CIEECAU第六章z变换与离散系统的z域分析本章重点1.求序列的=变换并确定收敛区间。1）利用=变换的定义式；(2)采用幂级数展开法；用=变换的性质。(3)2.=反变换的确定（1）幂级数展开法（长除法）：121部分分式展开法；(3)围线积分法（留数法）3.由拉氏变换X(s)求:变换X(a)4.利用≥变换求解差分方程。5.利用=变换分析系统，系统函数H()及零、极点图，系统的单位样值响应及频率响6.离散系统得模型。例6.1求下列序列x(n)=(n-3)e(n)的≥变换，并标明收敛域解x(n)=(n-3)e(n)= ne(n) -3e(n)因为[e(m]->1[ne(m)=(-1'=>1所以X(a)= 5[x(n)]=3>1(=-1)24z-32>1"(-I若用时移（位移）性质x(n) X(2)[x()+ 2 ()--x(n-m)e(n)α2x(n-m)e(n-m)"X(2)
CIEE CAU 第六章 z 变换与离散系统的 z 域分析 本章重点 1.求序列的 z 变换并确定收敛区间。 （1） 利用 z 变换的定义式； （2） 采用幂级数展开法； （3） 用 z 变换的性质。 2. z 反变换的确定. （1） 幂级数展开法（长除法）； （2） 部分分式展开法； （3） 围线积分法（留数法）。 3.由拉氏变换 X ( )s 求 z 变换 X ( )z 。 4.利用 z 变换求解差分方程。 5.利用 z 变换分析系统，系统函数 H z( ) 及零、极点图，系统的单位样值响应及频率响 应。 6.离散系统得模型。 例 6.1 求下列序列 x() 3 () nn n = − ( )ε 的 z 变换，并标明收敛域 解 x() 3 () () 3() n n n nn n =− = − ( )ε ε ε 因为 [ ] () , 1 z n z ξ ε = − z >1 [ ] ( )2 () , 1 z n n z ξ ε = − z >1 所以 [ ] ( )2 () () 3 , 1 1 1 z z X z xn z z z = = −⋅ > ξ − − ( ) 2 2 4 3 1 z z z − = − z >1 若用时移（位移）性质 x( ) n ↔ X ( )z 1 ( )() () () m k k m x n m n z X z xk z ε − − − =− −↔ + ∑ ( )( ) () m x n m n m z Xz ε − − −↔
CIEECAU则由ne()((n-3)e(m)台2[()+(-3)2 +(-2): +(-1)]_ 4z-32[=>1(--1)或由(n-3)e(n)=(n-3)e(n-3)-38(n)-28(n-1)-8(n-2) -2--1--(z-1)24z-32>1(=-1)?例6.2求下列信号的单边≥变换，并标明相应的收敛域。(a) x(n)=8(n+4)+8(n-4)+8(n)+3"e(-n)()(b)x(n)e(n+3)（)解，这种题解答过程并不复杂，只是要求审题细心，正确理解单边变换的概念，明确n的取值范围是n≥0。(a）由定义式≤[x(m)] -2 (n)-"-2[6(+4)+(n-4)+(m)+*e(-m)"2+1+1=2+2, 1>0(b)5[)-=2() 0+3)-*-2() c0)--例6.3求下列序列的变换，并指出收敛域
CIEE CAU 则由 ( )2 ( ) 1 z n n z ε ↔ − ( ) ( ) ( ) ( ) 3 32 n n z Xz z z z 3 () () 3 2 1 ε − − ↔ +− +− +− ( ) 2 2 4 3 1 z z z − = − ， z >1 或由 () () n nn n n n n − = − − − − −− − 3 ( ) 3 3 3 ( ) 2 ( 1) ( 2) ε ε δδ δ ( ) ( ) 3 12 2 3 2 1 z z zz z ↔ ⋅ −− − − −− − ( ) 2 2 4 3 1 z z z − = − ， z >1 例6.2 求下列信号的单边 z 变换，并标明相应的收敛域。 （a） ( ) ( 4) ( 4) ( ) 3 ( ) n x nn n n n = ++ −+ + − δ δ δε （b） 1 ( ) ( 3) 2 n xn n ε = + 解 这种题解答过程并不复杂，只是要求审题细心，正确理解单边变换的概念，明确 n 的取 值范围是 n ≥ 0。 （a）由定义式 [ ] 0 0 4 4 () () ( 4) ( 4) ( ) 3 ( ) 11 2 , 0 n n n n n xn xnz n n n nz z zz ξ δ δ δε ∞ − = ∞ − = − − = = ++ −+ + − = ++= + > ∑ ∑ （b） [ ] 0 0 1 1 ( ) ( 3) 2 1 ( ) 2 1 1 , || 1 1 3 1 3 3 n n n n n n xn n z n z z z z z ξ ε ε ∞ − = ∞ − = − = + = == > − − ∑ ∑ 例6.3 求下列序列的变换，并指出收敛域
CAUCIEE(a) ()()(b) x(n)=2"cosn-6(n)解 (a) ()=(--() (-n-D)+()c(-1)因为[ -]-[]- ]21-3利用微分特性(-)同理[(-]--[司](jy/=k3因此3-k35[x(m)]=7(- (-)(b) x(n)=2"cosn~-6(n)解这类题目常用的方法是将x(1)为成指数函数形式或利用z域尺度变换公式。利用z域尺度变换公式[()]-x()
