CIEE第五章拉普拉斯变换与系统分析本章重点（1）利用性质求双边拉氏变换及其收敛域（2）单边拉氏变换的时移、尺度变换、时域卷积、微分和积分性质的应用条件（3）接入周期信号的拉氏变换（4）求波形描述的信号的拉氏变换的几种方法（5）含指数函数或二阶共轭极点的拉氏变换求逆方法（6）初终值定理的应用条件及利用初值定理求零输入响应（7）微分方程表征的系统的s域分析例5.1求下列函数的双边拉氏变换及其收敛域(a) e"ce(0)+e*"*(-1)(b) te-l , a>0(c) e(at +b)(d) sin(ot +0)e()解(a）因为c.le"(0)l--_， Re[]>-as+a,[e-"e(-)]-_, Re[]<-b两信号组合以后的拉氏变换收敛域是其公共部分，所以可分以下三种情形讨论：(1)当a>b时e,[e"e()+es(-)]--$+a-s+b~-a<Re[]<-b(1)当α<b时，信号组合以后拉氏变换的收敛域为空集，故拉氏变换不存在。（2）当a=b时，相当于e-的拉氏变换，这是收敛域仍为空集，故其拉氏变换不存在。相应地sinot=-e-io）的拉氏变换也不存在，而sinots(）的拉氏变换为了，sinal-e(-）的拉氏变换为，但它们结合后的双边拉氏s2+0?变换的收敛域为空集，即变换不存在（注意，其频谱为两个冲激）,[e-e(0)]=te"()+te"e(-1)（b）
CIEE CAU 第五章 拉普拉斯变换与系统分析 本章重点 （1）利用性质求双边拉氏变换及其收敛域 （2）单边拉氏变换的时移、尺度变换、时域卷积、微分和积分性质的应用条件 （3）接入周期信号的拉氏变换 （4）求波形描述的信号的拉氏变换的几种方法 （5）含指数函数或二阶共轭极点的拉氏变换求逆方法 （6）初终值定理的应用条件及利用初值定理求零输入响应 （7）微分方程表征的系统的 s 域分析 例 5.1 求下列函数的双边拉氏变换及其收敛域 （a）e () ( ) t e t at bt + − − − ε ε （b） a t te − ，a > 0 （c）ε ( ) at + b （d）sin( ) ωt +θ ε (t) 解 （a） 因为 [ ] ( ) s a e t at b + = − 1 l ε ，Re[s] > −a [ ] ( ) s b e t bt b + − − = − 1 l ε ， Re[s] < −b 两信号组合以后的拉氏变换收敛域是其公共部分，所以可分以下三种情形讨论：： （1）当 a > b 时 [ ] () ( ) s a s b e t e t at bt b + − + + − = − − 1 1 l ε ε ， − a < Re[s] < −b （1） 当 a < b 时 ，信号组合以后拉氏变换的收敛域为空集，故拉氏变换不存在。 （2） 当 a = b 时，相当于 at e− 的拉氏变换，这是收敛域仍为空集，故其拉氏变换 不存在。 相应地 ( ) j t j t e e j t ω ω ω − = − 2 1 sin 的拉氏变换也不存在，而sinωt ⋅ε ( )t 的拉氏变 换为 2 2 ω ω s + ，sinωt ⋅ε ( ) − t 的拉氏变换为 2 2 ω ω + − s ，但它们结合后的双边拉氏 变换的收敛域为空集，即变换不存在（注意，其频谱为两个冲激） （b） [te ( )t ] te (t) te ( t) a t at at b = + − − − − l ε ε ε
CAUCIEE其中e le"s(0]- +a]'，Re[]>-c e l- aka所以，-a<Re[]<a(o) l,[e()]-, Re[]>0-Re[>0a,[(a+)-[(+)]o[1e,Re[]>0当a>0时福.e",Re[]>0当a<0时注意两点，（1）双边拉氏变换的尺度变换性质中α可正可负，而单边拉氏变换要求a为正；（2）时移和尺度变换均是对自变量1进行的，若认为e(at+b）是时移b 则会得到错误的结果。(d)l [sin(ot + 0)e(0) - (sin(ot + 0)e(0) = l,[sin ot cos 0e()+ cos ot sin 0e(0)].coso+s-sinos?+0?Re(s)>0例5.2 求下列函数的单边拉氏变换(a) te(-)e(t-1)(b) te-(+)e(t+1)(c) 6(2t-1)
