《高等代数》课程教学资源（教案讲义）第四章 矩阵

第四章矩阵 S1矩阵的概念，$2矩阵的运算 教学目标掌握矩阵的概念、矩阵的运算及运算性质， 教学重点：矩阵的乘法及运算性质，。 教学方法：讲授法. 教学过程 $1矩阵的概念 为了使读者对矩阵的概念以及下面要讨论的问题的背景有些了解，我们来介绍一些提出矩阵概念 的问题. 在解析几何中考虑坐标变换时，如果只考虑坐标系的转轴（反时针方向转轴），那么平面直角坐标变 换的公式为 [x=x'cos0-y'sin0. (1) v=x'sine+ycose 其中0为轴x与X轴的夹角.显然，新旧坐标之间的关系，完全可以通过公式中系数所排成的2×2矩阵 (cos0 -sin0 sine cos 表示出来通常矩阵(2)称为坐标变换(1)的矩阵在空间的情形保持原点不动的仿射坐标系的变换有公 x=ax+ay'+az y=ax'+any'+a= (3) =aux'+any'+an=' 同样，矩阵 a21a2a23 4 就称为坐标变换(3)的矩阵 1。二次曲线的一般方程为 ax2+2bxy+cy+2dx+2ey+f=0 只要规定了x,y,1的次序，二次方程(5)的左端就可以简单地用矩阵

第四章矩阵 §1 矩阵的概念，§2 矩阵的运算 教学目标: 掌握矩阵的概念、矩阵的运算及运算性质. 教学重点: 矩阵的乘法及运算性质. 教学方法: 讲授法. 教学过程: §1 矩阵的概念 为了使读者对矩阵的概念以及下面要讨论的问题的背景有些了解,我们来介绍一些提出矩阵概念 的问题. 在解析几何中考虑坐标变换时,如果只考虑坐标系的转轴(反时针方向转轴),那么平面直角坐标变 换的公式为 cos sin , sin cos , x x y y x y      = −    = +    (1) 其中  为轴 x 与 x  轴的夹角.显然,新旧坐标之间的关系,完全可以通过公式中系数所排成的 2 2  矩阵 cos sin sin cos       −     (2) 表示出来.通常,矩阵(2)称为坐标变换(1)的矩阵.在空间的情形,保持原点不动的仿射坐标系的变换有公 式 11 12 13 21 22 23 31 32 33 , , . x a x a y a z y a x a y a z z a x a y a z  = + +      = + +     = + +     (3) 同样,矩阵 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a           (4) 就称为坐标变换(3)的矩阵. 1. 二次曲线的一般方程为 2 2 ax bxy cy dx ey f + + + + + = 2 2 2 0 (5) 只要规定了 x , y ,1 的次序,二次方程(5)的左端就可以简单地用矩阵

(a b d b ce (6) d e f 来表示，通常，(6)称为二次曲线(5)的矩阵.以后我们会看到，这种表示法不只是形式的事实上，矩阵（⑥）的 行列式就是解析几何中二次曲线的不变量I3,表明了矩阵(6)的性质确实反映了它所表示的二次曲线的 性质。 2.在讨论国民经济的数学问题中也常常用到矩阵例如，假设在某一地区，某一种物资，比如说有s 个产地A,4,A和n个销地B,B,.,Bn,那么一个调运方案就可用一个矩阵 a1a2.an a1a2.am . （a,1a2.am 来表示，其中a,表示由产地A运到销地B,的数量。 4.n维向量也可以看成矩阵的特殊情形.n维行向量就是I×n矩阵，n维列向量就是n×1矩阵。 以后我们用大写的拉丁字母AB.,或者(a,),(他)，.来代表矩阵. 有时候，为了指明所讨论的矩阵的级数，可以把S×n矩阵写成A,Bn.,或者(a,)m,(亿)m,. 设A=(a)m,B=(，)k,如果m=1,n=k,且a,=b,对i=1,2,.,mj=1,2.,n都成立，我们 就说A=B.即只有完全一样的矩阵才叫做相等 S2矩阵的运算 现在我们来定义矩阵的运算，它们可以认为是矩阵之间一些最基本的关系下面要定义的运算是矩 阵的加法、乘法、矩阵与数的乘法以及矩阵的转置 为了确定起见，我们取定一个数域P,以下所讨论的矩阵全是由数域P中的数组成的. 1加法 定义1设 1424m b。 =(a,)m a1a.a (b. 是两个s×n矩阵，则矩阵

