归纳般地：设4是一个正数：则数轴上表示数的点在原点的边与原点的距离是个单位长度，表示数一α的点在原点的边，与原点的距离是个单位长度用数轴上的点表示数对数学的发展起了重要作用，以它作基础，可以借助图直观地表示很多与数相关的问题练习1.如图，写出数轴上点A，B，C，D，E表示的数.BAcED2-201-33（第1题）2.画出数轴并表示下列有理数：934.0.1.5,2,2,—2.5,2.3.数轴上，如果表示数a的点在原点的左边，那么a是一个数：如果表示数数b的点在原点的右边，那么b是一个7.2.3相反数探究在数轴上，与原点的距离是2的点有几个？这些点各表示哪个数？设a是一个正数数轴上与原点的距离等于a的点有几个？这些点表示的数有什么关系？可以发现，数轴上与原点距离是2的点有两个，它们表示的数是一2和2.9第七章有理数
!"#$%&' 一般地，设犪是一个正数，则数轴上表示数犪的点在原点的 边， 与原点的距离是 个单位长度；表示数－犪的点在原点的 边，与原 点的距离是 个单位长度． 用数轴上的点表示数对数学的发展起了重要作用，以它作基础，可以借助 图直观地表示很多与数相关的问题． 3 2 1 0 1 2 3 E B A C D （第１题） １．如图，写出数轴上点犃，犅，犆，犇，犈表示的数． ２．画出数轴并表示下列有理数： １．５，－２，２，－２．５，９ ２，－３ ４，０． ３．数轴上，如果表示数犪的点在原点的左边，那么犪是一个 数；如果表示数 犫的点在原点的右边，那么犫是一个 数． ７．２．３ 相反数 在数轴上，与原点的距离是２的点有几个？这些点各表示哪个数？ 设犪是一个正数．数轴上与原点的距离等于犪的点有几个？这些点表 示的数有什么关系？ 可以发现，数轴上与原点距离是２的点有两个，它们表示的数是－２ 和２． ９
归纳般地：设A是一个正数：数轴上与原点的距离是的点有两个：它们分别在原点左右，表示一a和α（图7.2-5），我们说这两点关于原点对称aC25-5-20图7.2-5像2和一2，5和一5这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数（oppositenumber)．这就是说，2的相反数是一2，一2的相反数是2；5的相反数是一5，一5的相反数是5一般地，a和一a互为相反数.特别地，0的相反数是0.这里，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0．例如：当a=1时，一a=一1，1的相反数是一1；同时，一1的相反数是1.思考设a表示一个数，一a一定是负数吗？容易看出，在正数前面添上“一”号，就得你能借助数轴到这个正数的相反数.在任意一个数前面添上说明一（一5）=二”号，新的数就表示原数的相反数．例如，+5吗？—十5)=-5.-（—5)=十5.一0=0练习1.判断下列说法是否正确：（1）一3是相反数；（2）十3是相反数；（4）3与十3互为相反数（3）3是一3的相反数；2.写出下列各数的相反数：256，-8，-3.9,100.0.1i,2*3.如果a=一a，那么表示a的点在数轴上的什么位置？4.化简下列各数：(—68), —(+0. 75), (-号)，—(+3.8)10第七章有理数
!"#$%&' 一般地，设犪是一个正数，数轴上与原点的距离是犪的点有两个，它 们分别在原点左右，表示－犪和犪（图７．２５），我们说这两点关于原点对称． 5 2 0 2 5 a a 图７．２５ 像２和－２，５和－５这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数 （ｏｐ ｐｏｓｉｔｅｎｕｍｂｅｒ）．这就是说，２的相反数是－２，－２的相反数是２；５的相反数 是－５，－５的相反数是５． 一般地，犪和－犪互为相反数．特别地，０的相反数是０．这里，犪表示任 意一个数，可以是正数、负数，也可以是０．例如： 当犪＝１时，－犪＝－１，１的相反数是－１；同时，－１的相反数是１． 设犪表示一个数，－犪一定是负数吗？ 