南京邮电学院：《电路与信号分析》课程教学资源（PPT课件讲稿）第九章 拉普拉斯变换分析（9.1-9.2）

第九章拉普拉斯变换分析 傅氏变换分析法在信号分析和处理方面十分有效 傅氏变换的不足:①许多信号不满足绝对可积条件 如(t)、snat(1)虽借助于广义函数求得傅氏变换,但频谱 中出现冲激函数,计算较麻烦 再如信号eE(t)(a>0)则不存在傅氏变换 傅氏变换的不足:②傅氏变换分析法只能求取零状态响应

傅氏变换的不足：①许多信号不满足绝对可积条件 ( ) sin ( ) 0 如 t 、  t  t 虽借助于广义函数求得傅氏变换，但频谱 中出现冲激函数，计算较麻烦。 再如信号 ( )(  0)  e t t 则不存在傅氏变换 傅氏变换分析法在信号分析和处理方面十分有效 傅氏变换的不足：②傅氏变换分析法只能求取零状态响应 第九章 拉普拉斯变换分析

拉普拉斯变换(简称拉氏变换)可看作一种广义的傅氏变换, 将频域扩展为复频域,简化了信号的变换式,扩大了信号的变 换范围,为分析系统响应提供了统一和规范化的方法。 9-1拉普拉斯变换 9-1-1从傅氏变换到拉氏变换 信号不满足绝对可积条件的原因 当t→>∞或t->-∞时,f(t)不趋于零。 用实指数函数e去乘f(t),只要o的数值选取适当, 可使相乘后的信号满足绝对可积条件,e称为收敛因子

拉普拉斯变换（简称拉氏变换）可看作一种广义的傅氏变换， 将频域扩展为复频域，简化了信号的变换式，扩大了信号的变 换范围，为分析系统响应提供了统一和规范化的方法。 9-1 拉普拉斯变换 9-1-1 从傅氏变换到拉氏变换 信号不满足绝对可积条件的原因 当t → 或t → −时，f (t)不趋于零。 可使相乘后的信号满足绝对可积条件 称为收敛因子。 用实指数函数 去乘 只要 的数值选取适当， t t e e f t    − − , ( )

FIf(e]= f(t) m) e e dt= f(o)e (o+j)t 它是σ+j的函数,记a+jO=s为复频率 F(S)=」(e 对F(s)求傅氏反变换 f(t)e se 2丌 c"不是o的函数,故o)=nJnF(smmd S=0+J0, f(t) F(S)e(o+ods反变换 F(s)=f(test 正变换 上两式称一对拉普拉斯变换式

  − − − − f t e = f t e e dt t t jt F[ ( ) ] ( )   − − + = f t e dt ( j )t ( )   它是 + j的函数，记 + j = s为复频率   − − F s = f t e dt st ( ) ( ) 对F(s)求傅氏反变换   − − =     f t e F s e d t j t ( ) 2 1 ( )   − + =       e f t F s e d t ( j )t ( ) 2 1 不是 的函数，故 ( ) s =  + j,  +  −  + = j j j t F s e ds j f t      ( ) ( ) 2 1 ( )   − − F s = f t e dt st ( ) ( ) 上两式称一对拉普拉斯变换式 正变换 反变换

iF(s=Lff(O,f(t=L F(sI f(t)<>F(s) 拉氏变换扩大了信号的变换范围 变换域的内在联系 时域函数f(O)傅氏变换F(O)频域函数 时域函数f(1)拉氏变换F()复频域函数

F(s) [ f (t)], f (t) [F(s)] - 1 记 = L = L f (t)  F(s) 拉氏变换扩大了信号的变换范围 变换域的内在联系 时域函数 f (t) 傅氏变换 F() 频域函数 时域函数 f (t) 拉氏变换 F(s) 复频域函数

由于实际信号都是有始信号,即t<O时,f(t)=0 或者只需考虑仓0的部分,此时 F(s)=f(Oedt单边拉普拉斯变换 积分下限用0目的是把t0时可能出现的冲激包含进去,这 样,利用拉氏变换求解微分方程时,可以直接引用已知的初 始状态∫(0),但反变换的积分限并不改变。 以后只讨论单边拉氏变换,并把单边拉氏变换简称拉氏变换

由于实际信号都是有始信号，即 t  0时，f (t) = 0 或者只需考虑t≥0 的部分，此时   − − = 0 F(s) f (t)e dt st 积分下限用0 - 目的是把 t=0 时可能出现的冲激包含进去，这 样，利用拉氏变换求解微分方程时，可以直接引用已知的初 始状态 f (0- ) ，但反变换的积分限并不改变。 以后只讨论单边拉氏变换，并把单边拉氏变换简称拉氏变换。 单边拉普拉斯变换