《线性代数》课程教学资源（习题全解）第二章 矩阵及其运算

第二章矩阵及其运算 1.已知线性变换: 2y1+22+y 3y1+y2+5 x3=3y1+2y2+3y3, 求从变量x,x2,x3到变量y,y2,y3的线性变换 解 J 由已知:x2=|315y2 x3)(323人y J 7-49y J 7 4x2+9x 7 y3=3x1+2x2-4x3 2.已知两个线性变换 2y1+y y1=-3x1+z2, x2=-2y1+3y2+2y3, y2=2z1+3, 求从,2,到x,x2,x的线性-z2+3 4y1+y2+5y 解由已知 VI 201Y-3 232 232‖201 13 21 12-49‖z 10-116

1 第二章 矩阵及其运算 1．已知线性变换：      = + + = + + = + + 3 2 3 , 3 5 , 2 2 , 3 1 2 3 2 1 2 3 1 1 2 3 x y y y x y y y x y y y 求从变量 1 2 3 x , x , x 到变量 1 2 3 y , y , y 的线性变换． 解 由已知：                     =           2 2 1 3 2 1 3 2 3 3 1 5 2 2 1 y y y x x x 故                     =           − 3 2 1 1 2 2 1 3 2 3 3 1 5 2 2 1 x x x y y y                     − − − − = 3 2 1 3 2 4 6 3 7 7 4 9 y y y      = + − = + − = − − + 3 1 2 3 2 1 2 3 1 1 2 3 3 2 4 6 3 7 7 4 9 y x x x y x x x y x x x 2．已知两个线性变换      = + + = − + + = + 4 5 , 2 3 2 , 2 , 3 1 2 3 2 1 2 3 1 1 3 x y y y x y y y x y y      = − + = + = − + 3 , 2 , 3 , 3 2 3 2 1 3 1 1 2 y z z y z z y z z 求从 1 2 3 z ,z ,z 到 1 2 3 x , x , x 的线性变换． 解 由已知                     = −           2 2 1 3 2 1 4 1 5 2 3 2 2 0 1 y y y x x x                     − −           = − 3 2 1 0 1 3 2 0 1 3 1 0 4 1 5 2 3 2 2 0 1 z z z                     − − − − = 3 2 1 10 1 16 12 4 9 6 1 3 z z z

x1=-6x1+z2+3z3 所以有{x2=12x1-42+9 x3=-10z1-2+16乙3 3.设A=11-1,B=-1-24 051 求3AB-2A及AIB. 解 3AB-2A=31 1-1-24-211-1 1-11人05 21322 0-56-211-1|=-2-1720 290 429-2 AB=11-1-1-24=0-56 290 4.计算下列乘积 11-23|2 (2)(1,2,3)2 570 214 104 0-12 1-13 1-31 40-2 1 xI (5)(x,x2,x3a12a2a2x2; 13a23a33人x3 1210103 0101‖012 (6) 002100-23 0003人000-3

2 所以有      = − − + = − + = − + + 3 1 2 3 2 1 2 3 1 1 2 3 10 16 12 4 9 6 3 x z z z x z z z x z z z 3．设           − = − 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A , , 0 5 1 1 2 4 1 2 3           B = − − 求 3AB 2A A B. 及 T − 解 3AB − 2A           − −           − = − 0 5 1 1 2 4 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3           − − − 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2           = − 2 9 0 0 5 6 0 5 8 3           − − − 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2           − − − − = 4 29 2 2 17 20 2 13 22           − −           − = − 0 5 1 1 2 4 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A B T           = − 2 9 0 0 5 6 0 5 8 4．计算下列乘积： (1)                     − 1 2 7 5 7 0 1 2 3 4 3 1 ; (2) ( )           1 2 3 1,2,3 ; (3) ( 1,2) 3 1 2 −           ; (4)               − − −         − 4 0 2 1 3 1 0 1 2 1 3 1 1 1 3 4 2 1 4 0 ; (5)                     3 2 1 13 23 33 12 22 23 11 12 13 1 2 3 ( , , ) x x x a a a a a a a a a x x x ; (6)               − − −               0 0 0 3 0 0 2 3 0 1 2 1 1 0 3 1 0 0 0 3 0 0 2 1 0 1 0 1 1 2 1 0

解 4×7+3×2+1x1 232|=1×7+(-2)×2+3×1=6 5×7+7×2+0×1 (232|=(1×3+2x2+3×1)=(10) 2×(-1)2×2 24 1×(-1)1×2 12 3×(-1)3×2 36 21400-12 6-78 1-134月1-31 20-5-6 40-2 (5) 2 23 a3a23a3八x =(a1x1+a12x2+a1x3a2x+a2x2+a2x3a13x1+a2x2+a3x) x2=a1x2+a2x2+a3x3+2a12xx2+2a1x1x+22x2x 12101 01010 00210 0100 2-1012-4 00-43 0003人0 0 000-9 设A B 问 (1)AB=BA吗? (2)(A+B)2=A2+2AB+B2吗? (3)(4+B)(A-B)=A2-B吗? 解