你能借助数轴 说 明 － （－５）＝ ＋５吗？ 容易看出，在正数前面添上 “－”号，就得 到这个正数的相反数．在任意一个数前面添上 “－”号，新的数就表示原数的相反数．例如， －（＋５）＝－５，－（－５）＝＋５，－０＝０． １．判断下列说法是否正确： （１）－３是相反数； （２）＋３是相反数； （３）３是－３的相反数； （４）－３与＋３互为相反数． ２．写出下列各数的相反数： ６，－８，－３．９，５ ２，－２ １１，１００，０． ３．如果犪＝－犪，那么表示犪的点在数轴上的什么位置？ ４．化简下列各数： －（－６８），－（＋０．７５），－ －３ （ ）５ ，－（＋３．８）． ０１
7. 2. 4 绝对值两辆汽车从同一处O出发，分别向东、西方向行驶10km，到达A，B两处（图7.2-6）.它们的行驶路线相同吗？它们的行驶路程相等吗？BA01010本十010-10图7.2-6一般地，数轴上表示数α的点与原点的距离叫做数a的绝对值（absolutevalue），记作la|：这里的数a可以例如，图7.2-6中A，B两点分别表示10和是正数、负数和0.一10，它们与原点的距离都是10个单位长度，所以10和一10的绝对值都是10，即[10|=10,-10|=10显然[0|=0.由绝对值的定义可知：一个正数的绝对值是它本身：一个负数的绝对值是它的相反数：0的绝对值是0.即（1）如果a>0，那么la|=a；（2）如果a=0，那么1a|=0；(3）如果a<0，那么」a|=一a练习1.写出下列各数的绝对值：56，—8,—3.9,1,100,0.2.外2.判断下列说法是否正确：（1）符号相反的数互为相反数；（2）一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右；（3）一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；（4）当a0时，1a|总是大于0.3.判断下列各式是否正确：(3)—5=|—5(1) 15/=-5/;(2)-|5/=|-5;第七章有理数11
!"#$%&' ７．２．４ 绝对值 两辆汽车从同一处犗出发，分别向东、西方向行驶１０ｋｍ，到达犃，犅两 处 （图７．２６）．它们的行驶路线相同吗？它们的行驶路程相等吗？ 10 0 10 10 10 B O A 图７．２６ 这里的数犪可以 是正数、负数和０． 一般地，数轴上表示数犪的点与原点的距离 叫做数犪的绝对值 （ａｂｓｏｌｕｔｅｖａｌｕｅ），记作!犪!． 例如，图７．２６中 犃，犅 两点分别表示１０和 －１０，它们与原点的距离都是１０个单位长度，所 以１０和－１０的绝对值都是１０，即 !１０!＝１０，!－１０!＝１０． 显然!０!＝０． 由绝对值的定义可知： 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；０的绝对 值是０．即 （１）如果犪＞０，那么｜犪｜＝犪； （２）如果犪＝０，那么｜犪｜＝０； （３）如果犪＜０，那么｜犪｜＝－犪． １．写出下列各数的绝对值： ６，－８，－３．９，５ ２，－２ １１，１００，０． ２．判断下列说法是否正确： （１）符号相反的数互为相反数； （２）一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右； （３）一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远； （４）当犪≠０时，｜犪｜总是大于０． ３．判断下列各式是否正确： （１）｜５｜＝｜－５｜； （２）－｜５｜＝｜－５｜； （３）－５＝｜－５｜． １１
