)加法结合律的归纳证明 (0.4) (a+b)+c=a+(b+c) 对于c作归纳证明:在起始的c=1时,上式就是加法的归纳定义式 即(0.1)-式。再者,我们归纳地设(0.4)-式对于c成立,从而去论证 (0.4)式对于(c+1)也因而成立。其证明如下 (a+b)+(c+1)=(a+b)+c)+1 加法定义式 +(b+c)+1 [归纳假设 =a+(b+c)+1)[加法定义式 a+(b+(c+1) 加法定义式 (i)分配律的归纳证明 (0.5) m·a+n·a=(m+n)·a 对于n作归纳论证:在起始的n=1时’(0.5)-式就是定义式(0.2)。而 (0.5)-式的归纳论证如下: ma+(n+1)·a=m·a+(n:a+a) [乘法定义式] (m·a+n·a)+a[加法结合律] (m+m)·a+a [归纳假设] m+n)+1]·a [乘法定义式 m+(n+1)]·a[加法定义式 i)l指数定则am·an=am+n)的归纳论证 在起始的n=1时’ma=am就是定义式(0.3)。对于n的归纳 论证如下: (m+n)+1_m+(n+1) 总听,自然数系的加丶乘和乘方运算都是由在丶在原始的「+1比 运算,较细初合而析者,而(0.1)是0.2)和(0.3)-式分别是问们的归
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纳定义式。关于这三种基本代数运算的一系列运算律,则可以逐步 地以上述三个归纳定义式为起点,加以归纳证明之!这样就建立起 运算律普遍成立这个代数学的基础。这也就是我们学习基础代数学的 首务之要:代数学的探源与奠基工作 接著让我们来谈一谈这些简朴的运算律的用场与用法。概括地说 运算律的用场在于它们是解答各种各样代数问題的基本工具,而其多 彩多姿的用法也就是我们将要逐步介绍其梗概的种种代数方法。其实 学习代数学’就是要学会善用运算律去有效丶有系统地解决多种多 样的代数问题。再者,多彩多姿的代数方法则当然是随著代数问题的 拓展与深化而亦步亦趋地发展起来的;新的代数问题往往激发起新的 代数方法·而新的代数方法又可以把更多样的代数问題得以系统地理 解并且把代数学应用的领域得以拓展。整个代数学就是这样地蓬勃开 展起来的。长话短说,下面就让我们先对代数问题和代数方法作一个 简短的初步介绍 0.2代数问题和代数方法简介 代数问題的范畴既广且深’这里只举几种初等的类型为例。它们在 代数学的启蒙与奠基阶段’则扮演著重要的角色 0.2.1解代数方程式的基本原理和未知数符号之引入 同学们在小学时学习算术’在初中时进而学习代数。在数学的发展 史中·代数乃是由算术进步而得者。现在让我们来剖析一下,从算术 到代数的进步’其要点何在?突破点何在?回顾当年’在小学算术中 所学的四则应用題,如年龄问题、鸡兔问题等等·大体上来说,当时 是通过对于每一类型的问题详加分析,各别地求得其所针对的公式来 加以解答的。但是到了初中代数’这些多样的四则题统统都可以用简 单的线性方程组加以解答。其中究竟使了什麼「巧妙」呢?骤看起来 其妙处好像在于引进了「未知数」符号( unknown)。例如在鸡兔问题 中·可以用x,y分别表示「兔数」与「鸡数」;则所给问题中的数量
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关系可以列成两个方程式’即 a ty 数 4x+2y=足数 在算术中虽然不用x,y这种符号,却也可以同样地写下 兔数十鸡数=头数 4×兔数+2×鸡数=足数 由此可见·到此为止’代数和算术根本是毫无本质上的差别。其实 代数解法的真正妙处并不在于引进未知数符号和列方程式’而是在于 能够由代数方程去解得未知数所应有的值!现在让我们以头数、足数 分别是15和38为例,来分析一下代数解法和算术解法的差别何在 (i)代数解法:用第一式解得y=15-x,代入第二式即得 用分配律将上式简化·即得 4x+30-2x=2x+30=38 2x=38-30=8 (i)算术解法:若笼中全部是鸡(即15只),则足数应为2×15=30。 今逐一以兔换鸡’则头数保持不变而足数则每次增加2。由此可见’要 使得足数由30增加到38’所需做的更换次数是(38-30)÷2=4。这 样就求得兔数 【比较分析】:在代数解法中,我们用运算律和「移项」即可解得x, y所应有之值(化未知为已知!)。而在算术解法中,老师其实早已 中有式」即 兔数=(足数-2×头数)÷2 然後再用上述这样一套「说词」来解释其合理性。这里也许同学们会 那麼老师『心中有式』的上述公式究竟是如何想到的 事大致有两种途径其一是用代数方程求解而得,即 →2x+2(a-x)=b
