《信号与系统》课程授课教案（课件讲稿）第2章 连续系统的时域分析

第二章连续系统的时域分析经典法：本章在用经典法求解微分方程1.微分方程的建立的基础上，讨论零输入响应、零状①根据KCL、KVL、VCR列出相应方程态响应的求解。在引入系统的冲激响应后，零状态响应等于冲激响应②根据待求变量化简方程与激励的卷积积分。2.微分方程的求解全解=齐次解+特解$2-1LTI连续系统的响应或缩写：，微分方程的经典解-单输入一单输出系统dtiadn阶常系数线性微分方程全解(t)=y,(t)+y,()d"y+and'y()+aoy)+ada.d"drt[oat当入为m重根①齐次解y,(l)d"y+alddr+()=0-20n+dya,Zc,e4dt"dt1=1i=m+1特征方程"+an-1an-+...+aa+ao=0b.复根a.实根对共轭复根=α+β=α-jβn个实根A1,12,... Nn:分量 :e[C cos(βt)+ Dsin(βt)]y(t) =

1 信号与系统电子课件 第二章 连续系统的时域分析 本章在用经典法求解微分方程 的基础上，讨论零输入响应、零状 态响应的求解。在引入系统的冲激 响应后，零状态响应等于冲激响应 与激励的卷积积分。 信号与系统电子课件 1. 微分方程的建立 ①根据KCL、KVL、VCR列出相应方程 ②根据待求变量化简方程 2. 微分方程的求解 全解=齐次解+特解 经典法： 信号与系统电子课件 §2-1 LTI连续系统的响应 一. 微分方程的经典解 单输入—单输出系统 n阶常系数线性微分方程 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 1 a y t dt dy t a dt d y t a dt d y t a n n n n n n + + + + − − − " ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 1 b f t dt df t b dt d f t b dt d f t b m m m m m = m + + + + − − − " 信号与系统电子课件 或缩写： y(t) y (t) y (t) 全解 = h + p j m j j j i n i i i dt d f t b dt d y t a ( ) ( ) 0 0 ∑ ∑ = = = 信号与系统电子课件 y (t) ①齐次解 h ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 + 1 + + + = − − − a y t dt dy t a dt d y t a dt d y t n n n n n " : 0 1 0 1 + 1 + + + = − − a a a n n n 特征方程 λ λ " λ n个实根 λ 1, λ 2 ," λ n : a. 实根 ∑= = n i t i i y t C e 1 ( ) λ 信号与系统电子课件 当λ为m重根 t n i m i m i t m i h i i y t c t e c e λ λ ∑ ∑= + − = = + 1 1 ( ) b. 复根 : e [C cos( t) Dsin( t)] t β β α 分量 + 一对共轭复根 λ1 = α + jβ λ2 = α − jβ

C.正弦激励f(t)= Em sin(ot+Φ)②特解y,(t)y,(t)= Asinot + Bcosot特解的函数形式与激励函数的形式有关其中cejw=A+jB=C sin(ot+y)a.常数激励f(t）=Ey,()=Ad、tmb.指数激励f(t) = Eeaαkyp(t)= Am" + Am-1"- +.+A++Ay,(t)= Aear③全解例：描述某LTI系统的微分方程为a. 通解-齐次通解+非齐次特解4%+60-10y(t) = yh(t)+ yp(t)dtZc,ea" + y,(t)试求当/()=2e,≥0,(0)=2,(0)=-1时的全解解：特征方程2+51+6=0b.定解：给定初始条件特征根=-2,=-3(0)、y)(0)、y(2) (0).y(-1)(0)齐次通解Yh(1)=C,e-21 +C,e-3代入通解，确定系数 ck特解设yp(t)= Ae-代入方程Ae-1 + 5(-Ae-")+6Ae-l =2e-y(t) = 3e-21 - 2e-3t + e-t≥0A=1p(t) = e-I自由响应强迫响应通解(t) = Ce-21 +Ce-31 +e-i由(0)=2, y(0)=-1r1+C,+C, = 2L-1- 2C, -3C, =-1得Ci =3, C2 = -2