a b d b c e d e f           (6) 来表示,通常,(6)称为二次曲线(5)的矩阵.以后我们会看到,这种表示法不只是形式的.事实上,矩阵(6)的 行列式就是解析几何中二次曲线的不变量 3 I ,表明了矩阵(6)的性质确实反映了它所表示的二次曲线的 性质. 2. 在讨论国民经济的数学问题中也常常用到矩阵.例如,假设在某一地区,某一种物资,比如说有 s 个产地 1 2 , , , A A A s 和 n 个销地 1 2 , , , B B B n ,那么一个调运方案就可用一个矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n s s sn a a a a a a a a a             来表示,其中 ij a 表示由产地 Ai 运到销地 Bj 的数量. 4. n 维向量也可以看成矩阵的特殊情形. n 维行向量就是 1n 矩阵, n 维列向量就是 n1 矩阵. 以后我们用大写的拉丁字母 A B, , ,或者 ( ),( ), ij ij a b 来代表矩阵. 有时候,为了指明所讨论的矩阵的级数,可以把 s n 矩阵写成 , , A B sn sn ,或者 ( ) ,( ) , ij sn ij sn a b . 设 ( ) , ( ) , A a B b = = ij mn ij lk ,如果 m l n k = = , ,且 ij ij a b = ,对 i m j n = = 1,2, , ; 1,2 , 都成立,我们 就说 A B= .即只有完全一样的矩阵才叫做相等. §2 矩阵的运算 现在我们来定义矩阵的运算,它们可以认为是矩阵之间一些最基本的关系.下面要定义的运算是矩 阵的加法、乘法、矩阵与数的乘法以及矩阵的转置. 为了确定起见,我们取定一个数域 P ,以下所讨论的矩阵全是由数域 P 中的数组成的. 1.加法 定义 1 设 11 12 1 21 22 2 1 2 ( ) n n ij sn s s sn a a a a a a A a a a a       = =       , 11 12 1 21 22 2 1 2 ( ) n n ij sn s s sn b b b b b b B b b b b       = =       是两个 s n 矩阵,则矩阵

a1+61a2+b2.an+bn C=(Cy)=(ag+by)= 4+aa+b2.an+b2 44.4 a1+b1a2+ba.am+bn】 称为A和B的和，记为C=A+B. 矩阵的加法就是矩阵对应的元素相加当然，相加的矩阵必须要有相同的行数和列数由于矩阵的 加法归结为它们的元素的加法，也就是数的加法所以，不难验证，它有 结合律：A+(B+C)=(A+B)+C: 交换律：A+B=B+A 元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为0，在不致引起含混的时候，可简单地记为0.显然，对所有的 A,4+0=A 矩阵 -a11-a12-a1n -a1-a2.-an 称为矩阵A的负矩阵，记为-A.显然有A+(-4A)=0.矩阵的减法定义为A-B=A+(-B) 例在S1我们看到，某一种物资如果有3个产地，n个销地，那么一个调运方案就可表示为一个 s×n矩阵，矩阵中的元素am表示由产地A要运到销地B,的这种物资的数量，比如说吨数如果从这些 产地还有另一种物资要运到这些销地，那么，这种物资的调运方案也可表示为一个了×矩阵.于是从产 地到销地的总的运输量也表示为一个矩阵显然，这个矩阵就等于上面两个矩阵的和 2蚕法 在给出乘法定义之前，我们先看一个引出矩阵乘法的问题 设x,本，x,x,和片，为是两组变量，它们之间的关系为 x=ay+ay+ay x,=ay+ay +anya 1 =4+a2+a 4=a4y+a42y2+a4y, 又如，52是第三组变量，它们与，为2，片的关系为： [片=b+252 h=b5+b52 为=b51+b252 ()(2)不难得出x,x,x与2，的关系

