第三章鞅与停时 31停时可选时) 设(92,P)为基本概率空间,参数集T或为R=[0,∞)或为Z={012-} 令习,t∈T为一簇上升的σ-域,即对一切s,∈T,s<t,只c习c7 定义31:取值于R=RU{}或Z=Z,U{+∞}上的随机变量r称为(相对 于σ-域兄)停时(可选时)( stopping time or optional time),如果对每个 t∈R,:()≤l}={sl}e7(或者对每个n∈Z,{x≤n}∈元) 对于离散时间的停时有另外一个刻划:τ为停时若对每个 ∈Z,t=n}∈ 以z表示某个随机现象发生的时刻,事件{≤}表示该随机现象在t以前已 经发生,表示到时刻t所已知的信息,若r为停时,即t≤t∈习,表明该随机 现象(相对于σ-域习)是“可观察”的。 例3.1.1:某人在赌博时决定当胜局累计100次时停止赌博,停止赌博的时刻r是 一个随机时间,兄是赌到第n局时赌博者所能掌握的信息,{=n}依赖于前n局 的结果,故{=n}∈,r为停时。 例32:设随机过程XO),∈T样本路径连续,7=0(X(s):ss1),,=∩只。 设A为闭集,令可1=mn∈xO)∈小(约定空集时为+∞),表示过程首次进入 A的时刻,z称为首中时 hitting time),则z对于σ-域习是停时;若A为开集, 首中时工=inf∈rX()∈↓约定空集时为+∞,对于σ-域不是停时,但对 于σ-域习是停时;令r表示过程最后离开A的时刻,则r不是停时
第三章 鞅与停时 3.1 停时(可选时) 设(Ω, F, P) 为基本概率空间，参数集T 或为 = [0,∞) R+ 或为 ， 令 为一簇上升的 Z+ = { } 0,1,2L Ft ,t ∈T σ -域，即对一切s,t ∈T,s < t,Fs ⊂ Ft ⊂ F 。 定义 3.1.1：取值于 R+ = R+ U{+ ∞}或 Z+ = Z+ U{+ ∞}上的随机变量τ 称为(相对 于 σ -域 Ft )停时(可选时) (stopping time or optional time)，如果对每个 { } { } t t ∈ R+ , w:τ (w) ≤ t = τ ≤ t ∈ F (或者对每个n ∈ Z+ { ≤ n}∈ Fn , ) τ 。 对于离散时间的停时有另外一个刻划： τ 为停时若对每个 n ∈ Z+ { } = n ∈ Fn , τ 。 以τ 表示某个随机现象发生的时刻，事件{τ ≤ t}表示该随机现象在 以前已 经发生， 表示到时刻 所已知的信息，若 t Ft t τ 为停时，即{ } t τ ≤ t ∈ F ，表明该随机 现象(相对于σ -域Ft )是“可观察”的。 例 3.1.1：某人在赌博时决定当胜局累计 100 次时停止赌博，停止赌博的时刻τ 是 一个随机时间，Fn 是赌到第n 局时赌博者所能掌握的信息，{τ = n}依赖于前 局 的结果，故 n { } = n ∈ Fn τ ，τ 为停时。 例 3.1.2：设随机过程 X (t),t ∈T 样本路径连续， (X (s) : s t) Ft = σ ≤ ， 。 设 为闭集，令 I s t t s > F + = F A τ A = min{t ∈T X (t) ∈ A}(约定空集时为+ ∞ )，表示过程首次进入 A 的时刻， A τ 称为首中时(hitting time)，则 A τ 对于σ -域 是停时；若 为开集， 首中时 Ft A τ A = inf{t ∈T X (t) ∈ A}(约定空集时为+ ∞ )，对于σ -域 不是停时，但对 于 Ft σ -域Ft+ 是停时；令τ 表示过程最后离开 A 的时刻，则τ 不是停时。 1
Dynkin "random time independent of the future 性质 1.常值时间c为停时,此外若τ为停时,c≥0为常数,则r+c为停时 2.设r1,x2为停时,则1Ar2=min(r,x2),r1z2=max(x,x2)为停时 3.设r1,2为停时,则1+2为停时; 4.设τ1≤τ,≤…≤τ≤…为停时,则r= lim r为停时。 定义312:停时r的前事件σ域7定义为只={4∈只A∩{≤t∈,∈T} 直观上的含义:若随机事件A在时间τ前就知道是否发生,现在到了时间1, 若τ≤t,则当然应该知道随机事件A是否发生 定理31:r是只可测的,且在{=t上,只= 定理312:设ar为停时,则A∈兄→A∩{≤∈7,从而若a≤r则兄 32离散指标鞅 设(2只,P为概率空间,织}为一列单调增的子σ域(代数,即咒 随机变量序列{xn}称为对于织}是适应的 adapted),若对任意n,a(Xn)c, 即X是元可测的。对于随机变量序列{xn},总可以找到与之适应的单调增的 列σ域兄,此σ域兄称为一个“筛选”( filtration)例如取=σ(X0。X1…Xn) 若Xn对于单调增的又是适应的,我们用偶序对(Xn只)表示。称{xn}对于织}是 可预料的( predictable),若对任意n,X是n可测的 定义32.1:适应随机过程{Xn,n,n≥0},称为是鞅( martingale),如果对任意n
Dynkin “random time independent of the future” 性质： 1. 常值时间c 为停时，此外若τ 为停时，c ≥ 0 为常数，则τ + c为停时； 2. 设 1 2 τ ,τ 为停时，则 ( ) 1 2 1 2 τ ∧τ = min τ ,τ ， ( ) 1 2 1 2 τ ∨τ = max τ ,τ 为停时； 3. 设 1 2 τ ,τ 为停时，则 1 2 τ +τ 为停时； 4. 设τ 1 ≤ τ 2 ≤ L ≤ τ n ≤ L为停时，则 n n τ τ →∞ = lim 为停时。 定义 3.1.2：停时τ 的τ 前事件σ -域Fτ 定义为Fτ = {A∈ F：AI{τ ≤ t}∈ Ft ,t ∈T}。 Fτ 直观上的含义：若随机事件 A在时间τ 前就知道是否发生，现在到了时间t ， 若τ ≤ t ，则当然应该知道随机事件 A是否发生。 定理 3.1.1：τ 是Fτ 可测的，且在{τ = t}上，Fτ = Ft 。 定理 3.1.2：设σ,τ 为停时，则 A∈ F ⇒ A { ≤ }∈ Fτ σ τ σ I ，从而若σ ≤ τ 则Fσ ⊂ Fτ 。 3.2 离散指标鞅 设(Ω,F, P)为概率空间，{Fn }为一列单调增的子σ -域(代数)，即 ， 随机变量序列 称为对于{ 是适应的(adapted)，若对任意 ， Fn ⊂ Fn+1 {X n } Fn } n X n ⊂ Fn σ ( ) ， 即 X n 是Fn 可测的。对于随机变量序列{Xn }，总可以找到与之适应的单调增的一 列σ -域Fn ，此σ -域Fn 称为一个“筛选”(filtration)。例如取 ( , , ) Fn = σ X0 X1 LX n 。 若 对于单调增的 是适应的，我们用偶序对 表示。称{ 对于{ 是 可预料的(predictable)，若对任意n ， 是 可测的。 X n Fn ( , ) X n Fn } } Xn Fn } X n Fn−1 定义 3.2.1：适应随机过程{X n ,Fn ,n ≥ 0 ，称为是鞅(martingale)，如果对任意n ， 2
Exn<∞且E(xm|)=xn。若E(xm1)≥xn,则称为下鞅 (sub-martingale) 若E(xn|)≤xn,则称为上鞅( super-martingale)o 显然,Y为鞅当且仅当它既是下鞅又是上鞅;若X为下鞅等价于-X,为 上鞅。 例321:设,F,…为任随机变量,X为随机变量且EH<∞。令 只=a(…1),Xn=E(x…y)=E(x2),则x相对于又为鞅。 基本性质 1){Xn,},{n}为鞅,则对任意常数ab,{aXn+by,}为鞅 2){xn}为鞅,则对任意m≤n,E(xn|)=X 3){Xxn,只}为鞅,则对任意n,EXn=EX0; 若{Xn只}为鞅,且对任意n,EX2<∞,则对任意≤m≤n, E(Xn-Xn)X1=0;此外对任意m≤n, E(Cx, -(am)=E(X:m) 定理3,2.1:Doob- Mever下鞅分解定理(sub- martingale decomposition theorem) 设{Xn只n,n≥0}是下鞅,则X可以唯一分解为Xn=Mn+An,其中Mn为鞅,An 是可预料的增过程(A0=0)。 证明:令an=E(xn)-xm≥0,令4=0,A=∑a为可测的,故A是 可预料的增过程。令M,=X-A,易证M,是鞅。往证分解唯一性。若 Xn=Mn+A1n=Mn+An,则Mn-Mn=An-An。一方面Mn-M"为鞅,故 E(Mn-Mf"an)=Mn1-Mn1,令一方面Mn-Mn=n-An为可测,故 E(Mn-M7-)=Mn-M",因此
