§12随机变量的重要分布 1.一维离散型随机变量的重要分布 (1)零-壹分布:如果一维离散型随机变量 X只取数值0和1,分布律为 PX=0}=1-p,PX=1}=p,式中的0p<1 则称X服从参数为p的零壹分布,记作 X~B(1,p) 数字特征EX→p,D(X)=p(1-p) 注意:B(1,p)的分布律又可记作 P{X=x}=px(1p)1,式中的x=0或1
§1.2 随机变量的重要分布 1. 一维离散型随机变量的重要分布 （1）零-壹分布：如果一维离散型随机变量 X只取数值0和1，分布律为 P{X=0}=1-p, P{X=1}=p, 式中的0<p<1， 则称X服从参数为p的零-壹分布，记作 X～B (1 , p)。 数字特征E(X)=p，D(X)=p(1-p)。 注意： B (1 , p)的分布律又可记作 P{X=x}= p x（1-p）1-x , 式中的x=0或1
(2)二项分布:如果一维离散型随机变量 X的分布律为P(X=x}=4-x) px(1-p)n-x, 式中的0<p<1,x=0,12,…,n,则称X服从参 数为p的二项分布,记作X~B(m,p) 二项分布是 Berno研究重复独立试验所 引出的一个很重要的分布 很显然,当m=1时,参数为p的二项分布便 是参数为p的零壹分布。 数字特征E(X=mp,D(X)=np(1-p)
二项分布是Bernoulli 研究重复独立试验所 引出的一个很重要的分布。 很显然，当n=1时，参数为p的二项分布便 是参数为p的零-壹分布。 数字特征E(X)=np，D(X)=np(1-p)。 (1 ) , !( )! ! { } x n x p p x n x n X P X x − − − 的分布律为 = = 式中的 0<p<1，x=0,1,2, , n ，则称X服从参 数为 p 的二项分布，记作 X～B (n , p)。 （2）二项分布：如果一维离散型随机变量
与二项分布有关的结论: ① Bernoulli大数定律:当X是n次重复独立试 验中某事件出现的次数,p是该事件出现的 概率时,X服从二项分布B(n,p)。 对于任意给定的正数E,总有 lim Pia-pksej n→0 此定律说明了频率的稳定性,即n充分大 时,频率在概率p的附近摆动,是用频率 作为概率的理论根据
1 {| − | } = → l im P p n X n 此定律说明了频率的稳定性，即n充分大 时，频率在概率p的附近摆动，是用频率 作为概率的理论根据。 ① Bernoulli大数定律: 当X是n次重复独立试 验中某事件出现的次数，p是该事件出现的 概率时，X服从二项分布B（n，p）。 对于任意给定的正数ε，总有 与二项分布有关的结论:
②B(1,p)与B(n,p):当X1、X2、…、Xn 相互独立且都服从B(1,p)时 Y=X1+X2+…+Xm服从B(m,p) ③可加性:当Y与Z相互独立且依次服从B (m,p)及B(m,p)时, Y+Z服从B(m+n,p) 证明:用到B(1,p)与B(m,p)及B(n,p)的关系 当X1、X2、…、Xm、Xm+1、Xm+2、…、 Xm+n相互独立且都服从B(1,p)时 Y=X1+X+…+Xm服从B(m,p) Z=Xm1+Xm+2+…+Xm+n服从B(m,p), Y与Z相互独立,Y+Z服从B(m+n,p)
证明：用到B (1, p)与B (m, p)及B (n, p) 的关系。 当X1、X2、 、Xm 、Xm+1、Xm+2、 、 Xm+n相互独立且都服从B (1, p)时， Y= X1+X2+ +Xm服从B (m , p)， Z= Xm+1+Xm+2+ +Xm+n服从 B (n , p)， Y与Z相互独立，Y+Z服从B (m+n , p)。 ② B (1 , p)与B (n , p): 当X1、X2、 、Xn 相互独立且都服从B (1, p)时， Y=X1+X2+ +Xn服从B (n , p)。 ③ 可加性: 当 Y 与 Z 相互独立且依次服从 B (m , p)及B (n , p)时， Y+Z服从B (m+n , p)
2.一维连续型随机变量的重要分布 正态分布:如果连续型随机变量X的分布密度 P(x)=k-expf-i( >0 时,称X服从参数为p及a2的正态分布, 记作X~N(u,a2) 当μ=0,a2=1时称X服从标准正态分布,记作 X~N(0,1)。这时X的分布密度 p(x)= 2丌 -00<X<∞
( ) exp{ ( ) }, 0 2 2 1 2 1 = − − x p x 时，称X服从参数为 的正态分布， 记作 X～N ( ) 。 2 及 2 , 2. 一维连续型随机变量的重要分布 正态分布：如果连续型随机变量X的分布密度 0, 1 2 = = ( ) , , 2 2 2 = 1 − − p x e x x 当 时称X服从标准正态分布，记作 X～N (0,1) 。这时X的分布密度