《线性代数》课程教学资源（习题全解）第四章 向量组的线性相关性

第四章向量组的线性相关性 1.设v=(1,1,0)2,V2=(0,1,1),v 4,0)y, 求v1-v2及3v1+ 解v1-v2=(1,1,0)-(0,1,1 =(1-0,1-1,0-1)=(1,0,-1) 3v1+2v2-v3=3(1,1,0)+2(0,1, (3,4,0)7 (3×1+2×0-3,3×1+2×1-4,3×0+2×1-0 (0,1,2) 设3(a1-a)+2(a2+a)=5(a3+a)其中a1=(2,51,3) a2=(10,1,10),a3=(4,1,-1,1),求 解由3(a1-a)+2(a2+a)=5(a3+a)整理得 a=2(3a1+2a2-5a3)=3(23)+2(10,5,10)-5(4,,-1,1) (1,2,3,4) 3.举例说明下列各命题是错误的 (1)若向量组a1,a2…,an是线性相关的则a1可由a2,…an,线性表示 (2)若有不全为0的数λ,气2,…,n使 A1a1+…+nan+A1b1+…+nbn=0 成立,则a1…,an线性相关,b1,…bn亦线性相关 (3)若只有当1,2,…,无n全为0时等式 1a1+…+mm+b1+…+λnbm=0 才能成立则a1,…,an线性无关b1,…,bn亦线性无关 (4)若a1,…,an线性相关,b,…,bn亦线性相关则有不全为0的数, λ,,2,…,使a1+…+几nam=0,气b1+…+几bn 同时成立 解(1)设a1=e1=(1,0,0,…,0) a =( 满足a1,a2,…,an线性相关但a1不能由a2,…,an,线性表示 (2)有不全为零的数λ,2,…,n使 气a1+…+nam+A1b1+…+nbn=0 原式可化为

1 第四章 向量组的线性相关性 1．设 T T T v (1, 1, 0) , v (0, 1, 1) , v (3, 4, 0) 1 = 2 = 3 = , 求 1 2 v − v 及 3 1 2 2 3 v + v − v . 解 1 2 v − v T T = (1, 1, 0) − (0, 1, 1) T = (1 − 0, 1 − 1, 0 − 1) T = (1, 0, − 1) 3 1 2 2 3 v + v − v T T T = 3(1, 1, 0) + 2(0, 1, 1) − (3, 4, 0) T = (31 + 2 0 − 3, 31 + 21 − 4, 3 0 + 21 − 0) T = (0, 1, 2) 2．设 3( ) 2( ) 5( ) a1 − a + a2 + a = a3 + a 其中 T a (2,5,1,3) 1 = , T a (10,1,5,10) 2 = , T a (4,1, 1,1) 3 = − ,求 a 解 由 3( ) 2( ) 5( ) a1 − a + a2 + a = a3 + a 整理得 (3 2 5 ) 6 1 a = a1 + a2 − a3 [3(2,5,1,3) 2(10,1,5,10) 5(4,1, 1,1) ] 6 1 T T T = + − − T = (1,2,3,4) 3．举例说明下列各命题是错误的: (1)若向量组 a a am , , , 1 2  是线性相关的,则 1 a 可由 , , a2 am 线性表示. (2)若有不全为 0 的数    m , , , 1 2  使 1a1 ++ mam + 1b1 ++ mbm = 0 成立,则 a am , , 1  线性相关, b bm , , 1  亦线性相关. (3)若只有当    m , , , 1 2  全为 0 时,等式 1a1 ++ mam + 1b1 ++ mbm = 0 才能成立,则 a am , , 1  线性无关, b bm , , 1  亦线性无关. (4)若 a am , , 1  线性相关, b bm , , 1  亦线性相关,则有不全为 0 的数,    m , , , 1 2  使 1a1 ++ mam = 0,1b1 ++ mbm = 0 同时成立. 解 (1) 设 (1,0,0, ,0) a1 = e1 =  a2 = a3 == am = 0 满足 a a am , , , 1 2  线性相关,但 1 a 不能由 , , , a2  am 线性表示. (2) 有不全为零的数    m , , , 1 2  使 1a1 ++ mam + 1b1 ++ mbm = 0 原式可化为

