香港科技大学数学系：基础数学讲义《基础分析学》_单元微积分学（项武义）

基础数学讲义之四 《基础分析学之一》 单元微积分学 项武义 香港科技大学数学系

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目录 引子 导论 0.1自然数系 0.2整数数系 x 0.3有理数系 .xvi 0.4实数系 xvii 0.5复数系. .xix 一实数系和函数的连续性 1.1实数系的连续性 1.2连续函数的基本概念 1.3多项式函数 11411 1.3.1多项式的唯一性定理与插值公式 1.3.2单元多项式的除法与辗转相除求公因式 15 1.3.3 Sturm定理 17 1.3.4代数基本定理 .19 二微积分 29 2.1变率与微分 .29 2.2总和与积分 .38 2.3微积分基本定理与均值定理 .43 三指数及对数函数 59 3.1指数、对数函数的定义与基本性质 59 i

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3.2指数函数与对数函数的微分 64 3.3自然对数表的计算法 67 3.4复变数指数函数和三角函数 69 3.5复利与指数函数 71 四初等函数及其应用举例 4.1多项式函数 4.1.1n-阶密切多项曲线 4.1.2高阶局部逼近与不定式之极限 4.1.3插值问题的推广 4.2三角函数与反三角函数… 4.2.1圆的对称性与正弦、馀弦函数的基本性质 4.2.2三角定律与极坐标…… 4.2.3等速圆周运动与正弦、馀弦的微分 5590888889 4.2.4等周问题(Isoperimetric Problem) 4.2.5 Kepler行星运行三定律及其数理分析. 4.2.6三角函数的积分计算 96 4.2.7反三角函数及丌的近似值计算 97 4.3常系数常微分方程 101 4.3.1算子符号 .101 4.3.2p(D)=(d-)k的情形,∈C .102 4.3.3p(D)是一般的情形 .104 4.3.4p(D)y=g(x)的解法 .106 五欧氏几何、球面几何和非欧几何的统一理论 109 5.1非欧几何的发现过程及其历史意义 .110 5.2发现非欧几何学的思路与突破点 .112 5.3欧氏、球面与非欧三角定律的统一理论 .115 5.4旋转面的解析几何. .122 5.5旋转Gauss面的曲率和 Gauss-Bonnet-公式 .135 5.6结语 .143 5.7思考题与习题 .145 结语 151 iv

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引子 人类生存的地球·比之于无限的宇宙实乃无比的渺小;而自古至今 人类的理性文明只不过数千年’比之于地球上几十亿年的生命历史又是 无比的短暂。但是人类得天独厚’具有几十亿年逐步进化而得—奇妙 超群的脑力;再者·人类还能善用天赋的脑力·创造语言与文字’使得 全人类的聪明才智不但能够群策群力丶集思广益’而且还能世代相承 精益求精·创造了博大精深的理性文明。作为一个现代人,我们不但 具有天赋的脑力·而且还承继了数千年来全人类的聪明才智,世代相 承探讨研究的成果’总称之谓理性文明( Civilization of rational mind) 它使得每一位肯学丶肯想的人生·大大地拓展了其能够理解的时空 综观自古至今的理性文明’历代的先智先贤用来探索宇宙的基本思 想和方法其实是既自然又朴实的,大体上可以简述如下 先用归纳法·师法自然,实事求是。例如观测天象,纪录昼 夜之长短·四季的变化等等。然後再用解析思维把实验探索 所得的各种各样认知加以综合丶演绎’逐步由定性到定量 由表象到内在结构·精益求精地研讨大自然中万象万物的基 本结构和基本原理。 总之,实验归纳和综合演绎乃是两种相辅相成交互进展的科学方法, 而数理分析( Mathematical analvsis)则是後者的基本方法和有力工具 分析学的基础理论也就是如此产生的。我们将在往後章节中简明扼要 地讨论数理分析在人类理性文明中产生的过程和其所扮演的角色 在我们开始逐章逐节作系统硏讨之前·且以一个既清晰简朴又具有 历史意义的范例’来对于数理分析的本质和要点作一初步解说。那就

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是远在纪元前三世纪 Eratosthenes(约276-194B.C)所达成者:人类对 于地球大小的首次定量估算。 话说当年, Eratosthenes乃是古希腊文明後期中心所在地 Alexandr 的图书馆馆长’他是一位精通当时的天文地理的博学之士。首先,当年 业已由月蚀·航海的观察得知我们所居住的大地乃是一个大球;而且太 阳和地球之间的距离要比地球和月亮之间的距离还要大许多倍。总之 同时照射到地球上各地的太阳光基本上就是平行光线。再者,他还 知得人们在 Alexandria正南方尼罗河出山口的 Syene(现今的 Aswan 的一口深井·观察到夏至正午的太阳光可以直射井底’不留任何井壁 的阴影。换言之,在 Syene夏至正午的太阳光乃是垂直于该井的水平面 者也。但是在 Alexandria的夏至正午的阳光’则和井壁大约有而周角 (亦即7.2度)的夹角。当年 Eratosthenes大概就用如下图所示的图解 把上述几个天文地理的知识加以综合分析。 他以一个圆表示过 Alexandria和 Syene的经圆( (longitudal circle) 以两条平行线表达分别照射在 Alexandria和 Syene的夏至正午的阳光。 从上述简明扼要的抽象表述’就可以用熟知的几何知识推论以下几点 其一是过 Syene的光线垂直于球面’所以其延长线乃是过球心O者 也。其二是由平行线和 Alexandria-球心联线的内错角相等得知∠AOS 也等于而周角。由此可得整个经圆的周长大约是 Alexandria和 Syene 之间的距离的50倍 Eratosthenes这位老先生并没有去实地测量上述两地之间的距离。他 只是去市集向往来于 Alexandria和 Svene之间的骆驼商队,询问他们 共要走几天才能由 Syene走到 Alexandria’而且每天大约能走多少希腊 里( Stadia他就将询问所得的天数(50天)和每天的里程(100 Stadia)

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