起点’加国证明加有之!独到样就建·普成学是础们也是我们习剖务 样要韩探起兵源与’奠成学是工作接加让有来谈重我些样要加囯朴馀 用场与沁h御解影郇而采h角稱绍方 础们先实之实之!引人会善样去有效有决再,工者汉相当样再然 韩探是拓展样深化方有之亦拓展发;韩探样新营·往工兵又点把 有更得理并兵工且应方韩探整蓬并兵们先勃开长人之话短下之人之话 及下面人之话先对和小话,初0.2馀代数问话和长是和下之短下 面於人小话样人作法点·然勃他便可开快速地明出并兵样确切作目方 例如,工话长人小话时馀代3人,话下之人小话时馀代4人,话下面 人小话时馀代8人,韩探很快便明出其确切作目是1984人:其勃用 之!跟是之!起样费时作源确认了人作正是1984·往且决加更包括之 些由拓展暗加吩咐混会并兵们加样作理近卫新’开防韩探事前已知道 并兵作目样可问些方故事础们学只有到普里,也是让础们来讨接点述 骅韩探起兵源与背勃样作学内涵方 韩探起兵源工作学方面样分务效 设α为并兵作目,则决x除开7短1短3时样馀作便分别是3短 4题称馀作对为法,4,8钙方方首先我注意,点述条件初数可唯 之地确用α样值,但若两作x与x′让有相同样馀作对,则两者样 差别乃是之!7×11×13=1001样倍作方因此,韩探很容易学可 开选用其加最也近粗估其人作把为2000样那!x为答案方 榴设x1短?短3分别是开法,0,0绍短,1,0绍短,0,1绍为馀作对往且小 于1001样解方根据假设x1是11×13=143样倍作,即x1=143·m 数锥求出=5,即得x1=715方同场,x2=7×13·v2=91·y2, v2=4,即得x2=364:x3=7×11·y3=77·,y=12,即得 x3=924方普些x1短2短3便是韩探预先早已明妥记得样有 和竹与方 漾搁跟是由分配律可直也得出r1·x1+n2·x2+r3·x3样馀作对便是 法,r2,n3绍其加0≤r1<7,0≤r2<11,0≤r3<13方工点述例子 加法,r2,r3绍法,4,8绍所开韩探很快便问明出x样值是1984方 括
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韩信点兵法的基本想法和启示 现在让我们来剖析一下「韩信点兵法」的基本想法和这样一个成功 范例所展现的启示 基本想法:在求解剩馀问題时·当馀数之中只有一个是1·其他皆为 0的特殊情形·不但容易解答’而且可以用这一系列特殊解’把一般 情形的解答简洁地用下述公式表达之。设π1,π2,,丌k是对于给定 组公因数为1(亦即互质)的除数{a1,(2,…,ak},其馀数组分别是 (1,0,…,0),(0,1,0,…,0),…,(0,…,0,1)的特殊解,则 乃是一个馀数组是(r1,r2,……,rk)的解。而且任何以(r,T2,……,Tk)为馀 数组的解和上述x相差一个a1(2…k的整数倍。