A1(a1+b1)+…+n(am+bn)=0 取a b 其中e1,,en为单位向量,则上式成立而 a1,…,an,b1,…,b均线性相关 (3)由孔1a1+…+nan+1b1+…+见nbn=0(仅当1=…=n=0) →a1+b1,a2+b2…,an+b线性无关 取a = 0 取b,…,b为线性无关组 满足以上条件但不能说是a1,a2…,an线性无关的 (4)a1=(1,0)a2=(2,0)b=(0,3)b2=(0,4) λ1a1+2a2=0→A1=-2λ2 b+2b2=0→A子}→=2=0与题设矛盾 4.设b=a1+a2b2=a2+a3,b=a3+ab4=a4+a1,证明向量组 b1,b2,b3,b线性相关 证明设有x1,x2,x3,x使得 x,b,+x,b,+xb+x,,=0 y x1(a1+a2)+x2(2+a3)+x3(3+a)+x4(4+a1)=0 (x1+x4)1+(x1+x2)a2+(x2+x3)3+(x3+x4)4=0 (1)若a1,a2,a3,a线性相关则存在不全为零的数k1,k2,k3,k4, k1=x1+x4;k2=x1+x2;k3=x2+x3;k4=x3+x 由k1,k2,k3,k4不全为零知x1,x2,x3,x4不全为零,即b,b2,b,b线性相 关 +x4=0 001x (2)若a1,a2,a3,a线性无关则+x2=01100x2=0 +x3=00110x x2+x1=0(001 100 由 =0知此齐次方程存在非零解 0110 则b1,b2b3,b线性相关 综合得证

2 1 (a1 + b1 ) ++  m (am + bm ) = 0 取 m m bm a1 = e1 = −b1 ,a2 = e2 = −b2 ,  ,a = e = − 其中 m e , ,e 1  为单位向量,则上式成立,而 a am , , 1  , b bm , , 1  均线性相关 (3) 由 1a1 ++ mam + 1b1 ++ mbm = 0 (仅当 1 == m = 0 )  a + b a + b am + bm , , , 1 1 2 2  线性无关 取 a1 = a2 == am = 0 取 b bm , , 1  为线性无关组 满足以上条件,但不能说是 a a am , , , 1 2  线性无关的. (4) T a (1,0) 1 = T a (2,0) 2 = T b (0,3) 1 = T b (0,4) 2 =      + =  = − + =  = − 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 4 3 0 0 2         b b a a  1 = 2 = 0 与题设矛盾. 4．设 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 1 b = a + a ,b = a + a ,b = a + a ,b = a + a ,证明向量组 1 2 3 4 b ,b ,b ,b 线性相关. 证明 设有 1 2 3 4 x , x , x , x 使得 x1b1 + x2b2 + x3b3 + x4b4 = 0 则 x1 (a1 + a2 )+ x2 (a2 + a3 )+ x3 (a3 + a4 )+ x4 (a4 + a1 ) = 0 (x1 + x4 )a1 + (x1 + x2 )a2 + (x2 + x3 )a3 + (x3 + x4 )a4 = 0 (1) 若 1 2 3 4 a ,a ,a ,a 线性相关,则存在不全为零的数 1 2 3 4 k ,k ,k ,k , k1 = x1 + x4 ; k2 = x1 + x2 ; k3 = x2 + x3 ; k4 = x3 + x4 ; 由 1 2 3 4 k ,k ,k ,k 不全为零,知 1 2 3 4 x , x , x , x 不全为零,即 1 2 3 4 b ,b ,b ,b 线性相 关. (2) 若 1 2 3 4 a ,a ,a ,a 线性无关,则        + = + = + = + = 0 0 0 0 3 4 2 3 1 2 1 4 x x x x x x x x 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 4 3 2 1 =                              x x x x 由 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 = 知此齐次方程存在非零解 则 1 2 3 4 b ,b ,b ,b 线性相关. 综合得证