( ) ( ) C c a b = = + ij sn ij ij sn 11 11 12 12 1 1 21 21 22 22 2 2 1 1 2 2 n n n n s s s s sn sn a b a b a b a b a b a b a b a b a b   + + +   + + +   =       + + + 称为 A 和 B 的和,记为 C A B = + . 矩阵的加法就是矩阵对应的元素相加.当然,相加的矩阵必须要有相同的行数和列数.由于矩阵的 加法归结为它们的元素的加法,也就是数的加法,所以,不难验证,它有 结合律: A B C A B C + + = + + ( ) ( ) ; 交换律: A B B A + = + . 元素全为零的矩阵称为零矩阵,记为 0sn ,在不致引起含混的时候,可简单地记为 0 .显然,对所有的 A , A A + =0 . 矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n s s sn a a a a a a a a a   − − −   − − −         − − − 称为矩阵 A 的负矩阵,记为 −A .显然有 A A + − = ( ) 0. 矩阵的减法定义为 A B A B − = + −( ). 例 在§1 我们看到,某一种物资如果有 s 个产地, n 个销地,那么一个调运方案就可表示为一个 s n 矩阵,矩阵中的元素 ij a 表示由产地 Ai 要运到销地 Bj 的这种物资的数量,比如说吨数.如果从这些 产地还有另一种物资要运到这些销地,那么,这种物资的调运方案也可表示为一个 s n 矩阵.于是从产 地到销地的总的运输量也表示为一个矩阵.显然,这个矩阵就等于上面两个矩阵的和. 2.乘法 在给出乘法定义之前,我们先看一个引出矩阵乘法的问题. 设 1 2 3 4 x x x x , , , 和 1 2 3 y y y , , 是两组变量,它们之间的关系为 1 11 1 12 2 13 3 2 21 1 22 2 23 3 3 31 1 32 2 33 3 4 41 1 42 2 43 3 , , , ,. x a y a y a y x a y a y a y x a y a y a y x a y a y a y  = + +   = + +  = + +    = + + (1) 又如 1 2 z z, 是第三组变量,它们与 1 2 3 y y y , , 的关系为: 1 11 1 12 2 2 21 1 22 2 3 31 1 32 2 , , . y b z b z y b z b z y b z b z  = +   = +   = + (2) 由(1),(2)不难得出 1 2 3 4 x x x x , , , 与 1 2 3 y y y , , 的关系:

-2-2a.24)-22a4 =22a422aAhu=124 (3) 如果我们用 =2c,5=1234 来表示x,2,x,x与三，52的关系，比较(3.(4，就有 6-20A,0=1234=12 用矩阵的表示法，我们可以说，如果矩阵A=(a)43,B=(亿)分别表示变量x,x,x与乃，乃2，》 以及片，乃2，片与1,52之间的关系那么表示，x,x,x与1,52之间的关系的矩阵C=(C,)2 就由公式(5)决定矩阵C称为矩阵A与B的乘积，记为C=AB 一般地我们有 定义2设A=(au)m,B=(亿g)m,那么矩阵C=(C)m,其中 Cy=aobu +apb:,++ab=anby (6 称为A与B的乘积，记为C=AB 例1设 034 10-12 05-14 -121 那么 10-12)034) -56 C=AB=-11-30 121 31-1 =102-6 （05-14-21-270 乘积的矩阵中各个元素是根据公式(6)得出的，例如，第二行第一列的元素10是矩阵A的第二行元 素与矩阵B的第一列对应元素乘积之和：(-1)×0+1×1+3×3+0×(-)=10，其余可类似得到. 例2如果A=(a4)m是一线性方程的系数矩阵，而