上述公式(0.6)之所 以普遍成立的理由就是分配律。由分配律可见r;π;被α;除的馀数是r; 而且x-7:;=∑)被a1除的馀数是0(因为每一个r,≠都 含有因子α;)。由此可见’上述算法的基本思想就是善用分配律’把 剩馀冋题的一般情形·直截了当地归于易解好算的特殊情形来系统解 答之。 有鉴于韩信本人乃是楚汉相争时代的大将军’在此不妨借用军事术 语来比喻上述基本思想:假如我们把剩馀问題看做「战场的全局」的 话’则那些特殊馀数组的解就是能够简明扼要地控制全局的「战略要 点」。所以上述分解组合由特殊解去全局控制一般解的想法,的确展 现了韩信在认识问題丶解决冋题上的「大将之风范」σ他给後学後进 的一般性启示大致如下 当我们在研讨某一种问題,不宜拘泥也不必局限于原给的 问題’而是要把它放到恰到好处的广度和范畴之中去处理 唯有这样才有可能把同类的问题妥加组织(例如在剩馀问题 中由分配律的运用所得的(0.6)-式),然後再用这种组织去 实现分解组合系统解答的战略思想。」 然·如何对于某一种问题把其相应的广度和范畴选得恰到好处和 如何把所选定的全局妥加组织乃是密切相关的。此事一来随著待解的 问题而定·二来也有赖于解题者对于该问題的认识深度而定,所以无
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一系特列律则问系可以軎逐步上述归为起点,中加自证有证之系 独为到样就建立普律学是问础们之就是我们习问首务律得可探兵 源与奠兵善间建工作’,源攥艇馀础们之述可法C点首概血说它解答各 首概问步这可m立普而它善其答各立普步彩姿系将兵介答各立普律梗 方先实引人就建会普善去有答各丶点掬然托初然些律这引新营述往 激归又,为起点,会把中得理彩并建可且中应会普律有方域’述归整 且点,中可且勃开长系就建话短得归步 下及面先这可对并逐律是问和答各、点建为到小一营述初0之,就 是我们2兵代数法数们答各立普步有这法题就是我们2兵代答各立普 建为到和一源思方律法然归他便可快一中速是体现丶短明目理之例达 得时淋漓尽致」步将其础’激归,习答各、点建起1时9律当:答各 点建为到和一律新乃起源跟中认古算建时华且一」步 更鼬吩量混数卫事已知质的故里来 面先讨述背建并逐1和明方是我们归、点,面建面理各步又体 面其和是我们归、点,中建为到面理各述分自证,相当明为建律上述 是我们归则何,中,础们除系为到面理各律善述梗7为有易见建方步长 别短和御空间中简每且可学称可础向,距建移动h如[注著锵但问 去有可且若移h若两移动建短它问步就时若两′同者特理」h乃即可 且′同者×系可对对同若两方,长善引=可对对同,若两方,长问 即是0明讨且若移建首概倍特因述可且若移h见[注著阐飼步 最粗 [注著涤唯 础理’是0讨且若移建首概述是案换建律即2021源21022恒解 础可若移步问面述事新解为起律自证是问简若移建首概于解若移 吾间建时一」步有方简域小解可法根系和向解据建假律它善解 咔位移向假」律往後将就述即体·丁y母如a莎求,例但位移向假步