5.设b=a1,b2=a1+a2,…,b=a1+a2+…+a,且向量组 a1,a2,…,a,线性无关证明向量组b,b2,…,b,线性无关 证明设k1b1+k2b2+…+kb=0则 (k1+…+kn)a1+(k2+…+k,)a2+…+(kn+…+k,)n+…+k,an=0 因向量组a1,a2,…,a,线性无关故 k1+k2+…+k=0 k1)(0 k2+…+k=001 1‖k 0 k,=0 0 因为 =1≠0故方程组只有零解 0 则k1=k2=…=k=0所以b1,b2,…,b线性无关 6.利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组: 25311743 11221 759453132 0215-1 759454134 203-13 25322048 25311743 25311743 759453132/2-3 n|0123 解(1) 759454134 方0 25322048Jh-n(0135 25311743 0123 r-20013 0000 所以第1、2、3列构成一个最大无关组

3 5．设 b1 = a1 b2 = a1 + a2  br = a1 + a2 ++ ar , , , ,且向量组 a a ar , , , 1 2  线性无关,证明向量组 b b br , , , 1 2  线性无关. 证明 设 k1b1 + k2b2 ++ krbr = 0 则 (k1 ++ kr )a1 + (k2 ++ kr )a2 ++ (k p ++ kr )a p + + krar = 0 因向量组 a a ar , , , 1 2  线性无关,故        = + + = + + + = 0 0 0 2 1 2 r r r k k k k k k                   =                             0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 2 1           kr k k 因为 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 =          故方程组只有零解 则 k1 = k2 == kr = 0 所以 b b br , , , 1 2  线性无关 6．利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组: (1)               25 32 20 48 75 94 54 134 75 94 53 132 25 31 17 43 ; (2)               − − − 1 1 0 4 1 2 0 3 1 3 0 2 1 5 1 1 1 2 2 1 . 解 (1)               25 32 20 48 75 94 54 134 75 94 53 132 25 31 17 43 4 1 3 1 2 1 3 3 ~ r r r r r r − − −               0 1 3 5 0 1 3 5 0 1 2 3 25 31 17 43 3 2 4 3 ~ r r r r − −               0 0 0 0 0 0 1 3 0 1 2 3 25 31 17 43 所以第 1、2、3 列构成一个最大无关组

02 (2) 1301 25= 0215 13 0-2-1-51 00-22-2 阝分>F4 000 200 2 2520 所以第1、2、3列构成一个最大无关组 7.求下列向量组的秩并求一个最大无关组: 2 (= 10 8 (2)a1=(1,2,1,3),a2=(4,-1,5,-6),a3=(1,-3,-4,-7). 解(1)-2a1=a3→a1,a3线性相关 12 由a 9100104~108219-32 2-42 8 0000 秩为2,组最大线性无关组为a,a2 4-1-5-6 0-9-9-18 1-3-4-7 0-5-5-10 0-9-9-18 0000 秩为2最大线性无关组为a1,a 8.设a1,a2,…,an是一组n维向量已知n维单位坐标向量e1,2,…,en能 由它们线性表示,证明a1,a2…,an线性无关 证明m维单位向量e,e2,…,en线性无关

