基础数学讲义之二 《基础几何学之一》 定性与定量平面几何,立体几何基础论 项武义 香港科技大学数学系
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目录 0.1基本概念和基本结构 0.2平面上的次序与分隔 0.3对称性 0.4平行性 连结丶分隔与对称——定性平面几何 1.1等腰三角形的特徵性质 1.2定性平面几何中的常用基本事实 1.3例題和习題 15 二平行性与定量平面几何基础理论 2.1平行性和三角形内角和 22平行性、平行四边形和面积公式 2.3中国古代的定量几何 2.4不可公度性的发现与克服 2.5例題和习题 圆与三角学 47 3.1正弦、馀弦函数的基本性质 48 3.2三角定律 3.3习题 60 空间中的平行与垂直 4.1平直性与平行 111
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4.2对称性与垂直 4.2.1垂直平分线与平面上的反射对称 4.2.2立体几何中的作图题 4.2.3空间反射对称性与垂直投影
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引言—空间的基本概念与基本结构 几何学乃是人类理性文明’对于我们和大自然中的万物万象共存 于其中的空间的「认识论」。宇宙中的所有事物皆存在于其中、发生 于其内’当然也永远受著空间本质的制约与蕴育。几何学的课题也就 是去研究丶理解空间的本质’它是我们研讨大自然丶理解大自然的自 然起点和基石所在;它也是整个自然科学的启蒙者和奠基者,是理所 当然的第一科学。不论在自然科学的发展顺序上,或在全局的基本重 要性上,几何学都是当之无愧的先行者与奠基者,也是种种科学思想 和方法论的自然发祥地。它源远流长,历经数千年世代相承精益求精 的研究和逐步逐阶的进展,至今依然根深干粗’篷勃拙壮。在现今廿 世纪,它会继续是开拓新知的有力工具,而自然科学的拓展又必然 对于空间几何学的理解深度和广度提出新的要求和问题。总之自然科 学和几何学的进展是密切相关丶相辅相成的。伽利略( Galileo)曾说 「上帝必定是一个几何学家( God must be a geometer)°」其所指也许就 是上述自然科学和几何学之间的自然结合 自古到今’几何学的研究在方法论上大体可以划分成下述几个阶段 (1)实验几何:用归纳实验去发现空间之本质 (2)推理几何∶以实验几何之所得为基础’改用演译法’以逻辑推理 去探索新知’并对于已知的各种各样空间本质’精益求精地作系 统化和深刻的分析。在这方面,古希腊文明获得了辉煌的成就 它也是全人类理性文明中的重大篇章 (3)坐标解析几何:笛卡儿( Descartes)和费玛( Fermat)通过坐标系的 建立’把当代数学中的两大主角——几何学和代数学——简明有力
