《信号与系统》课程授课教案（课件讲稿）第7章系统函数.pdf

例：已知H(9)的零、极点分布图如示，并且h(0.)-2。求第七章系统函数H(S)的表达式。解：由分布图可得出87.1系统函数与系统特性HOG--7一、系统函数的零、极点分布图根据初值定理，有LTI系统的系统函数是1O-%+)=lmsH(0)=m+25+50+复变量s或z的有理分式，即H0-742-A()=0的根p1’ P2..P,称为系统函数H()的极点B()-0的根，.，称为系统函数H(）的零点二、系统函数H()与时域响应h()(b)若有一对共轭复极点pi2-α ±jB，则A(s)中有因子[($+a)+B-eaicos(Bt+e)e(t)冲激响应或单位序列响应的函数形式由H()的极点确定。(c)若有r重极点,下面讨论H()极点的位置与其时域响应的函数形式。则A(2)中有因子(s+a)或[(s+a)+β2F,其响应为所讨论系统均为因果系统。K,t'e-ate (t)或K,te-atcos(B t+ e) e (0) (i-0,1,.,r-1)以上三种情况：当(→8时，响应均趋于0。暂态分量。1.连续因果系统H(9)按其极点在s平面上的位置可分为:在左半开平（2）在虚轴上面、虚轴和右半开平面三类。(a)单极点p=0或pz-±jB，则响应为Ke (t)或Kcos(Bt+ )e (t)---稳态分量（1）在左半平面(b)r重极点，相应A(s)中有sr或(s2+B2)，其响应函数为(α>0),则A(s)中有(a)若系统函数有负实单极点p=Kte(t)或K.tcos(Bt+）e(t)(i-0,1,2....,r-1)递增函数因子(s+a），其所对应的响应函数为Ke-ate（t)（3）在右半开平面：均为递增函数。2. 离散因果系统H(2)按其极点在z平面上的位置可分为:在单位圆内、增能续因果系统的(10的面数形式由H]的授应确定。型化员点的变美容量外常心单位圆外三类。①H(s)在左半平面的极点所对应的响应函数为衰减的。①H(2)在单位圆内的极点所对应的响应序列为衰减的。即当1→时，响应均趋于0。即当k→时，响应均趋于0。②H(S)在虚轴上的一阶极点所对应的响应函数为稳态分量,②H(2)在单位圆上的一阶极点所对应的响应函数为稳态国③H(s)在虚轴上的高阶极点或右半平面上的极点，其所③H(2)在单位圆上的高阶极点或单位圆外的极点，其对应的响应函数都是递增的。所对应的响应序列都是增的。即当k→0时，响应时，响应均趋于。亚均趋于

1 第七章系统函数 § 7.1 系统函数与系统特性一、系统函数的零、极点分布图 LTI系统的系统函数是复变量s或z的有理分式，即 A(.)=0的根p1，p2，.，pn称为系统函数H(.)的极点； B(.)=0的根ξ1，ξ2，.，ξm称为系统函数H(.)的零点。 ( ) ( ) ( ) • • • = A B H 例：已知H(s)的零、极点分布图如示，并且h(0+)=2。求 H(s)的表达式。 σ jω -1 0 j2 -j2 解：由分布图可得 ( 1) 4 2 5 ( ) 2 2 + + = + + = s s Ks s Ks H s 根据初值定理，有 K s s Ks h sH s s s = + + + = = →∞ →∞ 2 5 (0 ) lim ( ) lim 2 2 2 5 2 ( ) 2 + + = s s s H s 二、系统函数H(·)与时域响应h(·) 冲激响应或单位序列响应的函数形式由H(.)的极点确定。下面讨论H(.)极点的位置与其时域响应的函数形式。所讨论系统均为因果系统。 1．连续因果系统 H(s)按其极点在s平面上的位置可分为:在左半开平面、虚轴和右半开平面三类。