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B [图0-2 接著我们还可以引进一个向量的倍积( Scalar Multiplication),即k·a 在k是正(或负)实数时乃是那个和a同向(或反向)而且其长度则 是a的|倍的位移向量。例如正整数倍n·a其实就是n个a自相加 的总和,分数倍皿·a其实就是那个唯一满 n·X=m·a 的向量。由 上述倍积的定义’不难看到它满足下列运算律·即 k1·(k2·a)=(k1k2) (k1+k2) k1·a+k2 但是另外一个分配律,即 k·(a+b)=k·a+k·b 是否也成立呢?如[图03]所示”其实和上述分配律相应的几何事实就 是平面几何中极为重要有用的相似三角形定理!所以不但上述倍积分 配律是普遍成立的·它本身根本就是相似三角形定理的代数化 个位移向量a同时具有长度和方向这样两种内含。我们将用 表示a的长度,用∠a,b)表示a,b这一对向量的方向差,亦即两者 之间的夹角。在平面几何学的研讨中,三角形是既精且简的基本图形
➱❄✃ ✃ ➱ ➱✃ ❐✃ ✃ ❐ ❐✃ ❒➶❮❱❰ÐÏ➎Ñ➞Ò Ó✹Ô✌Õ✠Ö❸×✹Ø❸Ù❪Ú✔Û✹Ü✌Ý❸Þ❁ß✎à✶á✌â✑ã❉ä➮åçæéèêæéë❼ì→í➎èïî➪ðòñ➎èòðòåçæóî➪ðòôöõø÷úù↔ûPüúýÿþ ü✂✁☎✄✝✆✟✞✡✠☞☛✍✌✏✎✒✑☎✓✒✁☎✔✖Ý✖✕ þ✖✗❪Þ✘✆✟✞☎✙✫Þ✚☛✜✛✣✢✥✤✒✦✏✧✩★ ✁ þ à✫✪ ü✬✪ Ïá✤à✏✭✯✮✦Þ✼ß✱✰✳✲✯✴✵✄✷✶✖✎☛á✹✸ ýçþ✺✤☞✌✼✻✒✁✽✸✔Ý þ✩✾❀✿✖❁ à✵❂❃✕ ù❅❄✵✎✰á❇❆❈✲ý➏þ❉✤☞✌❊✻❋✁☎✔❸Ý❍●✖Ü✥■✖❏❑✸ ý▼▲✺◆☎❖❾ý➏þ✔à❸Þ☛ß❑✰◗P ❘✵❙ á✹â✄à❍❚✥❯▲ù❲❱☎❳❩❨✒❬✥❭✖■✖❏✵❪✵❫❍❴✯❵☎❛✑ù♥û ü❝❜ ý➮ã❉ü❡❞ ýÐþø÷❢◆✄ã❉ü❝❜ ýóü❡❞ÿ÷ ýÐþ ã❉ü❝❜❤❣✶ü❡❞ÿ÷ ýÐþ✐◆✖ü❝❜ ýÐþ❥❣✶ü❡❞ ýÐþ ❦☞✁✷❧❊♠✖Ü✆Ý❩❄✥♥❃❛ ù û ü ý➮ã þ❲❣✍♦ ÷♣◆❪ü ýÐþ❲❣✶ü ý▼♦ ✁❍q✣r❩s✯t❍✉✇✈①✴ ❒⑦❮❳❰ÐÏ③②óÒ⑤④✷⑥ ù⑦✤❋✌✍✕ ❘❩❙ ❄✵♥❊❛❩✿❍⑧✤à❍⑨✼⑩❷❶✵✌✍✻ ✁✯❸❋❹❩⑨✏⑩❻❺✍❼✩❽✒❾❍❿❩➀✩➁✎à✣✿❩➂❷➃❋➄✏➅✩❚✖➆➈➇ ④ Ù☎❱✣❦ ❘✥❙ á✎â❋❄ ♥❃❛❋✁✣➉✵➊✯s✵t✎à➌ù➋❭❊➌☞➍➏➎✵➌✯✻✒✁❃✿✖➂☞➃✷➄➏➅❋❚✣➆✤à☎➐✯✎❍➑➒➇ þ ü♥ýçþ ♦ ü♥ý➓♦ þ❲❣✍♦ ü ýÐþ❲❣✶ü ý▼♦ ❒➶❮❱❰ÐÏ③② Ò Ü✖Ý✖✭✷✮✁Þ☛ß þ❩✗☎✑❩➔✯➀☞✦❊✧ ✕☞→❸Þ ➣✖↔✚↕✏➙➜➛➏➝➞✰ Õ✌Ö✒➟☞➁➈✪ þ⑤✪ ➠ ⑥ þ✠à✷✦☎✧ ù➡➁✫➢❇þ➥➤➦♦ ÷ ➠ ⑥ þ➥➧✬♦❩➣❸Ü✯➨✦Þ❪ß✤à✥→❾Þ❍➩ ù➭➫✎û✩↕✏➯ ➲➵➳ à✯➸✒➄➺✰ ❸✒❹❩⑨✏⑩➼➻✹à➏➽❋➾➚❺❙ù❥➃✒➄✏➅☞✁✯➪❩➶✵✢➵➹❪à✣➘✥➌ ❮ ➅ ➴➷➴ð➴
用向量来表达三角形,则它的三个有向边就可以分别表达成a,b和 a+b。由平面几何中所熟知的S.s.S.叠合条件可见夹角∠a,b)业已被 其三边边长|al,|bl,la+b|所唯一确定(亦即馀弦定律)。再者’中国 古算中的勾股定理可以改写成 若∠ab)=直角,则有|a+b2=|a2+|b)i 在一般a,b并非互相垂直的情形则|a+b2-|a|2-|b|2≠0。例如 a=b的特殊情形,则有 a+bl b2=4a|2-|l|2-|a|2=2al|2 总之·对于任给两个位移向量a,b,下述函数 (0.7) f(a,b)=5a 是一个值得研讨的几何量。例如∫(ab)=0乃是a,b互相垂直的充要 条件,而且f(a,a)=|a2。所以它显然是一个和a,b的长度、夹角都 密切相关的几何量。但是归根究底(0.7)-式所定义的几何量是否真正有 用丶好用’还得要看它是否具有简洁好用的优良性质σ它显然具有对 称性’即∫(ab)=∫(b,a)’而详加研讨的结果会发现它其实还具有下 述简洁易算的性质·即 (0.8) f(a, b+c)=f(a, b)+f(a,c) 上述几何量将是用向量去研讨几何广泛有用的有力工具。在向量代数 中,我们索兴把它想成是一种由两个向量求得一个数值的一种乘积 叫做向量的内积( (Inner Product)而且改用符号a.b表达之,亦即以 (0.7) a b=5la+b|2-la)-[) 为向量内积的定义式。这样做的基本原由就是使得性质(0.8)-式可以直 截了当地改写成 (0.83) a(b+c=a.b+ac 这种分配律的形式’使得它运用起来能够更加得心应手。 XXX
➬➋➮✷➱✣✃✒❐✣❒✵❮✥❰✷Ï❊ÐÒÑ①Ó✥Ô❍Õ❩❰❩Ö❍×☞➱❃Ø❩Ù✒Ú❋Û✏Ü✥Ý✖❒✥❮✯Þàß➥áãâ❊ä ß❥å✼â➏➬◗æ☎ç✷è❍é❊ê➜ë✼ì✒í✖î✒Õàïñðòïñðòïñðôó➏õ➵ö❊÷✒Ú✷ø✖ù✷Ï➺úûß➥ü➦âþý❲ÿ✁✄✂ ☎ ❰☎Ø❩Ø✝✆✟✞ ß✠✞òá✠✞ â✡✞òá☛✞ ß å✂â✡✞ ì✌☞✎✍✑✏✓✒✕✔✗✖✙✘✛✚✢✜✙✒✤✣✦✥➵➬★✧✪✩✫Ñ➭ë✬✫ ✭✙✮ ë❃Õ✓✯✱✰✝✒✳✲✒Ú✒Û✪✴✌✵✣Þ ✶ úûß➥ü➦âþý✸✷✝✹✵Ï Ñ❲Ó☎×✺✞ ß❥å✍â✡✞ ✻✼✷✽✞ ß✠✞ ✻þå✙✞ â✡✞ ✻ ✾ ✍✳✿ ß➥á❤â✎❀❂❁✌❃✌❄✢❅✢✹✷Õ✙❆✯Ð✡Ó❇✞ ß➋å❊â✡✞ ✻✗❈ ✞ ß✠✞ ✻✗❈ ✞ â✡✞ ✻❊❉✷✽❋➭➬❍●✝■❑❏ ß▲✷❃â✖Õ◆▼✙❖❂❆❍Ð Ñ❥Ó✣× ✞ ß❲å✍â✡✞ ✻ ❈ ✞ ß✠✞ ✻ ❈ ✞ â✡✞ ✻✼✷✤P◗✞ ß✠✞ ✻ ❈ ✞ ß✠✞ ✻ ❈ ✞ ß✠✞ ✻✼✷✪❘❙✞ ß✠✞ ✻ ❚✑❯ Ñ❲❱✎❳◆❨✽❩❭❬❃Ö✤❪✎❫❷➱❃✃ ß➥á â✏Ñ★❴✬❵✢❛✤❜ ❝❡❞ ß➥ü➦âþý✸✷✁❢❘❡❣ ✞ ß❥å✍â✡✞ ✻ ❈ ✞ ß✠✞ ✻ ❈ ✞ â✡✞ ✻✐❤ ❞ ❋③ð❦❥❡ý ❧ ✍✯Ö✳♠✪♥✙♦✝♣✩Õ✯é❊ê❋✃❑➬q●✎■ ❝❡❞ ß➥ü➦âþý✸✷✪❋sr ❧ ß➥áãâ✤❃✪❄✽❅✽✹✯Õ✬t✬✉ ö❊÷ÒÑ✇✈✳① ❝❡❞ ß➥ü➦ßãý✗✷②✞ ß✠✞ ✻ ➬ ì➵Û✯Ô✎③✙④ ❧ ✍✵Ö❍ä ß➥á➥â❩Õ❂✆◆⑤⑦⑥➋ù❋Ï⑨⑧ ⑩✳❶ ❄②❷☎Õ❩é➏ê✒✃à➬❹❸ ❧✢❺✱❻②❼⑨❽ ❞ ❋③ð❦❥❡ý❿❾☛➀❊ì✽✒✌➁❍Õ❩é➏ê✒✃ ❧✪➂✙➃✪➄ × ➮➅⑥q➆✡➮✹Ñ★➇✳♥❭✉✙➈✡Ô ❧✌➂✌➉ ×✁➊✤➋◆➆✡➮✥Õ✤➌➎➍➐➏✢➑✹➬➭Ô✎③✙④ ➉ ×✎❱ ➒ ➏✘Ñ➓✘ ❝❡❞ ß➥ü➦âþý✼✷ ❝❡❞â ü➦ßãý⑦Ñ➔✈✤→✬➣✬♦✝♣☞Õ✌↔❂↕✪➙❂➛✙➜✡Ô ☎❭➝ ➇ ➉ ×✽❴ ❵❭➊✑➋✓➞ ✮ Õ✑➏✝➑✹Ñ➟✘ ❝❡❞ ß➥ü➦â å➡➠➷ý➢✷ ❝❡❞ ß➥ü➦âþý❤å ❝❡❞ ß➥ü➤➠➷ý ❞ ❋③ð ➥ ý ➦ ❵✒é✏ê☞✃✙➧ ❧ ➮✒➱☎✃✬➨✳♦✢♣❷é✏ê❭➩✎➫❩×✩➮✵Õ✖×✝➭✬➯ ➉ ➬ ✾ ➱☎✃✌➲❂❜ ë✽Ñ❍➳✪➵➺➸✤➻✙➼➼Ô✌➽❍Þ ❧ ✍✬➾➵æ✎❬✣Ö☞➱✣✃✓➚⑨♥②✍✵Ö✌❜✙♠❷Õ✬✍✙➾✢➪✤➶ Ñ ➹➡➘ ➱❃✃✥Õ❭➴➷➶ ❞➮➬✃➱❐➱❐❒❰❮ÐÏ➢❮ÒÑÔÓ❐Õ❐ÖØ× ý➟✈✤①✢✴❩➮✤Ù✝Ú ß✇Û➓â✏❒✵❮ ❯ Ñ➔✖✙✘✷Û ❞ ❋ÝÜ❦❥ßÞ ý ß✇Û▼â➷✷à❢❘➢❣ ✞ ß❥å✍â✡✞ ✻ ❈ ✞ ß✠✞ ✻ ❈ ✞ â✡✞ ✻ ❤ á ➱❃✃à➴✄➶☞Õ✙✒❂➁✬➀ ➬ãâ✑ä ➘ Õ✑å✬æ✬ç☞æ✼Ù ❧⑨è♥✌➏✽➑ ❞ ❋ÝÜ ➥ ý❿❾☛➀☎Ú✒Û✤✹ é➺ê ❏ìë✢✴✎✵❃Þ ❞ ❋ÝÜ ➥✐Þ ý ß✇Û ❞â å➡➠➷ý➢✷✣ß✇Û➓â å✍ß➔Ûß➠ â✳➾✥Ü✽í✑✣✩Õ✏Ð❭➀àÑ è ♥✡Ô✳î✥➮✛ï❷❐✬ð◆ñ✢ò➡➣✌♥✢ó✳ô✝õà➬ ö÷ö÷ö