CIEE CAU （a） | | 1 () | | 3 n xn n = （b） ( ) 2 cos ( ) 4 n x n nn π = ⋅ε 解 （a） | | 11 1 ( ) | | ( 1) ( 1) 33 3 nn n xn n n n n n ε ε − = =− − − + − 因为 1 1 1 11 ( 1) ( 1) 3 33 1 1 1 3 , || 3 3 1 1 3 3 n n n n z z z z z ξε ξ ε − − −= − == > − − 利用微分特性 2 1 1 3 ( 1) 3 1 3 1 3 1 , || 1 3 3 n d nn z dz z z z z ξ ε − =− − = > − 同理 ( )2 1 ( 1) 3 3 3 , ||3 3 n d z n nz dz z z z z ξ ε − − − − =− − = < − 因此 [ ] ( )2 2 1 3 1 3 () , | | 3 3 1 3 3 z z xn z z z ξ = + << − − （b） ( ) 2 cos ( ) 4 n x n nn π = ⋅ε 解这类题目常用的方法是将 x( ) n 为成指数函数形式或利用 z 域尺度变换公式。 利用 z 域尺度变换公式 1 1 ( ) n z ax n X a ξ =
CAUCIE由于x(n)=cos≤n-e(m)5[(m) = X(-)=5[cos=n: (n))2-COs=>12-V22+12-22cos+1所以5[x(m) =5[2"x(m]=x()=X()则(-)≥(=- V2)>1[>2X(=)=2V2=+4()-/2×+1例6.4若0-(1) 0)试确定两个不同的序列，每个序列都有其变换，且满足：(1) Y(=)=[X(a)+X(-)]（2）在平面内，X()仅有一个极点和一个零点。解由于-() s)则，≤[(n)] = Y(2) :1-16--16Y(2*)=公+1+2+云令X(a)==乎
CIEE CAU 由于 1 ( ) cos ( ) 4 x n nn π = ⋅ε [ ] 1 1 2 2 2 ( ) ( ) cos ( ) 4 2 cos 2 4 , | |1 2 1 2 cos 1 4 xn X z n n z z z z z z z z z π ξ ξε π π == ⋅ − − == > − + − + 所以 [ ] () 2 () 1 1 ( ) 2 n z ξ ξ x n xn X Xz = == 则 ( ) ( ) 2 2 2 22 2 2 22 4 2 1 2 2 z z z z X z z z z z − − = = − + − ×+ 1 2 2 z > > 或 z 例6.4 若 1 () () 16 n yn n ε = 试确定两个不同的序列，每个序列都有其变换 ，且满足： （1） [ ] 2 1 ( ) ( ) ( ); 2 Yz Xz X z = +− （2） 在平面内， X ( )z 仅有一个极点和一个零点。 解 由于 1 () () 16 n yn n ε = 则 [ ] 1 1 1 () () , 1 1 16 1 16 16 z yn Y z z z z ξ − == = > − − 2 2 2 1 ( ) 1 11 2 16 4 4 z zz Y z z zz == + − −+ 令 1 1 () , 1 4 4 z Xz z z = > −
CAUCIEEX(=)有零点，==0和极点≥=一，满足条件（2)，且[X(3)+X(-)]--Y(-2)满足条件（1)），所以[x()=(m)-() s(n)为所求的第一个序列。同理，令X,(a)=-京极点==，零点2=0x(0+x(=Y(2*)A(m)=[x()]-(-) c(0)于是[e(mn)和x(mn)=(1-) e(n)(n)为所求的二个序列。例6.5已知X(a)=乎>212-2L-
CIEE CAU 1 X ( )z 有零点， z = 0和极点 1 4 z = ，满足条件（2），且 [ ] 2 1 11 () ( ) 2 2 1 1 4 4 1 2 1 1 4 4 ( ) z Xz X z z z z z z z Y z − +−= − − −− = + − + = 满足条件（1），所以 [ ] 1 1 1 1 () () () 4 n ξ X z xn n ε − = = 为所求的第一个序列。同理，令 2 1 () , 1 4 4 z Xz z z = > + 极点 1 4 z = − ，零点 z = 0 [ ] 2 2 2 1 1 () ( ) 2 2 1 1 4 4 1 2 1 1 4 4 ( ) z z Xz X z z z z z z z Y z − + −= + + −+ = + − + = 则 [ ] 1 2 2 1 () () () 4 n x n Xz n ξ ε − = =− 于是 1 1 () () 4 n x n n ε = 和 2 1 () 1 () 4 n x n n ε = − 为所求的二个序列。 例6.5 已知 1 1 2 1 1 3 () , 2 1 2 z Xz z z z − − − − = > + −