3 解 (1)                     − 1 2 7 5 7 0 1 2 3 4 3 1            +  +   + −  +   +  +  = 5 7 7 2 0 1 1 7 ( 2) 2 3 1 4 7 3 2 1 1           = 49 6 35 (2) ( )           1 2 3 1 2 3 = (1 3 + 2 2 + 3 1) = (10) (3) ( 1 2) 3 1 2 −                      −   −   −  = 3 ( 1) 3 2 1 ( 1) 1 2 2 ( 1) 2 2           − − − = 3 6 1 2 2 4 (4)               − − −         − 4 0 2 1 3 1 0 1 2 1 3 1 1 1 3 4 2 1 4 0         − − − = 20 5 6 6 7 8 (5) ( )                     3 2 1 13 23 33 12 22 23 11 12 13 1 2 3 x x x a a a a a a a a a x x x ( ) = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 a12 x1 + a22 x2 + a23 x3 a13 x1 + a23 x2 + a33 x3            3 2 1 x x x 12 1 2 13 1 3 23 2 3 2 33 3 2 22 2 2 = a11 x1 + a x + a x + 2a x x + 2a x x + 2a x x (6)               − − −               0 0 0 3 0 0 2 3 0 1 2 1 1 0 3 1 0 0 0 3 0 0 2 1 0 1 0 1 1 2 1 0               − − − = 0 0 0 9 0 0 4 3 0 1 2 4 1 2 5 2 5．设         = 1 3 1 2 A ,         = 1 2 1 0 B ，问： (1) AB = BA 吗? (2) 2 2 2 (A+ B) = A + 2AB + B 吗? (3) 2 2 (A+ B)(A− B) = A − B 吗? 解

(1)A= B 12 12 则AB: Ba= AB≠B4 46 38 (2)(A+B)2 22Y22)(814 25八25 1429 但A2+2AB+B 38 68 1016 1)(812)(3 1527 故(A+B)2≠A2+2AB+B2 2202)(06 (3)(A+B)(A-B)= 25八01 09 10 28 而 42-B2= 故 (A+B)(A-B)≠A2-B2 6.举反列说明下列命题是错误的: (1)若A2=0,则A=0; 2)若A2=A,则A=0或A=E; (3)若AX=AY,且A≠0,则X=Y. 解(1)取A= A2=0,但A≠0 (2)取A A2=A,但A≠0且A≠E 00 (3)取A= X 00 11 AX=AY且A≠0但X≠Y 7.设A=/0) ,求A2,A,,A 见1 1010 解A 元1人x1)(2x 1010 21八 32

4 (1)         = 1 3 1 2 A ,         = 1 2 1 0 B 则         = 4 6 3 4 AB         = 3 8 1 2 BA  AB  BA (2)                 + = 2 5 2 2 2 5 2 2 ( ) 2 A B         = 14 29 8 14 但 + + = 2 2 A 2AB B         +        +        3 4 1 0 8 12 6 8 4 11 3 8         = 15 27 10 16 故 2 2 2 (A+ B)  A + 2AB + B (3) (A+ B)(A− B) = =                0 1 0 2 2 5 2 2         0 9 0 6 而 − = 2 2 A B =        −        3 4 1 0 4 11 3 8         1 7 2 8 故 2 2 (A+ B)(A− B)  A − B 6．举反列说明下列命题是错误的: （１）若 0 2 A = ,则 A = 0 ; （２）若 A = A 2 ,则 A = 0 或 A = E ; （３）若 AX = AY ,且 A  0 ,则 X = Y . 解 (1) 取         = 0 0 0 1 A 0 2 A = ,但 A  0 (2) 取         = 0 0 1 1 A A = A 2 ,但 A  0 且 A  E (3) 取         = 0 0 1 0 A         − = 1 1 1 1 X         = 0 1 1 1 Y AX = AY 且 A  0 但 X Y 7．设         = 1 1 0  A ,求 k A ,A , ,A 2 3  . 解         =                = 2 1 1 0 1 1 0 1 1 0 2    A         =                = = 3 1 1 0 1 1 0 2 1 1 0 3 2    A A A

利用数学归纳法证明:A4 k1 当k=1时,显然成立假设k时成立,则k+1时 10Y/10 4=4A 1人a1)((k+1)元1 由数学归纳法原理知:Ak k21 8.设A=0元1求A4 (00元 解首先观察 λ10x10元22元1 42=0a101|=0x22元 00x人00x)00x2 23323 A3=A2.A=0233x 0023 k1 k(k-1) 2 由此推测4=028 (k≥2) 00 用数学归纳法证明: 当k=2时,显然成立 假设k时成立,则k+1时, 2 k2 k(k-1)2k-2 2 10 A+1=A4.A=02 k-1 0a1 0 00a

5 利用数学归纳法证明:         = 1 1 0 k A k 当 k = 1 时,显然成立,假设 k 时成立,则 k + 1 时         + =                = = ( 1) 1 1 0 1 1 0 1 1 0 k  k  A A A k k 由数学归纳法原理知:         = 1 1 0 k A k 8．设           =    0 0 0 1 1 0 A ,求 k A . 解 首先观察                     =       0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 2 A           = 2 2 2 0 0 0 2 2 1                =  = 3 3 2 3 2 3 2 0 0 0 3 3 3       A A A 由此推测               − = − − − k k k k k k k k k k k A       0 0 0 2 ( 1) 1 1 2 (k  2) 用数学归纳法证明: 当 k = 2 时,显然成立. 假设 k 时成立，则 k + 1 时，                         − =  = − − − +          0 0 0 1 1 0 0 0 0 2 ( 1) 1 1 2 1 k k k k k k k k k k k k A A A