3 3 2 1 1 1 ( ) i ik k ik kj j k k j x a y a b z = = = = =    3 2 1 1 ik kj j k j a b z = = = 2 3 1 1 ik kj j j k a b z = = = 2 3 1 1 ( ) ( 1,2,3,4). ik kj j j k a b z i = = = =   (3) 如果我们用 2 1 ( 1,2,3,4). i ij j j x c z i = = =  (4) 来表示 1 2 3 4 x x x x , , , 与 1 2 z z, 的关系,比较(3),(4),就有 3 1 ( 1,2,3,4; 1,2). ij ik kj k c a b i j = = = =  (5) 用矩阵的表示法,我们可以说,如果矩阵 43 32 ( ) , ( ) A a B b = = ik kj 分别表示变量 1 2 3 4 x x x x , , , 与 1 2 3 y y y , , 以及 1 2 3 y y y , , 与 1 2 z z, 之间的关系,那么表示 1 2 3 4 x x x x , , , 与 1 2 z z, 之间的关系的矩阵 42 ( ) C c = ij 就由公式(5)决定.矩阵 C 称为矩阵 A 与 B 的乘积,记为 C AB = . 一般地我们有 定义 2 设 ( ) , ( ) , A a B b = = ik sn kj nm 那么矩阵 ( ) , C c = ij sm 其中 1 1 2 2 1 , n ij i j i j in nj ik kj k c a b a b a b a b = = + + + =  (6) 称为 A 与 B 的乘积,记为 C AB = . 例 1 设 1 0 1 2 1 1 3 0 0 5 1 4 A   −   = − −       − 0 3 4 1 2 1 , 3 1 1 1 2 1 B       =   −     − , 那么 C AB = 1 0 1 2 1 1 3 0 0 5 1 4   −   = − −       − 0 3 4 1 2 1 3 1 1 1 2 1         −     − 5 6 7 10 2 6 2 17 10   −   = −       − 乘积的矩阵中各个元素是根据公式(6)得出的,例如,第二行第一列的元素 10 是矩阵 A 的第二行元 素与矩阵 B 的第一列对应元素乘积之和: ( 1) 0 1 1 3 3 0 ( 1) 10 −  +  +  +  − = ,其余可类似得到. 例 2 如果 ( ) A a = ik sn 是一线性方程的系数矩阵,而

t. 分别是未知量和常数项所成的×1和s×I矩阵，那么线性方程组就可以写成矩阵的等式AX=B 例3在空间中作一坐标系的转轴设由坐标系x,片，到，一的坐标变换的矩阵为 au an as 8 如果令 那么坐标变换的公式可以写成X,=AK 如果再作一次坐标系的转轴，设由第二个坐标系（化2，乃2,2）到第三个坐标系(x,片，3)的坐标变 换公式为X2=BX,其中 那么不难看出，由第一个坐标系到第三个坐标系的坐标变换的矩阵即为C=AB 矩阵的乘法适合结合律设A=(a,),B=(b)m,C=(cu)m,我们证(AB)C=A(BC).令 V=AB=(va)m.W=BC=(wa) 其中 -2=2k=2m w=2a0=12.,x1=l2. 因为(AB)C=C的第1行第I列元素为 -Evc=(abar-abacu

1 2 n x x X x       =       1 2 , s b b B b       =       分别是未知量和常数项所成的 n1 和 s1 矩阵,那么线性方程组就可以写成矩阵的等式 AX B = . 例 3 在空间中作一坐标系的转轴.设由坐标系 1 1 1 x y z , , 到 2 2 2 x y z , , 的坐标变换的矩阵为 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a A a a a a a a     =       , 如果令 1 1 1 1 x X y z     =       2 2 2 2 , x X y z     =       那么坐标变换的公式可以写成 1 2 X AX = . 如果再作一次坐标系的转轴,设由第二个坐标系 2 2 2 ( , , ) x y z 到第三个坐标系 3 3 3 ( , , ) x y z 的坐标变 换公式为 2 3 X BX = , 其中 11 12 13 21 22 23 31 32 33 , b b b B b b b b b b     =       3 3 3 3 . x X y z     =       那么不难看出,由第一个坐标系到第三个坐标系的坐标变换的矩阵即为 C AB = . 矩阵的乘法适合结合律.设 ( ) , ( ) , A a B b = = ij sn jk nm ( ) , C c = kl mr 我们证 ( ) AB C = A BC ( ). 令 ( ) , ( ) , V AB v W BC w = = = = ik sm jl nr 其中 1 ( 1,2, , ; 1,2, , ), n ik ik jk j v a b i s k m = = = =  1 ( 1,2, , ; 1,2, , ). m jl jk kt k w a c j n l r = = = =  因为 ( ) AB C = VC 的第 i 行第 l 列元素为 1 1 1 1 1 ( ) m m n m n jl ik kt ij jk kt ij jk kt k k j k j w v c a b c a b c = = = = = = = =     (7)