我们已知两个正数（或0）之间怎样比较大小，例如0<1,1<22<3,…任意两个有理数（例如一4和一3，一2和0，一1和1）怎样比较大小呢？思考图7.2-7给出了未来一周中每未来一周天的最高气温和最低气温，其中最天气预报低气温是多少？最高气温呢？你能将这七天中每天的最低气温按从低到高的顺序排列吗？周大周三福周五湖四图 7.2-7这七天中每天的最低气温按从低到高排列为-4,-3,-2,-1,0,1,2.按照这个顺序排列的温度，在温度计上所对应的点是从下到上的，按照这个顺序把这些数表示在数轴上：表示它们的各点的顺序是从左到右的（图7.2-8）-4-3-2-1012图7.2-8数学中规定：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数，由这个规定可知—6<-5.-5<-4，4<-3，-2<0，-1<1，…思考对于正数、0和负数这三类数，它们之间有什么大小关系？两个负数之间如何比较大小？前面最低气温由低到高的排列与你的结论一致吗？12第七章有理数
!"#$%&' 我们已知两个正数 （或０）之间怎样比较大小，例如 ０＜１，１＜２，２＜３，.． 任意两个有理数 （例如－４和－３，－２和０，－１和１）怎样比较大小呢？ 周日 2 9 ～ ℃ 周六 3 4 ～ ℃ 周五 4 3 ～ ℃ * 周四 2 5 ～ ℃ 周三 1 6 ～ ℃ 周二 1 7 ～ ℃ 周一 0 8 ～ ℃ 图７．２７ 图７．２７给出了未来一周中每 天的最高气温和最低气温，其中最 低气温是多少？最高气温呢？你能 将这七天中每天的最低气温按从低 到高的顺序排列吗？ 这七天中每天的最低气温按从低到高排列为 －４，－３，－２，－１，０，１，２． 按照这个顺序排列的温度，在温度计上所对应的点是从下到上的．按照这个 顺序把这些数表示在数轴上，表示它们的各点的顺序是从左到右的 （图７．２８）． 4 3 2 1 0 1 2 图７．２８ 数学中规定：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大 的顺序，即左边的数小于右边的数． 由这个规定可知 －６＜－５，－５＜－４，－４＜－３，－２＜０，－１＜１，.． 对于正数、０和负数这三类数，它们之间有什么大小关系？两个负数 之间如何比较大小？前面最低气温由低到高的排列与你的结论一致吗？ ２１
一般地，（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数：（2）两个负数，绝对值大的反而小例如，10, 0-2.-1, 1-1，-1例比较下列各对数的大小：一号和一号;(3）—(0.3)和(1)—(—1)和—(+2);(2)7;1解：（1）先化简，一（—1)=1，一（十2)=2.因为正数大于负数，所以1一2，即-(-1)>-(+2).（2）这是两个负数比较大小，先求它们的绝对值3988-%/，7121189因为2121'[-<-号,即8>-3所以21>7(3）先化简，(-0.3)= 0.3,-0.3<1因为3'(0. 3)<所以异号两数比较大小，要考虑它们的正负：同号两数比较大小，要考虑它们的绝对值练习比较下列各对数的大小：(1)3和-5(2)—3和—5;3o和一(4)(3)—2. 5和——2.25 | ;45第七章有理数13
!"#$%&' 一般地， （１）正数大于０，０大于负数，正数大于负数； （２）两个负数，绝对值大的反而小． 例如，１ ０，０ －１，１ －１，－１ －２． 例 比较下列各对数的大小： （１）－（－１）和－（＋２）； （２）－８ ２１和－３ ７； （３）－（－０．３）和 －１ ３ ． 解：（１）先化简，－（－１）＝１，－（＋２）＝－２． 因为正数大于负数，所以１＞－２，即 －（－１）＞－（＋２）． （２）这是两个负数比较大小，先求它们的绝对值． －８ ２１ ＝８ ２１， －３ ７ ＝３ ７＝９ ２１． 因为 ８ ２１＜９ ２１， 即 －８ ２１ ＜ －３ ７ ， 所以 －８ ２１＞－３ ７． （３）先化简，－（－０．３）＝０．３， －１ ３ ＝１ ３． 因为 ０．３＜１ ３， 所以 －（－０．３）＜ －１ ３ ． 异号两数比较大小，要考虑它们的正负；同号两数比较大小，要考虑它们 的绝对值． 比较下列各对数的大小： （１）３和－５； （２）－３和－５； （３）－２．５和－｜－２．２５｜； （４）－３ ５和－３ ４． ３１