（1）在左半平面 (a)若系统函数有负实单极点p= –α(α>0)，则A(s)中有因子(s+α)，其所对应的响应函数为Ke-αt ε(t) (b) 若有一对共轭复极点p12=-α±jβ，则A(s)中有因子[(s+α)2+β2]-ÆK e-αt cos(βt+θ)ε(t) (c) 若有r重极点，则A(s)中有因子(s+α)r或[(s+α)2+β2]r，其响应为 Ki ti e-αt ε(t)或Ki ti e-αt cos(βt+θ)ε(t) (i=0,1,2,.,r-1) 以上三种情况：当t→∞时，响应均趋于0。暂态分量。（2）在虚轴上 (a)单极点p=0或p12=±jβ，则响应为Kε(t)或Kcos(βt+θ)ε(t)-稳态分量 (b) r重极点，相应A(s)中有sr或(s2+β2)r，其响应函数为 Ki ti ε(t)或Ki ti cos(βt+θ)ε(t)(i=0,1,2,.,r-1)—递增函数（3）在右半开平面：均为递增函数。结论： LTI连续因果系统的h(t)的函数形式由H(s)的极点确定。 ①H(s)在左半平面的极点所对应的响应函数为衰减的。即当t→∞时，响应均趋于0。 ②H(s)在虚轴上的一阶极点所对应的响应函数为稳态分量。 ③H(s)在虚轴上的高阶极点或右半平面上的极点，其所对应的响应函数都是递增的。即当t→∞时，响应均趋于∞。 2．离散因果系统 H(z)按其极点在z平面上的位置可分为:在单位圆内、在单位圆上和在单位圆外三类。根据z与s的对应关系，有结论： ①H(z)在单位圆内的极点所对应的响应序列为衰减的。即当k→∞时，响应均趋于0。 ②H(z)在单位圆上的一阶极点所对应的响应函数为稳态响应。 ③H(z)在单位圆上的高阶极点或单位圆外的极点，其所对应的响应序列都是递增的。即当k→∞时，响应均趋于∞

三、系统函数收敏域与其极点之间的关系四、系统函数与频率响应1连续因果系统根据收敛域的定义，H()收敛域不能含H()的极点。若系统函数H(s)的极点均在左半平面，则它在虚轴上例：某离散系统的系统函数（0)也收敏，有(0)-H()L-10,H()=403+3下面介绍两种常见的系统。(1)若系统为因果系统,求单位序列响应(k);（1）全通函数(2)若系统为反因果系统，求单位序列响应h(k)若系统的幅频响应[ H(jα)(为常数，则称为全通系统(3)若系统存在频率响应，求单位序列响应h(k);其相应的H(s）称为全通函数凡极点位于左半开平面，零点位于右半开平面解(1) [2/>3, h(k)-=[(-0.5) + (3)[8(k)并且所有零点与极点对于虚轴为一一镜像对称的系统-(2) [2/<0.5, h(k) ={-(-0.5)± - (3)*le(-k-1)函数即为全通函数。(3) 0.5<[z<3, h(k) = (-0.5)*8(k) - (3)*s(-k-1)(2）最小相移函数87.2系统的稳定性右半开平面没有零点的系统函数称为最小相移函数。一、因果系统因果系统是指，系统的零状态响应y()不会出现2、离散因果系统于()之前的系统。若系统函数H(2)的极点均在单位圆内，则它在单位圆连续因果系统的充分必要条件是：冲激响应 h(1)=0,1<0 上(Z-1)也收效，有H(C0-H(2或者，系统函数H(s)的收敛域为：Re[s]>°。式中。=0T，为角频率，T为取样周期。离散因果系统的充分必要条件是；单位响应 h(k)=0,k<0或者，系统函数H(2)的收效域为：[2>P。（2）离散系统稳定的充分必要条件是二、系统的稳定性2 (k)≤M1、稳定系统的定义若H(2)的收敛域包含单位圆，则该系统必是稳定的系统。一个系统，若对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出(BIBO)稳定的例1 y(k)+1.5y(k-1)-y(k-2)= (k-1)系统，简称为稳定系统。1) 若为因果系统，求h(k)，并判断是否稳定。即，若系统对所有的激励[I(-)]≤M，其零状态响应(2) 若为稳定系统，求h(k).y(.)<≤M，则称该系统稳定-03 +3- 09解 H(=)=1+1.5=-3=+（1）连续系统稳定的充分必要条件是的的的的杂,胰jih(1)] dts Mh(k)=0.4[0.5k-(-2)l e (k),(2)若为稳定系统，故收敛域为0.5<z<2，所以若H(S)的收敛域包含虚轴，则该系统必是稳定系统。h(k)=0.4(0.5)k e (k)+0.4(-2)k e (-k-1)

