海南大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第五章 矩阵的特征值与特征向量

2.特征值与特征向量的求法 Ax=九x →（A-九E)x=0或（2E-A)x=0 已知飞≠0，所以齐次线性方程组有非零解 台A-E=0或2E-A=0 定义2：A=(ag)nn’数元 011-兄 12 。 A-AE= L21 022- Ln-入 是关于入的一个多项式，称为矩阵A的特征多项式

2. 特征值与特征向量的求法 Ax x =   − = ( A E x  ) 0 或 (E A x − = ) 0 已知 x  0, 所以齐次线性方程组有非零解  − = A E 0 或 E A − = 0 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a A E a a a     − − − = − 定义2： ( ) , n n ij n n A a   = 数  是关于  的一个多项式，称为矩阵 A的特征多项式

41-元 2 f(2)=A-元E= a21 022- =0 : 2 称为矩阵A的特征方程。 求特征值、特征向量： (1)A-九E=0求出入即为特征值； (2)Ax=九x→（A-九E)x=0 把得到的特征值入代入上式， 求齐次线性方程组(A-2E)x=0的非零解x 即为所求特征向量

( ) 11 12 1 21 22 2 1 2 0 n n n n nn a a a a a a f A E a a a      − − = − = = − 称为矩阵 A 的特征方程。 求特征值、特征向量： (1) 0 A E − =  求出  即为特征值; (2) Ax x =   − = ( A E x  ) 0 把得到的特征值  代入上 式， 求齐次线性方程组 ( A E x − =  ) 0 的非零解 x 即为所求特征向量

-1 例1：求矩阵A= -4 3 0 的特征值和全部特征向量， 1 02 解：第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值 -1-λ 1 |A-E= -4 3-λ 0 =0 1 0 2-2 (2-2)(2-1)2=0 特征值为21=2,22=23=1 第二步：对每个特征值入代入齐次线性方程组 (A-九E)x=0,求非零解

解： 第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值. 例1： 求矩阵 的特征值和全部特征向量. 1 1 0 4 3 0 1 0 2 A   −   = −      A E − =  1 1 0 4 3 0 0 1 0 2    − − − − = − ( )( ) 2 2 1 0 − − =   特征值为 1 2 3    = = = 2, 1 第二步：对每个特征值  代入齐次线性方程组 ( A E x − =  ) 0, 求非零解

当入，=2时，齐次线性方程组为A-2E)x=0 系数矩阵 -31 0 /100 (A-2E)= -410 0 1 0 、10 (0 0 0 自由未知量： 3 0 X1=x2=0令x3=1得基础解系：卫1= ∴.k1P1(k1≠0常数)是对应于21=2的全部特征向量

当 1 = 2 时，齐次线性方程组为 ( A E x − = 2 0 ) 系数矩阵 ( ) 3 1 0 2 4 1 0 1 0 0 A E   −   − = −      1 0 0 0 1 0 000   →         自由未知量: 3 x 1 2 x x = = 0 令 得基础解系: 3 x = 1 1 0 0 1 p     =       1 1 1   k p k( 0 常数)是对应于 1  = 2 的全部特征向量

当22=2=1时，齐次线性方程组为（A-E)x=0 (A-E)= 、1 2000 -210 -42 0 X1=-X3 得基础解系卫2= -2 X2=-2x3 1 ∴.k2P2(k2≠0常数)是对应于人2=23=1的全部特征向量

当   2 3 = = 1 时，齐次线性方程组为 ( A E x − = ) 0 ( ) 2 1 0 4 2 0 1 0 1 A E   −   − = −      1 0 1 0 1 2 0 0 0   →         1 3 2 3 2 x x x x  = −  = −  得基础解系 2 1 2 1 p     = −      2 2 2   k p k( 0 常数)是对应于 2 3   = = 1 的全部特征向量