《信号与系统》课程授课教案（课件讲稿）第6章 离散系统的Z域变换

可见，因果系列f(k)的单边Z变换和第六章离散系统的Z域变换双边Z变换相等8 6-1Z变换二.Z变换的收敛域一、定义1.定义- (0)++)+F(z) :ZF(K)z-单边Z 变换Zf(k)z -*F(z) =收敛域：当(n)为有界时，令上述F(z)- Z f(k)z -双边Z变换级数收敛的=的所有可取的值的集合称为收敛域F(2)-f)Z++ +(-IZ+(0)+JZ+ +f()典型序列的收敛域2①有限长序列[2/+8Z+0(k)= 「 (k)k,≤k≤k,收敛域：0<z<80k为其它值4=8F(2)-2()z-t(k)REf(k)a. ki<0, k,>0k2kiib. k,>k ≥0收敛域：[z↓>0②右边序列（因果序列）收敛域：[2]> R,mc. k,<k,<0RE:f收敛半径m[]F(2)-2 f(k)z-kR2收敛域：Re[=][z<82626

1 k k F z f k Z − ∞ = = ∑0 单边 Z 变换 ( ) ( ) k k F z f k Z − ∞ = −∞ 双边 Z 变换 ( ) = ∑ ( ) §6-1 Z变换 第六章 离散系统的Z域变换 一、定义 可见，因果系列f(k)的单边Z变换和 双边Z变换相等 二. Z变换的收敛域 1. 定义 = ∑ = + + + " ∞ = −∞ − 2 (1) ( 2 ) ( ) ( ) ( 0 ) z f z f F z f k z f k k 收敛域：当 为有界时，令上述 级数收敛的 的所有可取的值的集 合称为收敛域. f (n) z ①有限长序列 a. k1 < 0, k2 > 0 2. 典型序列的收敛域 f (k) = k为其它值 f k k k k 0 ( ) 1 ≤ ≤ 2 ∑= − = 2 1 ( ) ( ) k k k k F Z f k Z 1 k 2 k k f (k ) 1 2 ( ) ( ) ( 1) (0) (1) ( )2 1 1 k k F Z f k Z f Z f f Z f k Z − − − = +"+ − + + +"+ |Z|≠∞ Z≠0 收敛域 : 0 < Z < ∞ b. k2 > k1 ≥ 0 I m z R ze z =∞ f (k) 收敛域 : Z > 0 I m z R ze z =∞ 收敛域 : Z < ∞ c. k1 < k2 < 0 I m z R z e 圆外为 收敛域 ②右边序列（因果序列） f(k) k 1 收敛域 : Z > R R1 Re[z] j Im[z] 收敛半径 k k F z f k Z − ∞ = = ∑0 ( ) ( )

④双边序列③左边序列 (反因果序列)-2()2"F(z)=二(k)z-F(z) =-2 ()2*+2 (0)2-1m圆内为收敛域收敛域：[2<R,[Z >R,jIm[3]收敛域：[z<R2当R,>R,时有环行收敛域BelaRR,<R,时收敛域不存在Re[=]R,<[2]<R, 例2. 求f(k)=a*u(k)的z变换，并求收敛域k=0例1. 讨论 8(k)和 (1,3,2,2,1 的收敛域SaZ(az-l)解F(z)=Z 8(k)z* =1解: Z[8(k)1 =--m仅当az-<1[2]>[0时上式收敛收敛域为整个平面Z+1.z-1ZIf(k)I=1.z +32 +2+2.z)F(2)=-z-a收敛域为：0<Z<+0例3. 求r(k)=a'u(k)-b'u(-k-1)的z变换,akz->lZ0并确定收敛域(b>a,b>0,a>0)b.双边Z变换k≥0解：这是一个双边序列/(k)={bkk≤-1Zf(k)z-k Za*u(k)-b*u(-k-1)z-kF(z)=a.求单边z变换F(2)-25(k)Z-*-2[a*u(k)+b*u(-k-1)Z-k2Zau(k)+ 2 (-b)z-

2 ③左边序列（反因果序列） 0 k 圆内为收敛域， R2 j Im[z] Re[z] 2 收敛域 : Z < R k k F z f k Z − − = −∞ = ∑ 1 ( ) ( ) ④双边序列 k k F z f k Z − ∞ = −∞ ( ) = ∑ ( ) k k k k f k Z f k Z − ∞ = − − = −∞ = ∑ + ∑0 1 ( ) ( ) 2 1 收敛域: Z < R Z > R 当R2 > R1时 有环行收敛域 R2 < R1时 收敛域不存在 R1 < Z < R2 jIm[z] Re[z] 解： [ ( )] = ( ) = 1 − ∞ = −∞ ∑ k k Z δ k δ k Z 收敛域为整个平面 2 1 2 [ ( )] 1 3 2 2 1 − − f k = ⋅ Z + Z + + ⋅ Z + ⋅ Z Z 收敛域为 : 0 < Z < +∞ 例 1. 讨论 δ (k )和 {1,3,2,2,1 }的收敛域 k=0 例2. 求f (k ) = aku(k )的Z变换, 并求收敛域 解： k k k k k F(z) a Z (aZ ) 1 0 0 − ∞ = − ∞ = = ∑ = ∑ 仅当 aZ −1 < 1 Z > a 时上式收敛 z a z Fz − ( )= 并确定收敛域 例3. 求f (k) a u(k)- b u( k 1)的Z变换, k k = − − (b > a,b > 0,a > 0) 解：这是一个双边序列f (k ) = 1 0 − ≤ − ≥ b k a k k k a. 求单边Z变换 k k k k k k F z f k Z a u k b u k Z− ∞ = − ∞ = ( ) =∑ ( ) =∑[ ( ) + (− − 1)] 0 0 b. 双边Z变换 k k k k k k F z f k Z a u k b u k Z− ∞ =−∞ − ∞ =−∞ ( ) = ∑ ( ) = ∑[ ( ) − (− − 1)] k k k k k a u k b Z− − =−∞ ∞ = = ∑ ( ) + ∑ (− ) 1 0 z a z a z a Z k k k > − = = − ∞ = ∑ 0

三.常用系列的Z变换k=-nZa*z-k-1(-b")z"1.单位样值序列8(k)ZT[8(k)]=1a-+--a+2-b"a2. 单位阶跃序列 u(k)收敛域>06]<126]Z-kZT[u(k)]=[</>1z-13 6-2Z变换的性质3. 指数序列f(k)=a*u(k)一、线性性质ZT[F(k)I-Za*z-k若 z(x(k)]=X(z)(R<l<R2)k=0z((k)]= Y(2)(R1<[l<R,)2>l则 z[a(k)+by(k)l=aX(z)+bY(2) (R,<[<R)=z-a取二者的重叠部分即 max(Rxi,R,)<[l<min(Rr2,R,)例题 x(k)=a'u(k) >某些线性组合中某些零点与极点相抵,J(k)=a'u(k-1)α则收敏域可能扩大。>0一x(k)-y(k)α()-Y(z)零极点相消，收敛域扩大为整个z平面

3 z b z z a z b z b z a z − + − = − − + − = 1 ⇓⇓ ⇓ 收敛域 z > a z < b a < z < b n n k n k k a Z 1 ( b )Z 0 0 − ∞ = ∞ = − ∑ − − ∑ − k=−n 三. 常用系列的Z变换 1. 单位样值序列δ (k) ZT[δ (k)] = 1 2. 单位阶跃序列 u(k) 1 1 [ ( )] 0 > − =∑ = ∞ = − z z z ZT u k Z k k 3. f (k) a u(k) k 指数序列 = ∑ ∞ = − = 0 [ ( )] k k k ZT f k a Z z a z a z > − = [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Z ax k by k aX z bY z R z R Z y k Y z R z R Z x k X z R z R y y x x + = + < < = < < = < < 则 若 §6-2 Z变换的性质 一、线性性质 取二者的重叠部分 max( , ) min( , ) x1 y1 Rx2 Ry2 即 R R < z < 某些线性组合中某些零点与极点相抵， 则收敛域可能扩大。 x(k) = ak u(k) ↔ z > a y(k) = ak u(k − 1) ↔ z > a x(k) − y(k) ↔ 零极点相消，收敛域扩大为整个z平面。 z a z X z − ( ) = z a a az az Y z a z k k k − = − = = − − − ∞ = ∑ 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) = 1 − − = − − − − == z a z a z a a z a z X z Y z