CIEE CAU 其中 [ ] ( ) ( )2 1 s a te t at b + = − l ε ， Re[s] > −a [ ] ( ) ( )2 1 s a te t at b + − l ε − = ， Re[s] < a 所以 [ ] ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 1 1 4 s a as s a s a te a t b − − = − − + = − l ， − a < Re[ ]s < a （c） [ ] ( ) s t b 1 l ε = ， Re[ ]s > 0 [ ] ( ) a s a a a s at b = ⋅ = 1 1 l ε ，Re > 0 a s [ ] ( ) [ ] [ ] − ⋅ > < ⋅ > > = = ⋅ + = + 当 时 当 时 ,Re 0 0 1 ,Re 0 0 1 e s a s e s a s e a s a a b at b a t s a b s a b s a b b b l ε l ε 注意两点，（1）双边拉氏变换的尺度变换性质中 a 可 正可负，而单边拉氏变换要求 a 为正；（2）时移和尺度变换均是对自变量t 进行的，若认为ε (at + b) 是时移 b 则 会得到错误的结果。 （d） [ ] ( ) () [ ] ( ) ( ) [ ( ) ()] 2 2 cos sin sin sin sin cos cos sin ω ω θ θ ω θ ε ω θ ε ω θε ω θε + ⋅ + ⋅ = + = + = + s s t t t t t t t t b b l l l Re( )s > 0 例 5.2 求下列函数的单边拉氏变换 （a） ( ) ( ) 1 3 − − − te t t ε （b） ( ) ( ) 1 3 + − + te t t ε （c）δ ( ) 2t −1
CAUCIEE(d)ale'coste()解 (a) (le-(-)e(t-1)]l-(--1)e-(-),e -e(t-1)+e-(-).,e2 -e(t-1)因为4(e(0) -10-der-0l- -1-0-所以e2 . e-- _ (s+2)e2-sde-(-)e(t-1)]=e~.7(s+1)2$+1(s+1)(b) le-(+)(++1)]=te-(+);()=1-e-.ec()=7(s +1)注意，ε(+1）的拉氏变换与s(）的拉氏变换相同。类似地，当1>0时(5.2. 1)f(0)-e(t+to)= fo(0)-c(t+t0)-s(0)= fo(0)-c(0)单边拉氏变换的时移定理为r(t-t0),e(-10)]-F(s)e"应用时需要函数的个部分1均有相同的时移t。，且要求1o>0，若<0则按式（5.2.1)处理(c)(6(0)]=-1e[0(t -1)]= e~s(6(21-1)=-1e（d）求解该题要用到拉氏变换的微分性质，单边拉氏变换在分析具有初始条件的因果LTI
CIEE CAU （d） e t ( )t dt d t cos ε 2 2 − 解（a） ( ) [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ( 1) 3 1 2 1 2 − = − ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − − − − − − − te t t e e t e e t t t t l ε ε ε 因为 [ ] ( ) s t 1 l ε = [ ( )] 1 1 + = − s e t t l ε [ ( )] ( )2 1 1 + = − s te t t l ε ( ) ( ) [ ] ( ) ( )2 1 1 1 1 + − − = − − − s e t e t s t l ε 所以 ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 3 2 1 2 1 1 1 + + = + + ⋅ + − = ⋅ − − − − − s s e s e e s e te t e s s s t l ε （b） ( ) [ ] ( ) ( ) () () ( )2 3 3 3 3 1 1 + + = = ⋅ ⋅ = − − + − + − − s e te t te t t e e t t t t l ε ε ε 注意，ε ( ) t +1 的拉氏变换与ε ( )t 的拉氏变换相同。类似地， 当 t0 > 0 时 [ ] f ( )t ⋅ε (t + t ) = f ( )t ⋅ε (t + t )⋅ε (t) = f (t)⋅ε (t) 0 0 0 0 0 l （5.2.1） 单边拉氏变换的时移定理为 [ ] ( ) ( ) ( ) 0 0 0 st f t t t t F s e− l − ⋅ε − = 应用时需要函数的个部分 t 均有相同的时移 0t ，且要求t0 > 0 ，若t0 < 0 则 按 式 （5.2.1） 处理 （c） l[ ] δ ( )t = 1 [ ] ( ) s t e− l δ −1 = [ ] ( ) 2 2 1 2 1 s t e − l δ − = （d）求解该题要用到拉氏变换的微分性质，单边拉氏变换在分析具有初始条件的因果 LTI
CIECAI系统中起着重要的作用，其基础正是时域微分性质。单边拉氏变换中的积分下限的取法有0㎡和0+两种，分别称为拉氏变换的0-和0+系统，在两种系统中时域微分性质有所不同，这里采用0"系统。采用0-系统可以避免0到0*的跳变问题，而将之包含在拉氏变换式中，因为doste(0l=亨ele- coste(0)]- (s+1)° +1所以"coste()s2(s+1)- sr(o-)- '(o-)(s +1)° +1又因信号是因果的，(o-)=(o-)=0所以[ d?e'coste(0)]= 5(s+1)(s+1)2 +1Ldt例5.3求图5.3.1所示各接入周期信号的拉氏变换+ f(0)+70（0)0+()2T(a)(6)图5.3.1解 （a）由题图5.3.1（a）可得F(0)= 8()+ 8(t-T)+ 8(t- 2T)+ 8(t-3T)+o(t-nT令第一周期内的信号以@）表示，则(0)=8()F()=1由图可知重复周期为T，于是
CIEE CAU 系统中起着重要的作用，其基础正是时域微分性质。单边拉氏变换中的积分下限的取法有 − 0 和 + 0 两种，分别称为拉氏变换的 − 0 和 + 0 系统，在两种系统中时域微分性质有所不 同，这里采用 − 0 系统 。采用 − 0 系统可以避免 − 0 到 + 0 的跳变问题，而将之包含在 拉氏变换式中，因为 [ ] ( ) 1 cos 2 + = s s l tε t [ ] ( ) ( ) 1 1 1 cos 2 + + + = − s s e t t t l ε 所以 ( ) ( ) ( ) () () − − − − − ′ + + + = 0 0 1 1 1 cos 2 2 2 2 sf f s s s e t t dt d t l ε 又因信号是因果的， ′(0 ) = (0 ) = 0 − − f f 所以 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 cos 2 2 2 2 + + + = − s s s e t t dt d t l ε 例 5.3 求图 5.3.1 所示各接入周期信号的拉氏变换 图5.3.1 ( ) a (b) T 2 T 3 T 1 2 3 4 f (t) t L o o L ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 t f ( )t 解 （a）由题图 5.3.1（a）可得 () () ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∞ = = + − + − + − + = − 0 2 3 n f t δ t δ t T δ t T δ t T L δ t nT 令第一周期内的信号以 f ( )t 1 表示，则 f (t) = δ (t) 1 ( ) 1 F1 s = 由图可知重复周期为T ，于是
CAUCIEEF(s)= F,(s) 1-e"1-e-(b）由图5.3.1（b）可得(0)= (0)-c(-1)F()-1-"_ 1-eSsS重复周期T=3，于是1_1-e1-eF(s)= F(s) -1-e-sts'1-e-3s"s(1-e-3)设①为一有限持续周期信号，即有(0)= (0)[s(0)-c(t- T)]接入周期信号(）可表示为f()-(t-nT)其拉氏变换F(s）与第一周期信号（即f(））的拉氏变换F(s）的关系为F()= F() 1-e(5.3.1)例5.4求如图5.4.1所示各信号的拉氏变换f()+(0)6-1to+t(a)(b)图5.4.1解这是典型的用波形描述的信号的拉氏变换求解问题，利用性质我们可灵活的求解。（a）该例有多种解法，下面分别介绍【解法一]利用时域微分性质、积分性质d2将了()进行两次微分，得1()C）的波形图如图5.4.2所示
CIEE CAU () () sT sT e e F s F s − − − = − = ⋅ 1 1 1 1 1 （b） 由图 5.3.1（b）可得 ( ) ( ) ( 1) f1 t = ε t − ε t − ( ) s e s e s F s −s −s − = − = 1 1 1 重复周期 T = 3 ，于是 () () ( ) s s s s st s e e s e e e F s F s 1 3 3 1 1 1 1 1 1 1 − − − − − − − = − ⋅ − = − = ⋅ 设 f ( )t 1 为一有限持续周期信号，即有 f ( )t = f (t)[ε (t)− ε (t − T )] 1 1 接入周期信号 f ( )t 可表示为 f () ( ) t f t nT n = ∑ − ∞ =0 1 其拉氏变换 F( )s 与第一周期信号 （即 f (t) 1 ）的拉氏变换 F (s) 1 的关系为 () () st e F s F s − − = ⋅ 1 1 1 （5.3.1） 例 5.4 求如图 5.4.1 所示各信号的拉氏变换 a +τ 0t 0 t 1 f ( )t t o o t f (t) −τ 0t 1 2 3 4 ( ) a (b) 图 5 . 4 . 1 解 这是典型的用波形描述的信号的拉氏变换求解问题，利用性质我们可灵活的求解。 （a）该例有多种解法，下面分别介绍 [解法一]利用时域微分性质、积分性质 将 f ( )t 进行两次微分，得 f ( )t dt d 和 f ( )t dt d 2 2 的波形图如图 5.4.2 所示