2 三、系统函数收敛域与其极点之间的关系根据收敛域的定义，H(·)收敛域不能含H(·)的极点。例：某离散系统的系统函数 0.5 3 ( ) − + + = z z z z H z (1) 若系统为因果系统，求单位序列响应h(k); (2) 若系统为反因果系统，求单位序列响应h(k); (3) 若系统存在频率响应，求单位序列响应h(k); 解 (1) |z|>3，h(k) =[(-0.5)k + (3)k]ε(k) (2) |z|<0.5，h(k) =[-(-0.5)k - (3)k]ε(-k-1) (3) 0.5<|z|<3，h(k) = (-0.5)k ε(k) - (3)kε(-k-1) 四、系统函数与频率响应 1、连续因果系统若系统函数H(s)的极点均在左半平面，则它在虚轴上 (s=jω)也收敛，有H(jω)=H(s)|s= jω ，下面介绍两种常见的系统。（1）全通函数若系统的幅频响应| H(jω)|为常数，则称为全通系统，其相应的H(s)称为全通函数。凡极点位于左半开平面，零点位于右半开平面，并且所有零点与极点对于虚轴为一一镜像对称的系统函数即为全通函数。（2）最小相移函数右半开平面没有零点的系统函数称为最小相移函数。 2、离散因果系统若系统函数H(z)的极点均在单位圆内，则它在单位圆上(|z|=1)也收敛，有H(ejθ)=H(z)|z= ejθ ，式中θ=ωTs ，ω为角频率，Ts 为取样周期。 § 7.2 系统的稳定性一、因果系统因果系统是指，系统的零状态响应yf (.)不会出现于f(.)之前的系统。连续因果系统的充分必要条件是：冲激响应 h(t)=0,t<0 或者，系统函数H(s)的收敛域为：Re[s]>σ0 离散因果系统的充分必要条件是：单位响应 h(k)=0, k<0 或者，系统函数H(z)的收敛域为：|z|>ρ0 二、系统的稳定性 1、稳定系统的定义一个系统，若对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出(BIBO)稳定的系统，简称为稳定系统。即，若系统对所有的激励 |f(.)|≤Mf ，其零状态响应 |yf (.)|≤My，则称该系统稳定。（1）连续系统稳定的充分必要条件是 ∫ ∞ −∞ | h(t) | dt ≤ M 若H(s)的收敛域包含虚轴，则该系统必是稳定系统。（2）离散系统稳定的充分必要条件是若H(z)的收敛域包含单位圆，则该系统必是稳定的系统。 ∑ ∞ =−∞ ≤ k | h(k) | M 例1 y(k)+1.5y(k-1)-y(k-2)= f(k-1) (1) 若为因果系统，求h(k)，并判断是否稳定。 (2) 若为稳定系统，求h(k). 解 2 0.4 0.5 0.4 1 1.5 1.5 1 ( 0.5)( 2) ( ) 1 2 2 1 + − + − = − + = + − = + − = − − z z z z z z z z z z z z z H z (1)为因果系统，故收敛域为|z|>2，所以 h(k)=0.4[0.5k-(-2)k]ε(k)，不稳定。 (2)若为稳定系统，故收敛域为0.5<|z|<2，所以 h(k)=0.4(0.5)kε(k)+0.4(-2)kε(-k-1)

