第五节无穷小量和无穷大量
第五节 无穷小量和无穷大量
一、无穷小量1.定义定义：极限为零的变量称为无穷小量定义1如果对于任意给定的正数8（不论它多么小）总存在正数 （或正数 X），使得对于适合不等式0 < x-x <(或x>X) 的一切 x, 对应的函数值f(x)都满足不等式 f(x)l<8,xx，（或x→0)时为无穷小,那末 称函数f(x)当x记作lim f(x)=0(或lim f(x) = 0)x xox
定义: 定义 1 如果对于任意给定的正数e(不论它多么小), 总存在正数 d( 或正数 X),使得对于适合不等式 < - < d 0 0 x x (或 x > X)的一切 x,对应的函数值 f (x)都满足不等式 f ( x) < e, 那末 称函数 f (x)当 0 x x （或 ）时为无穷小, 记作 lim ( ) 0 ( lim ( ) 0). 0 f x = f x = x x x 或 极限为零的变量称为无穷小量. → → x → → 一、无穷小量 1.定义
例如，·lim sinx=0，：函数sin x是当x→0时的无穷小x-→0 lim = = 0,函数-是当x→时的无穷小x-→0 xx(-1)"(-1)" =0, : 数列(是当n→8时的无穷小: limnn-→00n注意1.无穷小是变量，不能与很小的数混淆2.零是可以作为无穷小的唯一的数
例如, limsin 0, 0 = → x x 函数sin x是当x → 0时的无穷小. 0, 1 lim = x→ x . 1 函数 是当x → 时的无穷小 x 0, ( 1) lim = - → n n n } . ( 1) 数列{ 是当 → 时的无穷小 - n n n 注意 1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆; 2.零是可以作为无穷小的唯一的数
2.无穷小与函数极限的关系lim f(x) = A 踢 f(x)= A+ α(x),定理 1 x富xo其中α(x)是当x 畜 x,时的无穷小.证 设 lim f(x)= A,,令 α(x)= f(x)-A,x→xo:. >0,3S>0,使得当0<x-xo<时恒有f(x)-A<8即有 |α(x)<8
证 lim ( ) , 0 f x A x x = → 设 令 (x) = f (x) - A, 定理 1 lim ( ) ( ) ( ), 0 f x A f x A x x x = 踼 = + 畗 其中(x)是当x 畗 x0时的无穷小. e e d d - < > > < - < f x A x x ( ) 0, 0, 0 0 恒 有 使得当 时 即有 (x) < e 2.无穷小与函数极限的关系:
意义1.将一般极限问题转化为特殊极限问题（无穷小）2.给出了函数f(x)在x,附近的近似表达式证f(x) ~ A,误差为α(x)3.无穷小的运算性质定理2在同一过程中，有限个无穷小的代数和仍是无穷小。设α及β是当x→8时的两个无穷小V ε>0,3X, >0,X, >0,使得
意义 1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小); ( ) , ( ). 2. ( ) 0 f x A x f x x 误差为 给出了函数 在 附近的近似表达式 定理2 在同一过程中,有限个无穷小的 代数和仍是无穷小. 证 设及是当x → 时的两个无穷小, e > 0,X1 > 0,X2 > 0,使得 3.无穷小的运算性质: