线性代数 - 相似矩阵

定理4n阶方阵A与对角矩阵相似（A能对角化)的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量证必要性若n阶方阵A与对角阵N相似则存在可逆矩阵P.使P-1AP= Λ =

定理4 n阶方阵A与对角矩阵相似 (A能 对角化)的充分必要条件是A有n个线性无关 的特征向量. 证 必要性 若 n 阶方阵A与对角阵                   = n  2 1 相似,则存在可逆矩阵P,使                  =  = n  2 1 P A P -1

将P按列分块,得P=(P,P,...,P)其中P,P，,P,是矩阵P的n个列向量，把AP-PA改写成M2A(P,P,,P)=(P,P,,P(AP,AP2,,APn) =(2,P,22P,.,2nP所以AP,=>,Pj故P,(j=1,2,,n)是A的特征值入,所对应的特征向量因为P可逆,所以P,P,,P,线性无关即P,P，,P,是A的n个线性无关的特征向量

将P按列分块,得 ( ) 1 Pn P P , P ,  , = 2 把AP=PΛ改写成 A(P1 , P2 ,  , Pn ) =                  n  2 1 (AP 1 ,AP 2 ,  ,AP n ) = ( ) 1 1 n Pn P , P , ,  2 2   ( ) 1 Pn P , P ,  , 2 所以 AP j =  j P j 故P j ( j =1,2,  ,n)是A的特征值 j所对应的特征向量， , , , , , 因为P可逆 所以P1 P2  Pn线性无关 , , , . 即P1 P2  Pn是A的n个线性无关的特征向量 其中 是矩阵 的 个列向量， P , P , , P P 1 2 n n

充分性：若A有n个线性无关的特征向量P,P2,…,Pn,则AP, =>;Pj(j= 1,2, ..,n)令P=(P,P，,P),则P为可逆矩阵因为 AP=A(P, P2,, Ph)=(AP,AP2,,APn)=(2,P,22P2,..,2nPn

充分性: 向量 则 若 有 个线性无关的特征 , , , , P1 P2 Pn A n  ( j =1,2,  ,n) 因为 AP = ( ) 1 AP n AP ,AP ,  , = 2 ( ) 1 1 n P n P , P , , =  2 2   AP j =  j P j ( ), . 令P = P1 , P2 ,  , P n 则P为可逆矩阵 ( ) 1 P n A P , P ,  , 2