《信号与系统》课程教学资源（习题解答）第八章 状态方程与状态变量分析法

CIEECAU状态方程与状态变量分析法第八章本章重点（1）系统状态方程的建立，根据系统的微分或差分方程、系统的方框图、流图或电路图来建立系统的状态方程。（2）利用系统的状态方程求系统的转移函数及系统的微分或差分方程（3）利用状态方程中的A矩阵求连续系统状态转移矩阵()=e，或利用()，求A矩阵。（4）连续系统状态方程及输出方程的时域解法与变换域解法。(5)利用状态方程中的A矩阵求离散系统状态转移矩阵$(n)=A"，或利用(n)求A矩a（6）离散系统状态方程及输出方程的时域解法与变换域解法。（7）系统完全可控与完全可观测的充要条件。例8.1试分别用串联结构和并联结构形式实现下式的状态方程和输出方程4(s +2.5)H(s) :(s+1)(s+2)(s+3)解（a）串联结构实现时，可按下式进行：1.$+2.5.4H(s)=1$+2$+3可以画出，实现转移函数为as+a+a,s-l+b.的流图如图右所示。由此可画出实现-beH(s)串联形式的流图如下图所示。设积分器的输出为状态变量，可以得出状态变量方程为[元=-3元+2.5元+(2-22)含=-22+13=-n+e

CIEE CAU 第八章 状态方程与状态变量分析法 本章重点 （1）系统状态方程的建立，根据系统的微分或差分方程、系统的方框图、流图或电路 图来建立系统的状态方程。 （2）利用系统的状态方程求系统的转移函数及系统的微分或差分方程。 （3）利用状态方程中的 A矩阵求连续系统状态转移矩阵 ( ) At φ t e = ，或利用φ( )t ，求 A 矩阵。 （4）连续系统状态方程及输出方程的时域解法与变换域解法。 （5）利用状态方程中的 A矩阵求离散系统状态转移矩阵 ( ) n φ n A = ，或利用φ( ) n 求 A矩 阵。 （6）离散系统状态方程及输出方程的时域解法与变换域解法。 （7）系统完全可控与完全可观测的充要条件。 例 8.1 试分别用串联结构和并联结构形式实现下式的状态方程和输出方程： 4( 2.5) ( ) ( 1)( 2)( 3) s H s ss s + = + + + 解 （a）串联结构实现时，可按下式进行： 1 2.5 4 ( ) 123 s H s s s s + =⋅ ⋅ + + + 可以画出，实现转移函数为 1 1 0 10 1 0 0 1 as a a a s s b bs − − + + = + + 的流图如图右所示。由此可画出实现 H s( ) 串联形式的流图如下图所示。设积分 器的输出为状态变量，可以得出状态变量方 程为 1 1 23 2 2 23 3 3 3 2.5 ( 2 ) 2 e λ λ λλ λ λ λλ λ λ  =− + + −   =− +   =− +  & & & 1 a 0 −b 1 s− 0 a 图 10.2.1

2.5输出方程为4表示成矩阵形式为输出方程为Mr=[4 0 0]|2[（b）并联结构实现时，可将H(s)展成部分分式，即4(s +2.5)H(0)=(3+1G+2)($+3)$+1++2+$+3其流图实现形式如下图所示。选积分器的输出为状态变量，可以写出状态方程为i =-n+ei =-21 +eig=-31, +e而输出方程为r=34-2h -2表示成矩阵形式为输出方程为

CIEE CAU 输出方程为 1 r = 4λ 表示成矩阵形式为 1 1 2 2 3 3 3 0.5 1 0 0 21 0 00 1 1 e λ λ λ λ λ λ   −              =− +         −            & & & 输出方程为 [ ] 1 2 3 r 400 λ λ λ     =       （b）并联结构实现时，可将 H s( ) 展成部分分式，即 4( 2.5) ( ) ( 1)( 2)( 3) s H s ss s + = + + + 3 21 ss s 123 − − =+ + + + + 其流图实现形式如下图所示。选积分器的输出为状态变量，可以写出状态方程为 1 1 2 2 3 3 2 3 e e e λ λ λ λ λ λ =− + = − + = − + & & & 而输出方程为 1 23 r = 3 2 λ − − λ λ 表示成矩阵形式为 1 1 2 2 3 3 10 0 1 0 20 1 00 3 1 e λ λ λ λ λ λ   −              =− +         −            & & & 输出方程为 1 s− 0 a -1 -2 -3 2.5 λ3 λ2 λ1 1 s− 1 s − e 图 10.2.2

CIEE=13例8.2已知一数字滤波器的流图如下图所示，试求该滤波器的状态方程及输出方程。x(2)a解设延时单元的输出为状态变量(n)，2(n)及(n)，则状态方程为[(n+1)=号(m)+号(m)-16(n)+x(n)2(n+1)=2(n)(n+1)=(n)输出方程为(n)=(n)-2(n)-2(m)+ (n)以矩阵形式表示，可得

CIEE CAU [ ] 1 2 3 r 321 λ λ λ     = −−       1 s− 1 s− 1 s− -1 -3 e r 图 10.2.3 例 8.2 已知一数字滤波器的流图如下图所示，试求该滤波器的状态方程及输出方程。 图 10.4 解 设延时单元的输出为状态变量 1 λ ( ) n ， 2 λ ( ) n 及 3 λ ( ) n ，则状态方程为 1 123 2 1 3 2 7 51 ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) 12 9 3 ( 1) ( ) ( 1) ( ) n n n n xn n n n n λ λλλ λ λ λ λ  += + − +    + =  + =   输出方程为 123 211 () () () () () 333 yn n n n xn =−−+ λλλ 以矩阵形式表示，可得