因果系统稳定性的充分必要条件可简化为例1：如图反馈因果系统，问当K满足什么条件时，系统是稳定的? 其中子系统的系统函数G(s)-1/[(s+1)(s+2)I(3）连续因果系统jih(t)]dtsM解：设加法器的输出信号x(S)r(因为因果系统左半开平面的极点对应的响应为衰减函数X(s)=KY(S)+F(s)O故，若H(S)的极点均在左半开平面，则该系统必是稳定的因果系统。Y(s)= G(s)X(s)=K G(s)Y(s)+ G(s)F(s)21h(k)M（4）高散因果系统H(s)-Y(S)/F($)-G(S)/[1-KG(s)-1($+3$+2-k)O的报点为完一间因为因果系防糖体竭内的极对产的激察疾癌难源整若H(z)的极点均在单位圆内，则该系统必是稳定的因果系统。为使极点在左半平面，必须(3/2)-2+k<(3/2),k<2，即当k<2，系统稳定。三、连续因果系统稳定性判断准则罗斯-霍尔维兹准则例2：如图离散因果系统框图，为使系统稳定，求常量a的取值范围对因果系统，只要判断H(s)的极点，即A(s)=0的根（称解：设加法器输出信号x(2)+r1X(2)为系统特征根是否都在左半平面上，即可判定系统是否稳定，不必知道极点的确切值。ECOX(2)-F(2)+r'aX(2)V所有的根均在左半平面的多项式称为霍尔维兹多项式。1、必要条件一简单方法Y(2)-(2+z:)X(2)- (2+z-')/(1-az-)F(2)一实系数多项式A(S)=a,s++0的所有根位于左半开平面的必要条件是：（1）所有系数都必须非0，即不缺H(2)= (2+z)/(1-az)=(22+1)(2-a)项；（2）系数的符号相同。为使系统稳定，H(2)的极点必须在单位园内，例1 A(S)-s3+452-3s+2 符号相异，不稳定故[a<1例2 A(s)=3s=0，不稳定3+s2+21刷3A(S)=3s$+s2+2s+8 需进一步判断，非充分条件。2、罗斯列表阶系统A等留：对与系结发多最立的案神如,心，不准若a,>0，不难将多项式A(s)的系数排列为如下阵列一罗斯阵列第1行 a, an-2 a- 例1 A($)=2s++$+1282+8+2第2行05注意：在排罗斯阵列第3行c.罗斯阵列：212时，可能遇到一些特由第1,2行，接下列规则计算得到;18a国ca a-- 元素全为0，这时可断言：该多项式不是第4行由2，3行同样方法得到。一直排到第n+1行。8.5尔维兹多项式。罗斯准则指出：若第一列元素具有相同的符号，则A(s)=0所有的根均在左半开平面。若第一列元素出现符号改变，则符号改变的总次数就是右半平面根的个数。第1列元素符号改变2次，因此，有2个根位于右半平面

3 因果系统稳定性的充分必要条件可简化为（3）连续因果系统 ∫ ∞ ≤ 0 | h(t) | dt M 因为因果系统左半开平面的极点对应的响应为衰减函数。故，若H(s)的极点均在左半开平面，则该系统必是稳定的因果系统。（4）离散因果系统因为因果系统单位圆内的极点对应的响应为衰减函数。故，若H(z)的极点均在单位圆内，则该系统必是稳定的因果系统。 ∑ ∞ = ≤ 0 | ( ) | k h k M 例1：如图反馈因果系统，问当K满足什么条件时，系统是稳定的？其中子系统的系统函数G(s)=1/[(s+1)(s+2)] 解：设加法器的输出信号X(s) ∑ G(s) K F(s) Y(s) X(s) X(s)=KY(s)+F(s) Y(s)= G(s)X(s)=K G(s)Y(s)+ G(s)F(s) H(s)=Y(s)/F(s)=G(s)/[1-KG(s)]=1/(s2+3s+2-k) H(s)的极点为 p  − + k      = − ± 2 2 3 2 3 2 1,2 为使极点在左半平面，必须(3/2)2-2+k<(3/2)2, k<2，即当k<2，系统稳定。