积分上限函数的几何意义 f(x)dx y=f(x) C xx b x 曲边梯形的面积的代数和随x的位置而变化
O x y a x x b y = f (x) 积分上限函数的几何意义 x a f (x)d x 曲边梯形的面积的代数和随 x 的位置而变化
由积分的性质:/(x)dx=」/(x)dx,有 f(tdt=- f(t)dt 所以,我们只需讨论积分上限函数 f(t)dt称为积分下限函数
由积分的性质： ( )d = − ( )d , 有 a b b a f x x f x x ( )d ( )d , = − x b b x f t t f t t 所以，我们只需讨论积分上限函数. ( )d 称为积分下限函数. b x f t t
定理1若f(x)∈R(ab则F(x)=「f(dt∈C(ab]) 证」x∈[ab],且x+Ax∈n61,则 △F(x)=F(x+Ax)-F(x) x+△r x+△x f(tdt- f(tdt f(tdt x 又f(x)∈R([an,b]),故f(x)在[a,b上有界:f(x)|M x+△x x 于是0△F(x)|=|f()dr≤.1f()|dr≤MAx x 由夹逼定理及点x的任意性即可得F(x)∈C(a,b
定理 1 证 f (x) R([a,b]), F(x) f (t)dt C([a,b]). x a = 若 则 x[a,b], 且 x + x[a,b],则 F(x) = F(x + x) − F(x) + + = − = x x x x a x x a f (t)dt f (t)dt f (t)dt 又 f (x) R([a,b]), 故 f (x)在[a,b]上有界：| f (x)| M. F x f t t f t t M x x x x x x x = + + 于是 0 | ( ) | | ( )d | | ( ) | d 由夹逼定理及点x的任意性, 即可得F(x)C([a,b])
定理1说明:定义在区间a,b上的 积分上限函数是连续的 积分上限函数是否可导?
. 1 : [ , ] 积分上限函数是连续的 定理 说明 定义在区间 a b 上的 积分上限函数是否可导?
由F(x+△)-F(x)=」「 +△x f(tdt, 如果f(x)∈C([a,b]),则由积分中值定理得 x+△x F(x+△x)-F(x) f(tdt=f(sAx 在x与x+Ax之间 to lim F(x+Ax)-F(x)= lim/(5)4x △x->0 △x △x △x 条件 这说明了什么? lim f(s=f() △x→>0
( ) ( ) ( )d , + + − = x x x 由 F x x F x f t t 如果 f (x)C([a,b]), 则由积分中值定理, 得 F(x x) F(x) f (t)dt f ( ) x , x x x + − = = + ( 在 x与x + x 之间) x f x x F x x F x x x = + − → → ( ) lim ( ) ( ) lim 0 0 故 lim ( ) ( ) 0 f f x x = = → 这说明了什么 ？ 条件