2 信号与系统电子课件 yp(t) = A t y p t Aeα ( ) = 特解的函数形式与激励函数的形式有关 a. 常数激励 f (t ) = E K t f t Ee α λ α b. 指数激励 ( ) = ≠ y (t) ②特解 p 信号与系统电子课件 y t A t B t p ( ) = sinω + cosω = C t + c = A + jB ψ ω ψ j sin( ) 其中 e f (t) = E sin(ωt + φ ) m c. 正弦激励 ③全解 1 0 1 1 y (t) A t A t A t A m m m p = m + + + + − − " d、 m t 信号与系统电子课件 y (t ) y (t ) y (t ) = h + p a. 通解=齐次通解+非齐次特解 ( ) 1 C e y t p t n i i i = ∑ + = λ b. 定解：给定初始条件 k 代入通解 ,确定糸数 c (0) (0) (0) (0) (1) (2) (n−1) y 、y 、y 、"y 信号与系统电子课件 : 5 6 0 2 解 特征方程 λ + λ + = 特征根 λ1 = −2, λ2 = −3 t t h y t C e C e 3 2 2 1 ( ) − − 齐次通解 = + t yp t Ae− 特解 设 ( ) = 5 6 ( ) ( ) 2 2 y t f t dt dy dt d y + + = 试求当f (t) = 2e−t ,t ≥ 0; y(0) = 2, y′(0) = −1时的全解 例：描述某LTI系统的微分方程为 信号与系统电子课件 t t t t Ae Ae Ae e − − − − 代入方程 + 5(− ) + 6 = 2 A = 1 t p y t e − ( ) = t t t y t C e C e e − − − = + + 3 2 2 1 通解 ( ) 由y(0) = 2, y′(0) = −1 1 2 3 1 1 2 1 2 1 2 − − − = − + + = C C C C 3, 2 得 C1 = C2 = − 信号与系统电子课件 ( ) 3 2 , 0 2 3 = − + ≥ − − − y t e e e t t t t 自由响应 强迫响应

初始条件的求法如((0.)→((0.）二0_与0初始值例：描述某LTI系统的微分方程.定义0y'(t)+3y(t)+2y(t)=2 f'()+6f (t)00+2. 初始条件已知y(0_)=2,y(0)=0, ()=u(1),求 y(0.)和 y(0.)解：分析0_激励作用前的状态a由于函数的引入，(0)y(0.）如(0_), y)(0.)b.由于激励的加入,在微分方程右端出现了ot激励作用后一瞬间的状态AS(t),Bo(t)等,则方程左端也应有对应如(04),y (0 )相等的冲激函数项从0_到0，两端进行积分将(t)=u(t)代入方程y'(t)+3y(t)+2y()=28(0)+6u(t)[y(t)d +3f y(0)dt+2 v()dt=2 8(0dt +6J u(0)d0.1则j"(t)=A8(t)（连续）2×1y'(t) = Au(t)y'(0+)+ y'(0_)(t) = Ar(t)于是[y(0.)-y(0_)]+3[(0)- (0_)]=2由于y(t)连续y(0.)=y(0_)=2y(0)= 2+ y(0.)=2y'(0.)= 2 + y(0_)=2总结y'(t)+3y'(t)+2y(t)= J (0)当f()= 0, A,ea , sin otp(-ce +)-y合(0.)*y0(.当()含8(1)或8 ()

3 信号与系统电子课件 0− 0 0+ 0− 激励作用前的状态 二.0−与0+初始值 1. 定义 2. 初始条件 (0 ), (0 ) ( ) − − j 如y y 0+ 激励作用后一瞬间的状态 (0 ), (0 ) ( ) + + j 如y y 信号与系统电子课件 初始条件的求法: (0 ) (0 ) ( ) ( ) − → + j j 如y y y (t) 3 y (t) 2 y(t) 2 f (t) + 6 f (t) ′′ + ′ + = ′ (0 ) 2, (0 ) 0, ( ) ( ), (0 ) (0 ) − − + + 巳知y = y′ = f t = u t 求 y 和 y′ 例：描述某LTI系统的微分方程 解： a 由于δ函数的引入， (0 ) (0 ) ( ) ( ) − ≠ + j j y y , ( ) , . , B t b δ ′ Aδ (t) 相等的冲激函数项 等 则方程左端也应有对应 由于激励的加入 在微分方程右端出现了 分析 信号与系统电子课件 y′′(t) +3y′(t) + 2y(t) = 2δ (t) + 6u(t) 将f (t) = u(t)代入方程 则 y"(t) = Aδ (t) '( ) ( ) '(0 ) '(0 ) = + ≠ − y t Au t y y 信号与系统电子课件 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ + − + − + − + − + − ′′ + ′ + = + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 y (t)dt 3 y (t)dt 2 y(t)dt 2 δ (t)dt 6 u(t)dt 从0−到0+两端进行积分 − 于是 [y′(0+ )− y′(0−)]+3[y (0+)− y (0−)]= 2 ( ) (0 ) = (0 ) = 2 + − 由于y t 连续 y y 2×1 0 0 ∵ y(t) = Ar(t) 连续 信号与系统电子课件 y′(0+ ) = 2 + y′(0− ) = 2 总结 y′′(t) + 3 y′(t) + 2 y(t) = f (t) f ( )t A e t t ω α 当 = 0 , , , sin ( ) ( ) 1 y t C e y t p t n i i i = ∑ + = λ (0 ) (0 ) ( ) ( ) − = + j j y y 当f ( )t 含δ (t)或δ '(t) (0 ) (0 ) ( ) ( ) − ≠ + j j y y 信号与系统电子课件 y′(0+ ) = 2 + y′(0− ) = 2

