 当x>X (或x<−X) 时, 有|f (x)−a |<
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 定义2.设f(x)在(-0,-M(M,+∞)内有定义 若∨E>0,3X>0,当x>时,相应的函 数值满足 f(rake 则称a为f(x)当x->∞时的极限,记作 imf(x)=a或∫(x)→>a,(x→>∞) 由定义1,2可知 lim f (x=a e lim f (x)=lim f(x=a x→00 OD 高等數粤
定义2. 设f (x)在(−, −M) (M, +)内有定义. 若 >0, X >0, 当|x|>X时, 相应的函 数值满足 | f (x) −a |< 则称a为 f (x)当x→时的极限, lim ( ) = ( ) → ,( → ) → f x a f x a x x 或 由定义1, 2可知 f x a f x f x a x x x = = = → →+ →− lim ( ) lim ( ) lim ( ) 记作
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG limf(x)=a的几何意义 1. lim f(x=a x→)+∞ 直观地,limf(x)=a表示当自变量x无限 增大时,曲线y=f(x)上的对应点的纵坐标f(x)会 无限接近于数a 从而曲线y=f(∞x)会越来越贴近直线y=a 即,当x无限增大时,曲线y=f(x)以直线y=a为 渐近线 OD 高等數粤
lim f (x) a的几何意义. x = → f x a x = →+ 1. lim ( ) 直观地, 表示当自变量 x 无限 增大时, 曲线 y = f (x)上的对应点的纵坐标f (x)会 无限接近于数a. f x a x = →+ lim ( ) 从而曲线 y = f (x)会越来越贴近直线 y=a . 即, 当x无限增大时, 曲线 y = f (x)以直线 y=a为 渐近线
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 如图 y=f(r) 按极限定义,lmf(x)=a就是vE>0,3X>0,当x>X时, 有|f(x)-akE.即a-E<f(x)<a+E OD 高等數粤
如图 a x yo | ( ) | . , lim ( ) 0, 0 , − = →+ f x a f x a X x X x 有 按极限定义 就是 ，当 时 即,a − f (x) a + . y = f (x )
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 因此,1imf(x)=a的几何意义是 x→>+∞ 任作直线y=atE(v8>0),都存在X>0.当 x>X时,函数y=f(x)的图形夹在这两直线之间 如图 y=f(r) a-8 X X OD 高等數粤
因此 f x a的几何意义是 x = →+ , lim ( ) 任作直线 y = a. ( > 0), 都存在X > 0. 当 x > X 时, 函数 y = f (x)的图形夹在这两直线之间. 如图 a x y o a+ a− X y = f (x)