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其二是由实验归纳而得,即 兔数鸡数|足数 1a-12a+2 32a+6 上面所讨论的虽然只是一个简单的实例,但是我们已经可以看到两种解 法的真正区别是:在算术中未能有效利用运算律;而代数则有系统地用 运算律去简化给定的数量关系’从而化未知为已知。要把这个区别认识 得更加清楚一些·请同学们再回想一下’在小学时学习算术四则运算, 是不是有一个口诀:「先算小括号’再算中括号,然後算大括号。」 总之’在算术四则中’括号是由里及外,逐步去括号来加以计算的,是 不?这种算法在括号中含有未知量时,例如4x+2·(15-x)=38,就行 不通了:而在代数中我们可以用分配律把2.(15-x)改写成30-2x 这叫做「穷则变’变则通!」 上述「变则通」的原理如下:在算式中的未知数在尚未解出其应 有之值之前,虽然不知其值为何·但肯定是一个数’所以那种对于 任何数皆普遍成立的运算律是肯定可用的。其中最为有力者是分配律 它使得算式中的括号可去、可加,不会因为某一括号中含有未知量 而「受阻」。这也就是解代数方程式的基本原理!这才是算术与代数 真正的分野 可以这麼说,在算术年代,是没学会用分配律的「石器时代」;到 了代数’则进步到大用运算律(特别是分配律)的「铜器时代」。在 这里’我们还要再谈一谈「引进未知数符号」这个措举的真正好处和 由上述分析可见’解代数方程式的基本原理在于系统地用运算律 把含有未知量的算式加以简化、分析。引进符号如 等来表达未 知量的做法就是要把上述原理具体化丶形象化;亦即未知数就是那种 在运算上满足运算律的符号。这样做·就使得我们在对于「未知量」 使用运算律时「有的放矢」(未知数符号是「的」·运算律是「矢 」)·运用起来自然更能得心应手,是不?再者「代数」这个名词
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类顾名启蒙类乃扮因重色0以2号代1未解代等等色0数法在代代 式中的泛运原而理未名知也号之类色0数法真入同处在时术理对时 中0中进史乃代由现剖的从物何未解代丶突代丶破回由代等等类顾年 乃的放矢所运原运四如类理以入规龄丶由兔龄号在中式代代中大式的 烋通式运四过扮色每数法的史详形式号 在中式代代分别中类式求的针公懺体公单体通式运四类之过 扮程乃针每铖或体每单使什2号的四式之麼的运四号巧妙」数「公骤 的2号的本看过扮处好在运四像引足运四如但知对时符何代号(n 成n的现单号例何k每体通式的乘。扮原w配如把处)时针通式的 乘之和式x,四类而针通式的乘。则扮原乘法的y换如、结表如和 示代回则x,四的号以体通式本看像过扮史乃运四如的2号大量表 而成的代代式号处好之麼的代代运四类测过扮对时色妙2号运原运四 如大顾数的形式运四号例何 (x+1)(x-1)=x2-1 3+x2+x+1)(x-1)=x4-1 (x+y)3=x3+3x2y+3 (x+y)4=x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4,等等 从下一章开始类我好将会乃由兔所研讨针公体通式的基础理论类而处 的一每重要应原则扮处重微w式提供了基础;微W式的本看过扮对时 每可微函代描述未体通式函代的局部逼近号 0.22韩信点兵法,善用分配律的启蒙者 在代由的运四如之中类W配如扮唯一连结加、乘色k0基本运四知 号)本究源类配如起源时「乘乃扮自相加的复表骤色每「乘的本看骤 而且处本身又纳明义要所总结了加、乘之麼的。联代代式中类我 好对时大乃运四如当然三基W本代所一起运原类运扮未中以W配如的 重重要、乃一类而且处的原系和原法像也特律乃,究号在很体基本代 代问可的研讨像类扮以顾年善原w配如逐逐过扮成步的。地号色
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