例2：如图离散因果系统框图，为使系统稳定，求常量a的取值范围解：设加法器输出信号X(z) −1 ∑ z ∑ 2 a F(z) X(z) Y(z) z-1X(z) X(z)=F(z)+z-1aX(z) Y(z)=(2+z-1)X(z)= (2+z-1)/(1-az-1)F(z) H(z)= (2+z-1)/(1-az-1)=(2z+1)/(z-a) 为使系统稳定，H(z)的极点必须在单位园内，故|a|<1 三、连续因果系统稳定性判断准则——罗斯-霍尔维兹准则对因果系统，只要判断H(s)的极点，即A(s)=0的根（称为系统特征根）是否都在左半平面上，即可判定系统是否稳定，不必知道极点的确切值。所有的根均在左半平面的多项式称为霍尔维兹多项式。 1、必要条件—简单方法一实系数多项式A(s)=ansn+.+a0=0的所有根位于左半开平面的必要条件是：（1）所有系数都必须非0，即不缺项；（2）系数的符号相同。例1 A(s)=s3+4s2-3s+2 符号相异，不稳定例2 A(s)=3s3+s2+2 ， a1=0，不稳定例3 A(s)=3s3+s2+2s+8 需进一步判断，非充分条件。 2、罗斯列表将多项式A(s)的系数排列为如下阵列—罗斯阵列第1行 an an-2 an-4 . 第2行 an-1 an-3 an-5 . 第3行 cn-1 cn-3 cn-5 . 它由第1，2行，按下列规则计算得到： 1 3 2 1 1 1 − − − − − = − n n n n n n a a a a a c 1 5 4 1 3 1 − − − − − = − n n n n n n a a a a a c . 第4行由2，3行同样方法得到。一直排到第n+1行。罗斯准则指出：若第一列元素具有相同的符号，则 A(s)=0所有的根均在左半开平面。若第一列元素出现符号改变，则符号改变的总次数就是右半平面根的个数。特例：对于二阶系统 A(s)=a2s2+a1s+a0，若a2>0，不难得出，A(s)为霍尔维兹多项式的条件为：a1>0，a0>0 例1 A(s)=2s4+s3+12s2+8s+2 罗斯阵列： 2 12 2 1 8 0 4 1 1 8 2 12 − = − 2 8.5 0 2 第1列元素符号改变2次，因此，有2个根位于右半平面。注意：在排罗斯阵列时，可能遇到一些特殊情况，如第一列的某个元素为0或某一行元素全为0，这时可断言：该多项式不是霍尔维兹多项式

4 例2 已知某因果系统函数 s s s k H s + + + + = 3 3 1 1 ( ) 3 2 为使系统稳定，k应满足什么条件？解列罗斯阵列 1 3 3 1+k (8-k)/3 1+k 所以， –1<k<8，系统稳定。四、离散因果系统稳定性判断准则——朱里准则为判断离散因果系统的稳定性，要判断A(z)=0的所有根的绝对值是否都小于1。朱里提出一种列表的检验方法，称为朱里准则。朱里列表：第1行 an an-1 an-2 . a2 a1 a0 第2行 a0 a1 a 2 . an-2 an-1 an 第3行 cn-1 cn-2 cn-3 . c1 c0 第4行 c0 c1 c2 . cn-2 cn-1 第5行 dn-2 dn-3 dn-4 . d0 第6行 d0 d1 d2 . dn-2 . 第2n-3行 r2 r1 r0 第3行按下列规则计算： n n n a a a a c 0 0 −1= 0 1 1 2 − − = n n n a a a a c 0 2 2 3 − − = n n n a a a a c . 一直到第2n-3行，该行有3个元素。朱里准则指出，A(z)=0的所有根都在单位圆内的充分必要的条件是: (1) A(1)>0 (2) (-1)nA(-1)>0 (3) an>|a0| cn-1>|c0| dn-2>|d0| . r2>|r0| 奇数行，其第1个元素必大于最后一个元素的绝对值。特例：对二阶系统。