2.单边Z变换二、位移性若 x(k)谷X(z)1.双边Z变换且有整数m>0,Z[x(k)] = X(z)若x(k-1)αz-'X(z)+x(-1)Z[x(k -m)] = z-" X(z)X(k -2) z X(2)+ x(-2)+ X(-1)z-IZ[x(k+m)]= z"X(z)x(k-m)z"(z)+Ex(k-m)z-m为任意整数和x(k +1) 台zX(z)-x(0)z收效域：仅在z=0,z0处另加讨论其余同 X(z)x(k + 2) z'X(2) - x(0)z - x(1)zin(k+M)αz".31<±<8+(+m)+2"x()-2+(k)2"-因为u(k+M)为双边序列，故在z=co处不收敛.钢题求图示长度为2M+1的矩形序列|k-(M+1)台z-M) 二>1-M≤k≤Mz-1(k)f(k)= t)k<M,k>M /tf(k)αz".二-z(m),2的双边Z变换z-1z-1解:F(k)=u(k+M)-μ|k-(M+1)z,22M+1-11<<8z-1"zM+1>1(M)Aae三。Z域尺度变换特性四，时域卷积定理若ZT[x(k)]= X(2)Rxi<[2/<Rx2R<<Rm2若: ZT(k)I=X(z)则 ZTx(k)I=X()dR<<aRx2ZT[(k)I= H(z)Ru<1l<Rm2则x(k)*h(k)分X(2)H(2)Z()=例:收敛域max(Rs,Rm)<Z<min(Rz2,R2)Y.o则 ZT[enu(k)] =注：若收敛域边界上出现零极点相抵消.z-en7en. -1-则收敛域扩大

4 Z[ x(k m)] z X(z) −m − = Z[ x(k m)] z X (z) m + = 若 Z[ x(k )] = X (z) m为任意整数 ( ) : 0, , X z z z 其余同 收敛域 仅在 = = ∞处另加讨论 二. 位移性 1. 双边Z变换 2. 单边Z变换 若 x(k ) ↔ X (z) 且有整数m>0, ( 1) ( ) ( 1) 1 − ↔ + − − x k z X z x 2 1 ( 2) ( ) ( 2) ( 1) − − x k − ↔ z X z + x − + x − z k m k m x k m z X z x k m z − − = − ( − ) ↔ ( ) + ∑ ( − ) 1 0 x(k 2) z X (z) x(0)z x(1)z 2 2 + ↔ − − 和 x(k + 1) ↔ zX (z) − x(0)z # m k m k m x k m z X z x k z − = ( + ) ↔ ( ) − ∑ ( ) 0 解： f (k) = u(k + M ) − u[k − (M + 1)] 1 1 ( ) > − ↔ z z z ∵ u k 例2. 求图示长 度为2M+1的矩形序列 f (k ) = . . -M 0 M k k M k M M k M < > − ≤ ≤ 0 , 1 f (k) 的双边Z变换 < < ∞ − ∴ + ↔ ⋅ z z z u k M zM 1 1 ( ) 因为u(k + M )为双边序列, 故在z = ∞处不收敛. 1 1 [ ( 1)] ( 1) > − − + ↔ − + z z z u k M z M 1 - 1 ( ) ( 1) − ⋅ − ↔ ⋅ − + z z z z z f k z M M 1 1< z < ∞ 2 1 1 1 + + − ⋅ − = M M z z z z 三. Z域尺度变换特性 1 2 ZT[ ( )] ( ) X RX 若 x k = X z R < z < 1 2 ZT[ ( )] ( ) X X k aR z aR a z 则 a x k = X < < 例: 1 ZT[ ( )] − = z z u k 则 0 0 0 0 1 ZT[ ( )] Ω Ω Ω Ω − = − = j j j j k z e z e z e z e u k 则 x(k)∗h(k) ↔ X(z)H(z) 收敛域 max( , ) min( , ) Rx1 Rh1 < Z < Rx2 Rh2 注: 若收敛域边界上出现零极点相抵消. 则收敛域扩大. 1 2 ZT[ ( )] ( ) X RX 若: x k = X z R < z < 1 2 ZT[ ( )] ( ) h Rh h k = H z R < z < 四. 时域卷积定理