à á âãâ ä å æ çèéê ë çè ì í î◆ï③ð❩ñ❹ò✼óõô❩ö❍÷ùø❙úüûþý✾ÿ✁✄✂✆☎✞✝✠✟☛✡✞☞✍✌✏✎✏✑✆✎✓✒✕✔✗✖ ÿ✗✘✙☞✕✌✛✚✏✜✢✌✤✣✦✥★✧✏✩✫✪✭✬✯✮✏✰★☞✱✌✱✲✁✳✆✴✕✑✶✵✷✖✍✸Pÿ✏✘✞☞✭✹✻✺✛✼ ÿ✗✘✓✽❚û✿✾❀✡✍❁★❂✏❃✛❄✕❅✞✚✏✜❇❆★❈❉✌✗❊❉❋✁●✍❍✛■❏✬ î❴ïõð✏✌▲❑✏▼★❁✗◆ ò✱❖✢P✫◗❘✹❃ö✁❙✞✚✏✜✢✌✱❆✛❈ û❯❚✛ò✢✍✂✄P✛❱❲✝❳✟✿✡❨✹❃ö✁❙❩✝❳✟❬✡✁✌❭✟ ✡✕❪✶❫❴☎✏❵✁❛✏✲✄✸❝❜❞❚✕❁❙ò✗❡✗❢✠✟❬✡✢❣❹ð✗✌✕❤✞✐▲❥✗☎✆❦✱❵❉❥ û ò✱ö✏✲ ✾❀✡❉✌✛❧✕♠✢❣❹ð♥✬♣♦✱✩✄✸♥✟❬✡✱❣❹ð✗✌✄✺✢q✁r✗s★t û✈✉✇✸✆①✏②✛✌✕❵✁❆❩③ ④ ÷★t û î❴ïõð✇⑤ùò✓✾☛⑥❲⑦✱⑧✛✌✁⑨✕⑩✁❥❩●✄❦✱❵✁❥ û❶❁✾ò✱❷✁❷✗❣❹ð✏❸✗❹ ☎✆❺★❻▲✩❩✌❭✟❬✡✗✺✢❼❉❽❾✬✯❚✢❿✏❃❉➀✁➁ û➃➂✛➄✄➅✗➆✏➇✁➈✏➉✄➊★➋✏➌❉➍✛➎✕➌ ✌❴P➏◗❇☎✁➐✛➑✢➐➓➒✄✌✢➔✍q❝û♣→✇➣❉↔✛✡✢↕✆➙✄➛✍➜ û❶➝✏➞✍➟★➠➡✬➢✸❉➤✗➣✁➥ ♠✄➈❩➦❭û❯❚✕➧✁➨❉➩✐ò✢➫✄➭✁➯❉➲✛✌✢✳★➳✗➵✁➸ û♣➺❳✟✿✡✱❣❹ð✗✌✱➭✗q✞➻✄➼✗✡ ý✐ÿ❲✚✏✜✼î❴ïõð✏✌✱ö✁❙★➙✢➽✏☎✛➾✢➽✄➚➶➪➹➯❩✌ ④ ➎▲☎✓➘❀▼➴✬➬➷✕⑥➮✟❬✡✱❣ ð▲☎❙î❴ïùð✗✌✱➔✍qPò✁➱✢✃✢➊➓❐❘✹➃➊★❒✢➊★❮❉✌♥✬➃❰★Ï✕Ð❝ÑÓÒ❶ÔÖÕØ×ØÕØÙÛÚÝÜ✈Þ❀ßáà ✣ât✁ã✢➼✱ä✛ò✕♠✍❢✺îïPð✄å➮ÑÓÒ➃Úçæéè✻êìëîíðïñÙ➢ÔóòôÙÛÚôè❯ÙõíöÙÛ÷øÜù✬✯✪❀✘✕✲✱ú✗❁✱û✍◆ ò✱t✗ü✠✟ý✡▲❣Pð❇☎❙î①ï❹ð▲⑥❲✜✱✌❳✟þ✡✗ÿ✁❾✬ ✟✄✂✆☎❇➣✘û❃îï❙ð✢✌ P✙◗✸★❺✗❻❴✩✄t❉✝✞✝✠✟✠✡☞☛✍✌✢❮✏✎✢ü✺î✱❢✁➒✒✑ à Ñ✔✓ Ü✞✕✗✖Pî①ï à✙✘✛✚✢✜✣✕✗✖✁❖✁✺✢➤➓✚✗✜✷⑥✗❆❉❈♥✬ Ñ✥✤ôÜ✄✦✈ö❁î①ï à✧✡★✕✗✖❹î①ï★⑥✗✲✆✩✛✪✱❵✬✫ û✮✭✏✘★✯✱✰✞❻❡û✲✡☞✳✏✴✏✦✈ö ❖✆✵✷✶✇➯✁➲✘û✹✸✼ý✐ÿ✻✺ ➲★✌✍✼✏❷✬✼✾✽✙✚✗✜❇❆❉❈üû➃➌✁➍✛➎▲➌✄❽✏✿❁❀ ❂✾❃ ☎✆➙✆❄★✌✆✌✍❅ ✬ ✸✛❆✏❺✠❇❡û✹✂✏❈✍❉❙ø❁ú❋❊✁✩❍●❏■★❑✛✌✢❮✍◆ û ❚▲❁✐ò✢①✱óPô❏ö❩÷✾ø❍ú★☞▲✌✗③✗✝✍▲◆▼♥✬ ÑP❖ Ü✗◗✢❘✏❙❋❅Pî①ï à❚❙✁❯✬❱♥ÑP❲➢ÙÛë❨❳ ÔÖ÷îíöÙÛëøÜ ☎❬❩✱❭ ÑP❪ÙÛ÷èéÔí Ü❴❫✬❵✠◗✞❘✻❀❇✌ ❛★❜ û❞❝❭✾✿➉✄➅✐ð★☞✇✌◆❡✱✝❋❢✠❣✱❤✐❤❁îï❹ð❇☎✏➉✄➅✐ð☞❤❥❤❬❦✱ú✇✳✏➳ ❧