三.零输入响应和零状态响应③全响应的两种分解形式y(t) = y+(t)+ yr(t)①零输入响应ZChen+ZChe'* +y,()特征根为单根yr(t)=ZCe4i=l=l②零状态响应零输入响应零状态响应特征根为单根-Zc,e +y,(t)y(t)=Zcher +y,(t)1=1=1自由响应强迫响应y ( (0. )= y0)(0. )c,e'Cme+Cher显然=由于激励为零1-1y((0. )=y((0. )= y0(0. )④初始值的分解()=y()+y()例：描述某LTI系统的微分方程设t=0(0.)=y(0.)+y (0)({) + 2y'(t) + 2y() = f()t=0+(0)=y(0)+y0(0)已知(0_)=0, y(0_)=1,f()=8(1),求零输入响应和零状态响应t=0接入激励，则y("(0.)=0代入初始值，得解：(1)求零输入响应y(t)yr(0+)=C= 0y"()+2y()+2y()=0y'(0+)= -C +C2 = 1【且满足y(0+),(0.)解得C,=0，C2=1y.(0.)=y.(0_)=y(0. )=0t≥0yr(t)=e' sinty(0+)= y* (0. )= y(0.)=1(2)求零状态响应y,()特征根A12 = -1± j[y'r(t)+2y 'r(t)+2y ,(t) =8()( y,(0.)= yr(0.)=0y,(t)=(C cost+Cr sint)e-

4 信号与系统电子课件 三.零输入响应和零状态响应 ①零输入响应: 特征根为单根 ∑= = n i t x xi i y t C e 1 ( ) λ ②零状态响应: 特征根为单根 ∑= = n i t f fi i y t C e 1 ( ) λ y (t) + p 信号与系统电子课件 y (t) y (t) y (t) = x + f ③全响应的两种分解形式 自由响应 强迫响应 零输入响应 零状态响应 ( ) 1 C e y t p n i t i i = ∑ + = λ ( ) 1 1 C e C e y t p n i t fi n i t xi i i = ∑ +∑ + = = λ λ 信号与系统电子课件 ∑ ∑ ∑ = = = = + n i t fi n i t xi n i t i i i i C e C e C e 1 1 1 λ λ λ 显然 ④初始值的分解 t 0 (0 ) (0 ) (0 ) ( ) ( ) ( ) = + + = + + + f j x j j y y y () () () ( ) ( ) ( ) y t y t y f t j x j j = + t 0 , (0 ) 0 - ( ) = = j f 接入激励 则 y () () () t 0 (0 ) (0 ) (0 ) jj j x f yy y 设 = =+ − −−− 信号与系统电子课件 (0 ) (0 ) ( ) ( ) − = − j j x y y (0 ) (0 ) (0 ) ( ) ( ) ( ) + = − = − j j x j x y y y 由于激励为零 例：描述某LTI系统的微分方程 求零输入响应和零状态 响应 已知 (0 ) 0, (0 ) 1, ( ) ( ), ' y = y = f t = ε t − − y"(t) + 2 y'(t) + 2 y(t) = f'(t) 信号与系统电子课件 解: (1) y (t) 求零输入响应 x y" x(t) + 2 y' x(t) + 2 y x(t) = 0 (0 ), ' (0 ) x + x + 且满足 y y ' (0 ) ' (0 ) '(0 ) 1 (0 ) (0 ) (0 ) 0 = = = = = = + − − + − − y y y y y y x x ∵ x x = − 1 ± j 特征根 λ 1,2 t x x x y C t C t e− ∴ (t ) = ( cos + sin ) 1 2 信号与系统电子课件 ' (0 ) 1 (0 ) 0 1 2 1 = − + = = = + + x x x x x y C C y C 代入初始值，得 解得Cx1 = 0，Cx 2 = 1 ∴ (t ) = sin t ≥ 0 − y e t t x (2) y (t) 求零状态响应 f y (t) 2y (t) 2y (t) ( ) " ' t f f + f + = δ y (0 ) y (0 ) 0 - ' f - = f =