A(z)=a2z2+a1z+a0,易得 A(1)>0 A(-1)>0 a2>|a0| 例 A(z)=4z4-4z3+2z-1 解 4 -4 0 2 -1 -1 2 0 -4 4 15 -14 0 4 4 0 -14 15 209 -210 56 4>1 ， 15>4 ， 209>56 所以系统稳定。 (-1)4A(-1)=5>0 排朱里列表 A(1)=1>0 § 7.3 信号流图用方框图描述系统的功能比较直观。信号流图是用有向的线图描述方程变量之间因果关系的一种图，用它描述系统比方框图更加简便。信号流图首先由 Mason于1953年提出的，应用非常广泛。信号流图就是用一些点和有向线段来描述系统，与框图本质是一样的，但简便多了。一、信号流图 1、定义：信号流图是由结点和有向线段组成的几何图形。它可以简化系统的表示，并便于计算系统函数。 2、信号流图中常用术语 (1)结点：信号流图中的每个结点表示一个变量或信号。 (2)支路和支路增益：连接两个结点之间的有向线段称为支路。每条支路上的权值（支路增益）就是该两结点间的系统函数（转移函数） F(s) H(s) Y(s) 即用一条有向线段表示一个子系统。 (3)源点与汇点，混合结点：仅有出支路的结点称为源点（或输入结点）。仅有入支路的结点称为汇点（或输出结点）。有入有出的结点为混合结点

5 沿箭头指向从一个结点到其他结点的路径称为通路。如果通路与任一结点相遇不多于一次，则称为开通路。若通路的终点就是通路的起点（与其余结点相遇不多于一次），则称为闭通路。相互没有公共结点的回路，称为不接触回路。只有一个结点和一条支路的回路称为自回路。 (5)前向通路：从源点到汇点的开通路称为前向通路。 (6)前向通路增益，回路增益：前向通路中各支路增益的乘积称为前向通路增益。回路中各支路增益的乘积称为回路增益。 (4)通路、开通路、闭通路（回路、环）、不接触回路、自回路： 3、信号流图的基本性质（1）信号只能沿支路箭头方向传输。支路的输出=该支路的输入与支路增益的乘积。（2）当结点有多个输入时，该接点将所有输入支路的信号相加，并将和信号传输给所有与该结点相连的输出支路。 x1 x2 x3 x4 x5 x6 a b c d e 如：x4= ax1+bx2+dx5 x3= cx4 x6= ex4 （3）混合结点可通过增加一个增益为1的出支路而变为汇点。 4、方框图ÅÆ流图注意：加法器前引入增益为1的支路 5、流图简化的基本规则：（1）支路串联：支路增益相乘。 X1 X3 X2 H1 H2 X2=H2X3=H2H1X1 X1 X2 H1H2 （2）支路并联：支路增益相加。 X1 X2 H1 H2 X2=H1X1+H2X1 =(H1+H2) X1 X1 X2 H1+H2 （3）混联： X1 H1 X H2 2 H3 X3 X4 X4=H3X3=H3(H1X1+ H2X2)= H1H3X1 + H2H3X2 X1 X2 X4 H1H3 H2H3 X1 X2 X3 X4 H1 H2 H3 X1 X3 X4 H1H2 H1H3 （4）自环的消除： X1 X2 X3 X4 H1 H2 H3 H4 X3=H1X1+H2X2+ H3X3 2 3 2 1 3 1 3 1 1 X H H X H H X − + − = X1 X2 X3 X4 H4 3 1 1 H H − 3 2 1 H H − 所有来向支路除1 – H3 例：化简下列流图。 X1 X2 X3 X4 X5 X6 a b c d e f 1 注意化简具体过程可能不同，但最终结果一定相同。解：消x3 X1 X2 X4 X5 X6 a c f bd ed 1 消x2 X1 X4 X5 X6 f 1 a(c+bd) ed 消x4 af(c+bd) edf 1 X1 X5 X6 消自环 1 X1 X5 X6 1 edf af(c bd) − +

《信号与系统》课程授课教案（课件讲稿）第7章 系统函数

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