E X n < ∞且 ( ) E X n+1 Fn = X n 。若 ( ) E X n+1 Fn ≥ X n，则称为下鞅(sub-martingale)； 若 ( ) E X n+1 Fn ≤ X n，则称为上鞅(super-martingale)。 显然， 为鞅当且仅当它既是下鞅又是上鞅；若 为下鞅等价于 为 上鞅。 X n X n − X n 例 3.2.1 ： 设 Y0 ,Y1 ,L 为任随机变量， X 为随机变量且 E X < ∞ 。 令 ( , ) Fn = σ Y0 LYn ， ( ) ( ) X n = E X Y LYn = E X Fn , 0 ，则 X n 相对于Fn 为鞅。 基本性质： 1) { } X n ,Fn ，{Yn ,Fn }为鞅，则对任意常数a,b，{aXn + bYn ,Fn }为鞅; 2) {X n ,Fn }为鞅，则对任意m ≤ n， ( ) E X n+1 Fm = X m ； 3) {X n ,Fn }为鞅，则对任意n ， EXn = EX0； 4) 若 {X n ,Fn } 为鞅，且对任意 n ， EXn 2 < ∞ ，则对任意 l ≤ m ≤ n ， E(X n − X m )Xl = 0 ；此外对任意m ≤ n， ( ) ( ) 2 2 2 ( ) E X n − X m Fm = E X n Fm − X m。 定理 3.2.1：Doob-Meyer 下鞅分解定理(sub-martingale decomposition theorem) 设{X n ,Fn ,n ≥ 0}是下鞅，则 X n 可以唯一分解为 X n = M n + An，其中 为鞅， 是可预料的增过程( )。 M n An A0 = 0 证明：令 ( ) 0 an = E X n Fn−1 − X n−1 ≥ ，令 A0 = 0， 为 可测的，故 是 可预料的增过程。令 ∑= = n k An ak 1 Fn−1 An M n = X n − An ，易证 是鞅。往证分解唯一性。若 ，则 M n X n M n An M n An = + = ′ + ′ M n M n An − An − ′ = ′ 。一方面 M n − M n ′ 为鞅，故 ( ) −1 −1 −1 − ′ = − ′ E M n M n Fn M n M n ，令一方面 M n M n An − An − ′ = ′ 为 Fn−1 可测，故 ( ) E M n M n n M n M n − ′ = − ′ F −1 ，因此 3
A0-A=0 33Doob可选定理及鞅的收敛 X,T≥n 设r为取非负整数值的停时,令xn=Xmm)=、x·称为随机过程Xn 在r处停止过程 引理331:设{xn}是鞅,则{xn,}也是鞅 定理331:Do0b可选停止定理( optional stopping theorem)设{xn元}是鞅,若 r≤aas为两个有界停时,则E(xm)=x, 证明:由于r≤σas.为有界停时,设一个上界为K =∑lmE(xk)=∑l=x,=X 同理E(Xk)=x1。注意到只c兄。故 (x17 =EE(xx)z)=(xxz)=x, 一般来说,停时有界的条件是不可缺少的。但如果{Xn}一致可积,则对任何两 个停时r≤aas,都有E(x)=x1, 定理3.2:( Doob optional sampling theorem)设{xn,n}是鞅, h≤1≤…≤tn≤…为非降有界停时,则{}是鞅。(X,称为 optional sampling process) 给定区间[a,序列X=(X1,…Xn)上穿[ab]区间的次数记为N°若 X=(X1,…Xn)为随机序列,则N2也是随机变量。 引理331:Doob上穿不等式( up-crossing inequality)设为{xn}下鞅,则
M n − M n ′ = M n−1 − M n ′ −1 = L = M 0 − M 0 ′ = A0 ′ − A0 = 0。 3.3. Doob 可选定理及鞅的收敛 设τ 为取非负整数值的停时，令 ，称为随机过程 在 ⎩ ⎨ ⎧ < ≥ = = X n X n X X τ n n τ n τ τ τ , , min( , ) X n τ 处停止过程。 引理 3.3.1：设{X n ,Fn }是鞅，则{ n } τ X n , F 也是鞅。 定理 3.3.1：Doob 可选停止定理(optional stopping theorem ) 设{X n ,Fn }是鞅，若 τ ≤ σ a.s.为两个有界停时，则 ( ) E Xσ Fτ = X τ 。 证明：由于τ ≤ σ a.s.为有界停时，设一个上界为 K 。 ( ) { } { } ( ) { } ( ) { } ( ) σ { } σ σ σ σ σ σ σ σ I E X I X X E X E X I E X I E X I K i i i K i i K i K i K i i K i K i K i K K i = = = = = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = = = = = = 1 1 1 1 1 F F F F F 同理 ( ) E X K Fτ = X τ 。注意到Fτ ⊂ Fσ。故 ( ) ( ( ) ) ( ) E Xσ Fτ = E E X K Fσ Fτ = E X K Fτ = X τ 。 一般来说，停时有界的条件是不可缺少的。但如果{X n }一致可积，则对任何两 个停时τ ≤ σ a.s.，都有 ( ) E Xσ Fτ = X τ 。 定 理 3.3.2 ： (Doob optional sampling theorem) 设 {X n ,Fn } 是鞅， t1 ≤ t2 ≤L ≤ tn ≤ L 为非降有界停时，则 { } n n Xt Ft , 是鞅。( 称为 optional sampling process) n Xt 给定区间 ，序列 上穿 区间的次数记为 。若 为随机序列，则 也是随机变量。 [a,b] ( , ) X X1 LX n r = [a,b] ( ) [ , ] n N a b ( , ) X X1 LX n r = ( ) [ , ] n N a b 引理 3.3.1：Doob 上穿不等式(up-crossing inequality) 设为{X n ,Fn }下鞅，则 4
EN(M),(O)s E(x-a)*-E(X-a) b-a 定理333:D00b下鞅收敛定理设{X,n}下鞅且 supEx川<,则存在几乎处 处有限的随机变量记为X。,使得P(lmXn=X)=1。从而若{xn,}为非负鞅, 则以概率1的有lmX,存在且有限 例3.31:(赌徒输光问题)一个赌徒参加公平的赌博,即若X是赌徒在n局之后 的赌金,=0(X0,X1…xn)为赌徒在n局后所掌握的信息,则{Xn兄}是鞅 现假设不能赊钱,且每一局至少赢或输1元。令N=min{n:Xn=xmn},表示赌 徒被强迫退出时已赌的局数。由于{xn}为非负鞅,由收敛定理,以概率1的 有 lim X存在且有限。又由于若N>n,则m-X≥1,因此P(N<a)=1 也就是以概率1赌徒最终要输光 34连续指标鞅 设(2只,P)为概率空间,}为一族单调增的子σ-代数,即若s<t,则 只c习;对任意t,X()为可测的,则称随机过程X()对于}是适应的 (adapted)o 定义341:随机过程{X(,120称为鞅,若对任意t,EX()<∞,且对任意 s<t,E(x())=X() 在一定条件下,前面离散指标鞅的一些定理可以平移到连续指标鞅的情形
b a E X a E X a EN X n n a b − − − − ≤ + + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 [ , ] r 定理 3.3.3：Doob 下鞅收敛定理 设{X n ,Fn }下鞅且 n < ∞ n sup E X ，则存在几乎处 处有限的随机变量记为 X ∞ ，使得 (lim = ∞ ) = 1 →∞ P X n X n 。从而若{X n ,Fn }为非负鞅， 则以概率 1 的有 n 存在且有限。 n X →∞ lim 例 3.3.1：(赌徒输光问题)一个赌徒参加公平的赌博，即若 是赌徒在n 局之后 的赌金， ) X n ( , , Fn = σ X0 X1 LX n 为赌徒在 局后所掌握的信息，则{ 是鞅。 现假设不能赊钱，且每一局至少赢或输 1 元。令 n Xn ,Fn } N = min{n : X n = X n+1}，表示赌 徒被强迫退出时已赌的局数。由于{X n ,Fn }为非负鞅，由收敛定理，以概率 1 的 有 n 存在且有限。又由于若 ，则 n X →∞ lim N > n 1 X n+1 − X n ≥ ，因此 。 也就是以概率 1 赌徒最终要输光。 P(N < ∞) = 1 3.4 连续指标鞅 设 (Ω,F, P) 为概率空间，{Ft }为一族单调增的子σ -代数，即若 ，则 ；对任意 t ， 为 可测的，则称随机过程 对于{ 是适应的 (adapted)。 s < t Fs ⊂ Ft X (t) Ft X (t) Ft } 定义 3.4.1：随机过程{X (t),Ft ,t ≥ 0}称为鞅，若对任意t ，E X (t) < ∞，且对任意 s < t ， E( ) X (t) X (s) Fs = 。 在一定条件下，前面离散指标鞅的一些定理可以平移到连续指标鞅的情形。 5