(0 )=1-yf(0_)=1从0求0则y r (t)含8(t),yr(t)含u(t);t>0时，方程为y(0.)yr(0_),y,()连续y r(t)+2y'r(t)+2y,(t) = 0从0_到0.两端进行积分通解 y,(t)=(Cni cost+Cr2 sint)e-[y,"(t)dt +2 jyr'(0)dt +2 y,(n)dt= jo(t)dt代入初始值,(0,)=Cn=0[(0+)-(0_]+2(0)-y(0.)]=1yr(0+)=-Cn +Cr2 =1r(0+)=r(0.)=0$ 2-3系统的阶跃响应和冲激响应解之Cr= 0,Cf2 =1阶跃响应y,(t) = sin te-t初始状态为零时,由单位阶跃函数所引起的响应f()=u(t),系统的微分方程为d"gl)+an-d(ag( +.+ aog()= (0)dtndtn-lg()(0_)=0, j= 0,1,2, ..n-1二。 冲激响应由于g"(t)含ε(t)初始状态为零时，由单位冲激函数s(1)所引则 g(0.)= g(0_)=0, j=0,1,2,..n起的响应1. 冲激响应的特点1)s(t)rg(t)=(Z cie +ucs(t)ea08(1)=0,t# 01 g(0)-= .-)(0.)=0L8(1) = 00, = 0其中六为特解u.(0_)=0-→u.(0)=Ut>0时本质上是零输入响应

5 信号与系统电子课件 从0−到0+两端进行积分 连续 则 含 含 (0 ) (0 ); ( ) ( ) ( ), ( ) ( ); ' ' " ' y y y t y t t y t u t f f f f f + ≠ − 从0-求0+ δ ∫ ∫ ∫ ∫ + + + + + + = 0 0 0 0 0 0 0 0- - - - y "(t)dt 2 y '(t)dt 2 y (t)dt (t)dt f f f δ [ y' ( 0 )-y' (0 )] 2[ y (0 )-y ( 0 )] 1 ∴ f + f − + f + f - = y ( ) y ( ) f 0 + = f 0- = 0 =0 信号与系统电子课件 0 = 1− 0 = 1 + − y' ( ) y' ( ) f f y (t) 2y (t) 2y (t) 0 t 0 " ' + + = > f f f 时，方程为 t f f f C t C t e − y (t) = ( cos + sin ) 通解 1 2 y '(0 ) - 1 y (0 ) 0 1 2 1 = + = = = + + f f f f f C C 代入初始值 C 信号与系统电子课件 0 1 解之 Cf 1 = , Cf 2 = y t te t f − ( ) = sin 信号与系统电子课件 §2-3 系统的阶跃响应和冲激响应 f (t) = u(t),系统的微分方程为 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 ( 1) 1 a g t t dt d g t a dt d g t a n n n n n n + + + = ε − − − " (0 ) 0, 0,1,2, 1 ( ) g − = j = n − j " 一. 阶跃响应 初始状态为零时,由单位阶跃函数所引 起的响应 信号与系统电子课件 g (t) (t) n 由于 含ε (0 ) (0 ) 0, 0,1,2, 1 ( ) ( ) g + = g − = j = n − 则 j j " ) ( ) 1 ( ) ( 1 0 t a g t C e t n i i i ε λ = ∑ + = (0 ) (0 ) 0 ( 1) = = + = − + n g " g 其中 为特解 0 1 a 信号与系统电子课件 ( ) , 0 ( ) 0, 0 = ∞ = = ≠ t t t t δ δ 二. 冲激响应 1. 冲激响应的特点 uc (0− ) = 0 →uc (0+ ) =U 初始状态为零时, 由单位冲激函数 所引 起的响应 δ (t) C R + - u δ (t) c 0 时本质上是零输入响应. > + t