高等院校非数学类本科数学课程：《大学数学》课程PPT教学课件（一）一元微积分学课件 第23讲 微积分的基本公式

定理2若f(x)∈C(ab则F(x)=J/()d在ab 上可导,且 d F(x)=f(dt=f(x)(asxsb 会不会有这样的结论:如果f(x)在点x处连续 则F(x)=J/(0dt在点x处可导,且F(x)=f(x)?

定理 2 f (x) C([a,b]), F(x) f (t)dt [a,b] x a 若  则 =  在 上可导, 且 ( )d ( ) ( ). d d ( ) f t t f x a x b x F x x a  = =    ( ) , 会不会有这样的结论：如果 f x 在点x0 处连续 ( ) ( )d , ( ) ( ) ? 0 0 0 F x f t t x F x f x x a =  = 则  在点 处可导 且

b f(x)在点x处连续即有 b X E>0,36>0,当x∈U(x020)时,|f(x)-f(x0)kE 要F'(x)=f(x2即要 F(x)-F(xo) f(t)d lim f(x0) x→)x X-X x→>x0xX-x ∫f()dt x f(tdt-f(xo)dt f(x0)= X-x x-xo 就是说,我 lf(1)-f(x)|dt<E们猜想的结 论成立

( ) , f x 在点x0 处连续 即有 0, 0, U( , ) , | ( ) ( )| . 0 0     当x x  时 f x − f x   ( ) ( ), 要 F x0 = f x0 即要 ( ). ( )d lim ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 0 f x x x f t t x x F x F x x x x x x x = − = − −  → → ( )d ( )d ( ) ( )d 0 0 0 0 0 0 0 x x f t t f x t f x x x f t t x x x x x x − − − = −    −   −   | ( ) ( ) |d | | 1 0 0 0 f t f x t x x x x 就是说，我 们猜想的结 论成立.  − = b a b a d x

定理3若f(x)∈R(a,b]),且在点x∈a处连续 则F(x)=J(d在点x处可导,且F(x)=f(x) (在端点处是指的左右导数)

定理 3 ( ) ([ , ]), [ , ] , 若 f x  R a b 且在点x0  a b 处连续 ( ) ( )d , ( ) ( ). 0 0 0 F x f t t x F x f x x a =  = 则  在点 处可导 且 (在端点处是指的 左右导数 )

d ex 例(csdy ro costdt=cos x F(x (cosxdx)=? 定积分与积分变量的记号无关 coSxdx)=cos X

例1  =  ( cos d ) x a t t cos d d d  x a t t x = cos x. ( cos d ) = ?  x a x x 定积分与积分变量的记号无关. F(x) ( cos xd x ) cos x. x a  = 