定理1(Abe定理) A如果级数∑ax”在x=x0(x0≠0)处收敛则 H=0 它在满足不等式x<x0的一切处绝对收敛; 如果级数∑x”在x=x处发散则它在满足 0 不等式x>x0的一切处发散 內区国回
如果级数 n=0 n an x 在x = x0处发散,则它在满足 不等式 x x0 的一切x 处发散. 定理 1 (Abel 定理) 如果级数 n=0 n an x 在 ( 0) x = x0 x0 处收敛,则 它在满足不等式 x x0 的一切x 处绝对收敛; (2) 收敛性
王推论 牛如果幂级数∑x"不是仅在x=0一点收敛,也 n=0 不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定 的正数R存在,它具有下列性质: 庄当x<R时,幂级数绝对收敛 当x>R时,幂级数发散; 当x=R与x=-R时,幂级数可能收敛也可能发散 內区国回
如果幂级数 n=0 n an x 不是仅在x = 0一点收敛,也 不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定 的正数R存在,它具有下列性质: 当 x R时,幂级数绝对收敛; 当 x R时,幂级数发散; 当x = R与x = −R时,幂级数可能收敛也可能发散. 推论
中定义:正数R称为幂级数的收敛半径 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间 定理2如果幂级数∑an(的所有系数n≠0 n=0 设lim"+=p(或 lima/an1=p) n→a →0 牛()则当p≠0时,R=;(2)当P=0时,R=+; 王(③)当p=+∞时,R=0 內区国回
定义: 正数R称为幂级数的收敛半径. 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间. 定理 2 如果幂级数 n=0 n an x 的所有系数an 0, 设 = + → n n n a a 1 lim (或 = → n n n lim a ) (1) 则当 0时, = 1 R ; (3) 当 = +时,R = 0. (2) 当 = 0时,R = +;
(3)幂级数的运算 a.代数运算性质: 王设∑x和∑bx的收敛半径各为R和R, H-=0 E R=min(Ri, R2) 加减法 ∑anx"±∑bnx"=∑cnx".x∈(R,R =0 n=0 =0 (其中cn=an±b,) 內区国回
a.代数运算性质: 加减法 = = 0 n 0 n n n n an x b x . 0 = = n n cn x (其中 R = minR1 ,R2 ) n n n c = a b x(− R,R) , 1 2 0 0 a x b x R R n n n n n 设 n 和 的收敛半径各为 和 = = (3)幂级数的运算
乘法 王②4x)②x)∑ x∈(-R,R n-=0 H=0 (其中Cn=a0·bn+a1·b-1+…+an·b) 除法 收敛域内∑bx≠0) n=0 ∑anx H=0 ∑c ∑bx n=0 內区国回
乘法 ( ) ( ) 0 0 = = n n n n n an x b x . 0 = = n n cn x x(− R,R) (其中 ) 0 1 1 0 c a b a b a b n n n n = + + + − 除法 = = 0 0 n n n n n n b x a x . 0 = = n n cn x ( 0) 0 n= n n 收敛域内 b x