CIEE2(n+1)2(n+1) =02(n+1) |M(n)(n)2(n)+x(n1a(n)例8.3已知^-[% ]试求状态转移矩阵$(n)。解状态转移矩阵(n)的 z变换为=[(0(m)]-[(=I-A)"]题中已给定A，故--[3 2][Z-51ad;(ZI - A)=1-6Zdet(ZI - A)=(Z-2)(Z-3)(1-)"- (ZI-A)"det(ZI-A)Z-=(z-2)(2-3) (z-2)(2-3)[(Z-2)(Z-3) (Z-2)(Z-3)]=[0()] [(Z - A)"2]z2-5(Z-2)(Z-3)(Z-2)(Z-3)67[(Z-2)(Z-3) (Z-2)(Z-3)]可得状态转移矩阵3·2"-2.3"+(n)=-[(z1 - A)"z]-3.2#+1 -2.3n+l-2n+1

CIEE CAU 1 1 2 2 3 3 75 1 ( 1) ( ) 12 9 3 1 ( 1) 1 0 0 ( ) 0 ( ) ( 1) ( ) 01 0 0 n n n n xn n n λ λ λ λ λ λ   − +               += +       +            1 2 3 ( ) 211 () () () 333 ( ) n yn n xn n λ λ λ      = −− +         例 8.3 已知 0 1 6 5 A   =   −  试求状态转移矩阵φ( ) n 。 解 状态转移矩阵φ( ) n 的 z 变换为 [ ] ( ) 1 z n zI A z φ( ) − = −     题中已给定 A，故 1 6 5 Z ZI A Z   − − =     − ( ) 5 1 6 Z adj ZI A Z  −  − =    −  det ( 2)( 3) (ZI A Z Z −=− − ) ( ) ( ) ( ) 1 det adj ZI A zI A ZI A − − − = − 5 1 ( 2)( 3) ( 2)( 3) 6 ( 2)( 3) ( 2)( 3) Z ZZ ZZ Z ZZ ZZ   −   −− −− = −   −− −− [ ] ( ) 1 z n ZI A Z φ( ) − = −     2 2 5 ( 2)( 3) ( 2)( 3) 6 ( 2)( 3) ( 2)( 3) ZZ Z ZZ ZZ Z Z ZZ ZZ   −   −− −− = −   −− −− 可得状态转移矩阵 ( ) 1 1 1 1 11 32 23 2 3 ( ) 32 23 2 3 n n nn n n nn φ n z ZI A Z − − + + ++   ⋅ −⋅ − + = −=         ⋅ −⋅ − +

CIEECAU例8.4已知某系统的状态转移矩阵为()=[e(cos +sin)-2e"'sinte'sinte-'(cost- sint)]试求矩阵A。解利用状态转移矩阵的时间微分，即l - el-- d故He-(cost +sin)(-2e' sint)A=%(0ge'sint%e-(cos-sin)-2e"sint2e'sint-2e' cos/[-e'sint+e' cost-2e'cost-{3例8.5某连续时间系统的状态方程和输出方程为[][ 2[(][ e0][-[]r[@+e([ -(] e(]初始状态为[2(0"]_[1 1[e(0]-[e(0)][(0)]-[-1]e2(0)][8(0)]求状态变量和输出变量。解（1）求状态转移矩阵()。已知-[6 ]-4-[0 2]系统的特征方程为sI - A|=(s-1)(s +1)= 0可求得系统的特征根为α, =1,α, =-1于是

CIEE CAU 例 8.4 已知某系统的状态转移矩阵为 (cos sin ) 2 sin ( ) sin (cos sin ) t t t t e t t et t et e t t φ − − − −   + − =     − 试求矩阵 A。 解 利用状态转移矩阵的时间微分，即 0 0 At At t t d e Ae AI A dt = = = = = 故 ( ) 0 (cos sin ) 2 sin ( ) sin (cos sin ) t t t t t d d e t t et d dt dt A t dt d d et e t t dt dt φ − − = − −   + −   = = −   0 2 sin 2 sin 2 cos sin cos 2 cos t tt tt t t e t e te t e te t e t − −− −− − =   − − =     −+ − 0 2 1 2   − =     − 例 8.5 某连续时间系统的状态方程和输出方程为 1 11 2 2 2 () () () 1 2 01 ( ) 0 1 10 () () t t et t et t λ λ λ λ           = +              −    & & 1 11 2 22 () () () 1 1 10 () () () 0 1 10 rt t et rt t et λ λ              = +            − 初始状态为 1 1 1 1 2 2 (0 ) ( ) 1 () ; (0 ) 1 () ( ) e t t e t t λ ε λ δ − −           = =             −     求状态变量和输出变量。 解 （1）求状态转移矩阵φ( )t 。已知 [ ] 12 1 2 01 0 1 s A sI A s    − − = −=       − + ， 系统的特征方程为 sI A s s − =− += ( 1)( 1) 0 可求得系统的特征根为 1 2 α =1, 1 α = − 于是