4 (2)               − − − 1 1 0 4 1 2 0 3 1 3 0 2 1 5 1 1 1 2 2 1 4 1 3 2 1 ~ r r r r − −               − − − − − − 0 0 2 2 2 0 2 1 5 1 0 2 1 5 1 1 1 2 2 1 3 4 3 2 ~ r r r r  +               − − − 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 0 2 1 5 1 1 1 2 2 1 ， 所以第 1、2、3 列构成一个最大无关组． 7．求下列向量组的秩,并求一个最大无关组: (1)               − = 4 1 2 1 1 a ,               = 4 10 100 9 2 a ,               − − − = 8 2 4 2 3 a ; (2) (1,2,1,3) 1 = T a , (4, 1, 5, 6) 2 = − − − T a , (1, 3, 4, 7) 3 = − − − T a . 解 (1) 1 3 1 3 − 2a = a  a ,a 线性相关. 由           − − − − =           2 4 2 8 9 100 10 4 1 2 1 4 3 2 1 T T T a a a           − − 0 0 0 0 0 82 19 32 1 2 1 4 ~ 秩为 2,一组最大线性无关组为 1 2 a ,a . (2)           − − − = − − −           1 3 4 7 4 1 5 6 1 2 1 3 3 2 1 T T T a a a           − − − − − − 0 5 5 10 0 9 9 18 1 2 1 3 ~           − − − 0 0 0 0 0 9 9 18 1 2 1 3 ~ 秩为 2,最大线性无关组为 T T a1 a2 , . 8．设 a a an , , , 1 2  是一组 n 维向量,已知 n 维单位坐标向量 n e ,e , ,e 1 2  能 由它们线性表示,证明 a a an , , , 1 2  线性无关. 证明 n 维单位向量 n e , e , , e 1 2  线性无关

不妨设 k1④1+k +k,a k,1a1+k,a,+…+k,a en=kn1a1+kn2④2+…+kman 12 k1 所以 k 两边取行列式,得 ku k 由21≠0→|≠0 knI k 即n维向量组a1,a2,…,an所构成矩阵的秩为n 故a1,a2,…,an线性无关 9.设a1,a2,…,an是一组n维向量证明它们线性无关的充分必要条件 是:任一n维向量都可由它们线性表示 证明设6,E2,…En为一组n维单位向量,对于任意m维向量 a=(k1,k2,…,k)则有a=E1k1+E2k2+…+Enkn即任一n维向量都 可由单位向量线性表示 必要性 →a1,a2,…,an线性无关,且a1,a2,…,an能由单位向量线性表示,即 1=k1E1+k12E2+…+k1nE C,=k,E,+k,E,+…+k,,E, Cn=kn1+kn,E2+…+kn,E atk k k 故 kk en 两边取行列式,得

5 不妨设: n n n nn n n n n n e k a k a k a e k a k a k a e k a k a k a = + + + = + + + = + + +     1 1 2 2 2 21 1 22 2 2 1 11 1 12 2 1 所以                             =               T n T T n n nn n n T n T T a a a k k k k k k k k k e e e          2 1 1 2 21 22 2 11 12 1 2 1 两边取行列式，得 T n T T n n nn n n T n T T a a a k k k k k k k k k e e e          2 1 1 2 21 22 2 11 12 1 2 1 = 由 0 0 2 1 2 1    T n T T T n T T a a a e e e   即 n 维向量组 a a an , , , 1 2  所构成矩阵的秩为 n 故 a a an , , , 1 2  线性无关. 9．设 a a an , , , 1 2  是一组 n 维向量,证明它们线性无关的充分必要条件 是：任一 n 维向量都可由它们线性表示. 证明 设 n  , , , 1 2  为一组 n 维单位向量，对于任意 n 维向量 T a k k kn ( , , , ) = 1 2  则有 a k k nkn =  +  ++  1 1 2 2 即任一 n 维向量都 可由单位向量线性表示. 必要性  a a an , , , 1 2  线性无关，且 a a an , , , 1 2  能由单位向量线性表示，即 n n n nn n n n n n k k k k k k k k k             = + + + = + + + = + + +     1 1 2 2 2 21 1 22 2 2 1 11 1 12 2 1 故                             =               n T T T n n nn n n T n T T k k k k k k k k k a a a             2 1 1 2 21 22 2 11 12 1 2 1 两边取行列式，得