例题求下列两序列的卷积积分z-1= ZT-"[= ZT-1}=a'u(k)z-1z-ax(k)=u(k)h(k)=a'u(k)-a-u(k-1) [d<1jL(=)ZT[x(k)= -1>1解收敛域[2>[alH(2)=ZTμu(k)-α-u(k-1)即收敛域比重叠部分大R()>a五．Z域微分特性z-a z-az-a若x(k)X(2)R<l<R2x(k)*h(k)= ZT-(X(z)H(z)..9X(z)kx(k)-zRi<<R2则测题已知 ZT(a(k)-云<|>14 -2- x(2)kx(k)-求ku(k)的z变换dzdz解：x(z)Kx(k)-l-zd-ZT[ku(k)]=---7(z-1)2dzz-1其中[-2元L=X(2))[</>1"(z-1)dzd2六 Z域积分特性七.K域反转特性若 x(k)X(2)R<<R2若 x(k) X(2)R<l< Ry育x(-k)。 X(2-)Ra2当>0. 则 X(ndn Ra<<RaC已知:1> aa"u(k)t-a设有整数m,且k+m>0,则求a-u(-k-1)的z变换。x(k) z"x(n)dn由x(-k) X(z"l)解k+ma-u(-k) --i-a1-azd

5 1 1 ZT[ ( )] > − = z z z 解∵: x k : 求下列两序列的卷积积分 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) 1 1 = = − − < − x k u k h k a u k a u k a k k (z) ZT[ ( ) ( 1)] 1 = − − − H a u k a u k k k z a z a z z z a z z a z > − − = − − − = − 1 1 ( ) ( ) Z [X( ) ( )] 1 x k h k T z H z − ∴ ∗ = 收敛域 z > a 即收敛域比重叠部分大 五. Z域微分特性 jIm(z) R(z) e 0 a 1 1 2 ( ) ( ) x Rx 若 x k ↔ X z R < z < ] ( ) -1 ] [ - -1 -1 [ 1 1 a u k z z ZT z a z z z ZT k = ⋅ = = − − 1 2 ( ) ( ) x Rx X z R z dz d 则 kx k ↔−z < < ( ) [ ( )] 2 X z dz d z dz d k x k ↔−z − # ( ) [ ] X(z) dz d k x k z m m ↔ − [ ] ("( ( X(z))")) dz d z dz d z dz d z dz d z m 其中: − = − − − 2 ( 1) 1 1 ZT[ ( )] − − − = − ⋅ − = − ⋅ z z z z z z dz d ku k z 解: 1 ( 1) 2 > − = z z z 1 1 6 : ZT[u ( )] > − = z z z 例 巳知 k 求ku(k)的z变换 六. Z域积分特性 1 2 ( ) ( ) x Rx 若 x k ↔ X z R < z < 1 2 ( ) ( ) 0, x x z d R z R X k x k k > ↔ < < ∫ ∞ η η η 当 则 设有整数m, 且k + m > 0, 则 η η η d X z k m x k z m m ∫ ∞ ↔ + + 1 ( ) ( ) 七. K域反转特性 1 2 ( ) ( ) x R x 若 x k ↔ X z R < z < 2 1 1 1 1 ( ) ( ) x R x z R x − k ↔ X z < < − 求 a − k u ( − k − 1 )的 Z 变换。 解: 由 ( ) ( ) ↔ − 1 x − k X z a z z a az z a u k k 1 1 1 ( ) 1 1 < − = − − ↔ − − − z a z a a u k k > − ↔ z 例 8 : 巳知 ( )